初中数学一题多变教育研究

王锐泉

摘 要：随着教学改革不断地深入发展，初中数学教学过程中越来越重视学生的思维扩展能力、创新能力与举一反三的能力。教学实践证明，在数学教学过程中使用一题多变的方式进行教学能够有效地培养学生的创新能力和思维扩展能力。

关键词：初中数学；一题多变；教学应用

初中数学教学中使用一题多变的教学方式能够有效地提高学生的思维创新能力、识图能力、运用数学知识解决实际问题的能力、巩固知识与学习自主探索能力。本文主要选取的例题是人教版八年级（下册）课本64页教学活动1。

如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：

（1）将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开。

（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM。同时得到了线段BN。如图1所示：

观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？

纵观最近几年的数学中考题，折叠问题出现的频率较高，试题设计的综合性逐渐增强，能够有效地考查学生的动手能力与学习研究能力。此道例题主要的考点是折叠问题、三角函数及三角形内角和定理。解题过程如下：

解：由折叠可知，AE=BE，AB=BN，∠AEN=∠BEN=90°，

在Rt△BEN中，∵sin∠BNE= =

∴∠BNE=30°，

∴∠EBN=90°-30°=60°，

∴∠ABM=∠MBN=30°，∠NBC=30°，

∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°

以上述例题为基础进行例题的延伸，从而达到提高学生创新能力、思维扩展能力等目的。

一、一题多变，培养学生解决实际问题的能力

变式一：首先在一个足够长的矩形ABCD上沿着宽AB中点E对折得到折痕EF并打开，其次把矩形的顶点A沿着点B所在直线折叠，使点A落在直线EF上的点为N（不用打开），再次沿MN所在直线折叠使点B落在线段MD之间，如图2所示，利用展开图探究出△BMH是什么特殊的三角形，能说出你的理由吗？

图2

改变式题是在沿用了例题折叠思维的基础上进行三次折叠，既尊重原题又深化原题，主要考查的是折叠问题、等边三角形的判定、矩形的性质。解题过程如下：

解：△BMH是等边三角形

根据折叠性质可知，折叠前后对应角相等，即∠AMB=∠NMB=∠DMN= =60°

∵四边形ABCD为矩形，

∴BC∥AD

∴∠DMN=∠BHM=∠MBC=60°，即∠HMB=∠BHM=60°，

∴△BMH是等边三角形

本次例题的改编，是在原题的基础上进行的，有助于培养学生的发散思维，根据原题的知识点相关内容解决这道例题，可以帮助学生灵活地运用数学学习过程中的相应知识点，在实际生活中遇到折叠问题，例如，手工制作的过程中、模型制作时等，学生能够使用所学的数学知识解决生活中的实际问题。

二、一题多变，培养学生的创新能力

变式二：在矩形ABCD上沿着宽AB中点E对折得到折痕EF并打开，其次把矩形的顶点A沿着点B所在直线折叠，使点A落在直线EF上的点为N，再过点N作PQ⊥BC于点Q，

求证：（1）△NMP∽△BNQ；（2）BM=2NM；

（3）∠DMN=∠BMN=∠BMA；

本次变式题主要考查的知识点是相似三角形的性质定理，有着较强的综合性。在原题的基础上增加了一条垂直线段使PQ⊥EF。本道变式题在原题折叠的基础上引入了相似三角形及直角三角形中有一个角是30°的相关知识，将折叠问题与相似三角形、直角三角形的知识进行了融合，使原题目由原本的6分题，变为了9分题。这样可以培养学生综合分析问题的能力，有助于学生创新思维的培养。

三、一题多变，巩固知识点，建立数形结合思想

变式三：在原题的基础上假设BM与折痕EF相交于點P，以点P为圆心，PB长为半径画圆跟矩形BC相交于点R，与EF相交于点N，连接PR，如下图3：

（1）试问PB与PM有怎样的数量关系？

（2）求证：PR垂直平分BN

（3）求证：∠BPN=2∠BMN

本道变式题是在原题的基础上再把折叠问题跟圆结合起来。主要考查的是折叠问题、圆的内接四边形性质、圆周角与圆心角的知识以及垂径定理。在本道变式题中，包含的知识点种类较多，主要考查学生对知识点融会贯通的能力，而且在本道题中，将不同的知识点进行了串联，既能使学生学习到新的知识，又能帮助学生巩固旧的知识，考验学生的临场应变能力与学生的逻辑思维能力，学会数学建模的数形结合思想。

四、一题多变，培养学生自主学习能力和创新思维

变式四：在原题的基础上建立直角坐标系（如图4），有一条抛物线图像经过点E、M、N，连接EM交对称轴于点P，若NB=2，

（1）求点N和M的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标和对称轴；

（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△PNM的周长最小？若存在，求出△PNM的最小周长；若不存在，请说明理由。

本道变式题将几何问题与二次函数问题进行结合，实现了几何问题与代数问题知识点的穿插，同时渗透了对称和三点共线问题。此类问题一直受到中考出题人的偏爱。因为目前大多数数学类型题都要求学生不仅要具备几何的抽象思维能力，还要具备代数的逻辑思维能力。本道变式题主要考查的知识点有：折叠问题、二次函数解析式、平面直角坐标系等。其目的是考查学生代数思维与几何思维融合的问题，考查学生是否在数学解题思维中学会数形结合的方式进行解题。例如，在第三问中，探究△PNM的周长最小时，点P存在的位置，学生在解题的过程中首先考虑△PNM的周长最小时，点P的位置，根据已知条件求出未知的结果，有效地促进了学生自主学习能力的提高。

解题过程：

（1）由折叠易得AB=NB=2，则OE=1，点N的纵坐标可知为1，利用勾股定理得横坐标EN= ，AM=AB·tan30°= ，即点N坐标（ ，1），点M坐标（ ，2）

（2）求出抛物线的解析式，根据第一问求出点M、N、E的坐标，将三点的坐标分别代入抛物线的图像中，建立方程组，求出方程的解析式，并把它化成顶点式，即可得到顶点坐标和对称轴。

（3）在求△PNM周长最小的问题时MN固定，就是求PN+PM的最小问题，利用点N和点E关于对称轴对称问题，PN+PM=PE+PM，当点P、E、M三点共线，即△PNM周长最小，所以点P就是对称轴跟线段EM的交点。

此类问题一般作为中考的压轴题出现，考查的知识点较为丰富，而且在原题的基础上进行变形，可以将知识由浅入深地传授给学生，学生的思维有一个充分的过渡，能够激发学生的学习兴趣，主动探索与原题相关的知识点。

五、总结与反思

本次例题的改变素材来源于课本的例题，主要选取了教材中的折纸问题，在折纸问题的基础上对原题进行了改编，首先考查了学生对称轴性质以及等边三角形的知识点。第二道例題主要考查了学生相似三角形的判定定理，强化了学生以往所学的知识点内容。第三道题主要考查了学生对圆的性质的了解，以及对圆内接图形定理的熟悉程度，垂径定理等相关知识。第四道题主要对学生进行了综合的考查，考查学生数形结合的能力，如何用代数问题解决几何问题。从变式一到变式四，知识点以及解题的复杂程度都是层层递进的，难度呈阶梯式向上，学生在巩固旧知识点后会增加学生解题的自信心，学生在解题的过程中增加了自身的成就感，更加主动地接受新的挑战。

本次将题目变化成为四种形式，可以让学生了解几何的简单折叠、双折叠以及三折叠等问题，学生在解题过程中会发现哪些线段与哪些角在折叠后可以保持相等。此过程培养了学生使用数形结合的方式解决数学问题，促进学生创新思维的培养，激发了学生的学习热情，有效地提高了学生解决综合题的能力。

在本次折叠问题的教学中，还可以使用折纸，让学生亲手进行试验工作，可以让学生更加直观地了解折叠原理，帮助学生更加深入地了解折叠问题需要了解的知识点，培养学生的创新思维。

综上所述，在初中数学教学中使用一题多变的教学方式，在原有例题的基础上进行例题的改变，能够提高学生的创新能力，并且巩固所学的知识点，增加学生在学习过程中的成就感，增加学生对数学的学习兴趣，从而提高教学效率。

参考文献：

[1]沈斌.初中数学一题多变举一反三培养学生融会贯通能力[J].数学学习与研究，2017（14）：33.

[2]乐文栩.浅谈“一题多变”在初中数学课中的应用[J].当代教育实践与教学研究（电子刊），2016（2）.

[3]马力宁.小议一题多变在初中数学中的应用[J].科学大众（科学教育），2013（1）：41.

编辑 谢尾合