高考数学试题中解析几何的解题策略

2019-04-03梁杜娟

读天下 2019年11期

摘要：在高考考场上有这样一句话：得数学者得天下。在高中数学里，平面解析是一块很难的部分，此章包含了许多重要的数学思想，在高考中占据了很大的分值，也起到了举足轻重的作用。所以，在平常的学习中，学生应该特别注重高考数学试题里解析几何的解题策略，这样才能让数学有很大的提升。

关键词：高考数学;解析几何;解题策略

在高考的备考过程中，解析几何往往是学生最头疼的一部分知识点，在全国卷的题目安排里，常规是两小题和一大题，往往出现在压轴题，并且经常是特别抽象的题目，没有任何的图例，需要学生通过建立坐标系来创建图形，为了更好地解决这个问题，还需要老师和同学在课后总结几种基本的解题方法，便于套用。

一、目前高考解析几何教学中暴露的问题

现在，解析几何在高中数学中占据着重要的地位，是各省高考的必定考题，所以大多数考生的得分都很低，这也直接暴露了学生在解决解析几何方面的能力还有所欠缺。

从学生的角度来说，往往只停留在老师讲就懂的层面，仅仅只是对各种概念表面理解，在解题中根本不会灵活运用，还只是生搬硬套，没有明确的方法。并且，在解析几何上，常常会运用到计算量很复杂的坐标方法，有时难倒学生的不是解题思路，而是庞大的运算量，但是学生的计算能力往往达不到;还有题目只会做对一部分，而不是全对，就像学生通常会忽略轨迹方程的完整性和多解性;同时，学生也会缺少解题方式上的创新性，不敢尝试高效的解题方法。更难的是，尤其是在题目联系生活实际时，学生就会有一种恐惧感，白白浪费时间。

在老师方面，老师虽然很认真地备课，但是忽略了学生的真实感受，学生并不懂老师讲的知识点，而老师也只是停留在反复的讲解中，指望熟能生巧，为了应试，让学生刷大量的题，并没有激起学生对解析几何学习的兴趣，这样就不能帮助学生在客观的角度对待学习内容，更不能真正地传递数学思想方法。

二、一些解决解析几何的基本方法

目前，在高中教学中，老师创建了许多种独特的解析几何解法，但也并不是每一种都能适合各种学生，还需要学生在实际做题过程中，积累经验，找到最适合自己的方法，将题目分类，并把相对应的解法匹配在后面。

（一）坐标法

“坐标法”适用于许多的平面解析几何，尤其是在曲线方程中，题目中给的点往往都会满足曲线方程，所以可以确定点一定是位于曲线上，从而通过联立多个方程组，便可以把点的坐标求出来，同时要注意多解性，还能用来判断交点的个数。

[2014·辽宁卷]圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P。双曲线C1：x2/a2-y2/b2=1过点P且离心率为3。

（1）求C1的方程;

（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点。若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程。

解析过程

（1）设切点坐标为（x0，y0）（x0>0，y0>0），则切线斜率为-x0/y0，切线方程为y-y0=-x0/y0（x-x0），即x0x+y0y=4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为（4x0，0）、（0，4y0）。故其围成的三角形的面积S=（1/2）·4/x0·4/y0=8/x0y0。由x20+y20=4≥2x0y0知，当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值，此时S有最小值，因此点P的坐标为（2，2）。

由题意知2/a2-2/b2=1，a2+b2=3a2，

解得a2=1，b2=2，故C1的方程为x2-y2/2=1。

（二）基于平面性质的解题方法

在高考的解析几何题目中，也不能一味地只依靠坐标法，有时坐标法并不能帮助我们一下在解决问题，还需要我们密切关注和利用一些特殊的平面性质，这样的话，在一定程度上，还可以简便运算，节省学生的时间。

19. 已知双曲线E：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x。

（1）求双曲线E的离心率。

（2）如图1-6，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8。试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程;若不存在，说明理由。

19. （1）因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，

所以ba=2，所以c=5a，从而双曲线E的离心率e=ca=5。

（2）由（1）知，双曲线E的方程为x2/a2-y2/b2=1。

设直线l与x轴相交于点C。

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a。又因为△OAB的面积为8，