浅谈函数的单调性在高中数学中的学习与应用

◎刘士永

引言：函数的单调性是对两个变量之间关系的刻画，一般在求解不等式、求最值、解方程式时会经常的用到。函数单调性的学习不仅仅是掌握其概念和性质，同时还需学生能够将所学知识灵活运用并能够解决生活实际问题，如此才能提升学生数学学习效率。

一、函数单调性学习的意义

在高中数学教学中，学生对于一次函数与二次函数的知识已有一定的了解，同时也初步接触了函数的增减性，但在高中系统学习中，学生想要充分掌握这一方面知识，除了从简单的定义的和概念出发之外，还应借助数字符号和具体的实例来进行学习。如此才能真正的掌握函数单调性的定义。此外函数的单调性是研究自变量的变化规律，是整个函数知识的核心内容，因此我们将其列为一个独立的单元来进行系统的学习，使学生能够通过文字的描述、严格的定义、实际的应用来更加深入的学习和理解，从而为今后的不等式及导数等知识的学习做好铺垫。

二、函数单调性在高中数学中的学习及应用

1.求解方程 方程是运用等式来求解的内容，其是整个高中数学的核心部分，我们将函数的单调性运用到方程的求解之中，可以帮助学生快速掌握解题的结构，从而提升方程解题效率。例如，x2＋2x＋（x＋1）3＋1＝0方程求解过程，利用函数的单调性可以将其转化为x3＋x＋［（x＋1）3＋（x＋1）］＝0，函数f（x）＝x3＋x在区间范围内是递增函数，同时是奇函数，如此既就可以将方程转化为 f（x）＋f（x＋1）＝0，推导出f（x＋1）＝f（－x）最终由于函数f（x）为单调函数由此可推出x＋1＝－x求解，通过单调函数的运用，简化了方程的求解过程，提升了做题的效率和质量。

2求解不等式 函数和不等式在高中数学中属于相互交融的知识点。很多时候学生常常会因知识掌握不到位或者是结构不严谨，从而导致出现解题失误的情况发生。我们在高中数学教学中我们可以借助不等式来对函数的性质进行研究，同时还可以利用函数去解析不等式，利用不等式的换元、分类来解题，如此不但可以快速的解决问题，同时还可以锻炼学生的逻辑思维能力和解题能力。例如，已知条件a，b/c∈R，a、b、c绝对值小于1，证明ab＋bc＋ac＋1＞0，首先在求解这一不等式的时先利用函数将不等式转化为f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1，分析x在1与－1的区间范围内函数是否成立及b＋c等于零时函数f（x）＝1－2b＞0及b＋c不等于零时，不等式转化为一次函数，f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1函数在1与－1的区间范围内都是大于零，所以所证明不等式是成立的。在证明上述不等式的过程中我们是将不等式进行转化，利用函数不同单调区间内函数的单调性来对不等式进行验证，如此大大降低了解题的复杂性，提升学生的解题效率［1］。

三、利用函数的单调性解决实际问题

在实际生活中对函数单调性主要体现在极值问题上，例如，利用函数单调性解决材料最优化使用、资源整合、效益最优、最佳路径选择问题等。在遇到这些问题是具有的解题步骤是，第一，将抽象的生活问题转化为对应的数学问题，并列出相关的函数关系式。第二，求函数f（x）的导数f＇（x）＝0，并解出方程。第三，将函数的两个端点与导数所求极值点放在一起，比较所有函数值，最终得出f（x）z的最值。

1材料合理利用题型 制作一个体积一定的圆柱型饮料罐，当材料最省情况下其高和底面半径应怎样选取。首先分析题意材料最省即为表面积最小的情况下，假设圆柱体半径、高、面积分比为r、s、h列出函数式s＝2πrh＋2πr2，圆柱的体积是一定的，列出体积公式并将其导入面积函数式中，最终推导出r，根据r的区间范围得出判断面积大小区间，从而最终得出r的取值，带入公式中的得出h的取值，最终得出半径是高的二分之一时，饮料罐其所用材料最省［2］。

2最优路径 例如，材料加工厂A与铁路之间的的垂直距离为20千米，垂足是C，在铁路上距离C点100千米处有一处原材料厂D，现在铁路线BD之间修建一处中转站B，再由B处向D处修建一条铁路，现已知铁路与公路在相同距离内的运费比为3：5，那么如何中转站点D应修建在何处，才能够实现D到A处的费用最省。假设：每千米铁路的费用为m，那么公路费用为。设BC段的距离为x，修路总费用为y，则AB，如此列出总费用函数式，求其导数，最终得出x的值即为区间内极值点，也使费用最省的B点到D点的距离。

结语：函数单调知识是高中数学中的重点，也是学生学好的数学的关键点。因此在日常教学中应重视函数单调性知识的讲解，帮助学生能够深入的理解知识并能够灵活运用，结合生活中的现实问题不等式、方程、导数等引导学生对应用函数单调性知识进行总结，通过不断的锻炼从而提升学生的数学解题能力，为高考打下良好的基础。