“中国”“美国”“新加坡”“英国”“澳大利亚”高中数学课程标准复数内容比较研究

彭艳贵



“中国”“美国”“新加坡”“英国”“澳大利亚”高中数学课程标准复数内容比较研究

彭艳贵1，2

（1．东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024；2．鞍山师范学院 数学与信息科学学院，辽宁 鞍山 114007）

自2002年以来，中国高中数学课程标准中复数内容被大量削减，经历了十几年的教学实践，直至2017年开始修订新一轮的高中数学课程标准，关于复数内容的课程设置仍然存在较大争议．与中国高中复数内容偏少形成鲜明对比的是，国外许多国家都十分重视高中阶段的复数内容学习，把复数作为申请大学理工类专业的一个基本内容．通过对中国、美国、新加坡、英国、澳大利亚等5个在基础教育发展领域具有代表性的国家的课程标准复数部分的课程目标、知识点分布情况进行比较发现：“中国”“美国”“新加坡”“英国”“澳大利亚”高中数学课程标准复数部分课程目标基本一致；复数部分的知识点分布存在较大差异．

课程标准；复数；比较

1 问题提出

近些年，基础教育改革和发展的步伐明显加快，这既是社会发展的需求，也是知识发展、新知识更替旧知识的必然结果．按照课程发展规律，许多国家都重新编制或者更新了高中课程标准，修订了高中课程的教学目标与基本要求等方面内容．

复数理论作为重要的数学分支之一，在高中阶段学习一定的复数内容是必要的已达成共识，但学习的深度和广度却具较大争议．中国高中复数内容在2000年及之前的教学大纲中至少有16课时内容，覆盖的复数知识范围相对较广，但是在2002年大纲和2003年课程标准中骤然被削减至4课时，只保留了复数最基本的代数形式、复平面等基本概念，到2017年再一次修订高中课程标准时，虽然在原来基础上，课时数增加到了6课时，内容上增加了复数的三角表示作为选修，但争论仍在继续．按照课程研究理论的观点，高中阶段的复数是一个概念体系，需要一些核心知识点作为支撑．那么，借鉴国内外经验，确定高中复数的核心知识点及学习程度，对深入研究高中复数课程是必要的．

目前已有大量关于国内外高中复数课程的研究结果．如有研究者从新中国成立以来的教学大纲和课程标准变化分析了中国高中复数内容的演变，认为当前高中复数属于“容易教”的难点课[1]．一方面是由于高中复数内容要求简单，容易被处理成“机械的识记和应用”，另一方面不利于复数的数学本质和数学思想方法的体现．有研究者[2]比较了2002年的高中数学教学大纲与1996年的高中数学教学大纲，高中复数内容在结构及要求上均有较大变化，认为删减复数内容之后，不论是从复数概念的引入和理解，还是复数的几何意义等其它方面的要求，都不能满足基本的教学需要，不利于学生归纳推理等数学能力的培养．在课程发展与改革过程中，国际上的经验非常值得中国的教育改革借鉴．有研究者介绍了澳大利亚最新制定的高中数学课程标准的特色[3]，分析了澳大利亚课程改革的最新变化以及发展趋势，介绍了高中数学课程标准的总体课程理念、课程目标、课程结构与内容等，对中国高中数学课程发展来说是很好的借鉴．在澳大利亚高中数学课程标准中介绍专业数学内容时提到了复数所在单元，但却没有更多具体的复数内容介绍．作为课程标准的具体表现形式，还有学者在高中复数教材方面进行了研究．如对中国人教版教材和新加坡教材中复数内容的呈现形式等方面的比较[4]，中国和英国的高中数学教材复数部分的知识范围、复数知识呈现结构等方面的比较[5]．这些研究在内容和方法上都为深入研究复数课程提供了宝贵的经验．

基于以上研究基础，有必要深入研究高中复数课程相关内容．对中国、美国、新加坡、英国和澳大利亚等5个国家高中数学课程标准复数部分进行比较，确定研究问题为：

（1）分析不同国家复数部分的课程目标，在宏观上掌握5个国家高中复数课程设置情况；

（2）综合比较各国的复数知识点数量与分布，了解高中复数知识的范围和侧重点，为进一步理论研究奠定基础．

通过研究，从国际视野看待不同国家对高中复数课程目标定位、知识范围、知识学习深度等方面的课程发展要求，可以给中国的基础教育课程发展提供新视角．

2 研究思路与方法

2.1 5个国家课程标准选择与介绍

根据国内外高中复数内容的教学与研究结果，选取中国、美国、新加坡、英国和澳大利亚5个国家高中课程标准中的复数部分进行比较．首先，这些国家的基础教育水平均比较高且具有代表性；其次，这些国家的高中数学课程标准都在近几年内经过修订，复数课程的设置存在一定的倾向性，可以在一定程度上反映出专家、学者对高中复数知识的基本观点．

2000年前后的几年时间里，被认为是中国基础教育改革步伐比较大的一个阶段，中国在2002年修订了高中数学教学大纲，一年后，在2003年出版了《普通高中数学课程标准（实验稿）》，高中数学经历了大范围删减旧内容、增加新内容的课程体系变革．直到近两年全国数学教育专家开始研讨、修订新的高中数学课程标准，这样的课程体系经历了十几年的教学实践，留下了宝贵的经验、启示，也有值得中国数学教育研究者进一步思考的问题．下面的比较研究主要选取中国2003年出版的《普通高中数学课程标准（实验稿）》的复数内容．

2010年，全美州长协会（National Governors Association）和美国州首席教育官员理事会（The Council of Chief State School Officers）联合推出了《美国统一州核心课程标准》（）[6]．《美国统一州核心课程标准》的制定可以解决各个不同州之间由于课程标准与教学内容不同而带来的成绩和学习水平的认证以及关于教育公平等相关问题，使各个州的学生都能够获得平等的受教育的机会和资源，《美国统一州核心课程标准》的范围包括学生在K-12年级所学的知识、技能，进而确保学生高中毕业以后，可以在高校课程和劳动力职业培训方面获得成功[7]．

新加坡教育部于2006年与剑桥大学考试院联合编制了《新加坡—剑桥标准》，制定了A-level课程体系与测试框架，该标准最新于2016年修订．在申请大学之前，新加坡学生需要进入初级学院学习先修课程，A-level课程体系下的课程包括H1、H2和H3等3个层次，主要侧重于学生的数学思考能力和问题解决能力，其中H1课程不包括复数内容，高中阶段主要复数内容包括在H2数学课程中，部分要求更高的复数内容包含在H2进阶数学课程中，H2数学课程的学习是为学生今后在数学、物理、工程等方向学习所必备的数学知识，H3数学课程是在H2数学课程基础上的附加课程，课程层次主要是针对具有数学热情与追求的学生的发展．下面的比较研究中主要选取新加坡数学A-level课程标准H2数学和H2进阶数学（Mathematics Syllabus Pre-University H2 H2 further Mathematics[8]）部分中的复数内容进行比较．

英国的学校教育与课程发展历史悠久，近现代的基础教育发展在国际教育发展史上具有重要影响．1988年以法规的形式明确规定国家课程，保证课程的统一实施，在近三十年的时间里，随着教育的发展与课程的变革，英国的国家课程标准与课程内容已经做了多次修订，英国教育部的官方网站上给出了A水平进阶数学（Further Mathematics AS and A Level Content for Mathematics[9]）的内容要求，修订于2016年4月．进阶数学主要是针对致力于从事数学、工程、科学以及经济类专业学习的学生．英国高中复数内容在A水平进阶数学课程中学习．

澳大利亚的高中课程标准较早时是由各州自行制定的，虽然早在20世纪80年代澳大利亚就计划制定全国统一课程，但直到2012年才由澳大利亚课程、评估、报告管理局（Australian Curriculum，Assessment and Reporting Authority）发布了澳大利亚高中数学课程标准（Senior Secondary Australian Curriculum: Mathematics），这是澳大利亚高中数学课程的最新版本[3]．澳大利亚高中数学分为4种课程：基本的数学课程、普通数学课程、数学方法课程和专业数学课程．其中复数部分在普通数学课程的第2单元和第3单元．澳大利亚的高中数学课程标准对高中复数内容作了详细的设置与教学要求说明[10]．

2.2 研究内容与方法

研究内容是对中国、美国、新加坡、英国和澳大利亚5个国家高中数学课程标准复数部分的课程目标、知识点数量与分布情况进行比较．

课程目标是通过课程学习，培养学生所要达到的基本要求．在5个国家的高中数学课程标准的中，复数作为“一块”知识或与其它数系一起呈现，具体复数内容介绍之前都有关于这部分课程目标的说明，基于5个国家的高中数学课程标准文本，比较复数部分课程目标的共同特征与差异．

5个国家的课程标准中，复数的课程内容说明都比较详细．在课程研究中，通常认为知识点是概念、定理及相关技能组成的小的独立的知识系统．复数知识点是指在高中数学课程标准复数部分直接或间接提出的、较具体的、小的复数相关的概念．例如，美国的课程标准复数部分具体内容的第一项：“知道存在复数i，使得i2=-1，并且每一个复数都有由实数和构成的+i的形式”，就认为这一项中包含的复数知识点是“复数引入（i2=-1）”和“复数的代数表示”．用列表的方式统计各个国家高中数学课程标准中的知识点的数量和分布，有利于进一步结合课程标准中的相关表述，在国际视野下审视高中复数课程的设置需求与课程目标的实现．

3 研究结果与分析

3.1 课程标准中复数课程目标比较

按照5个国家课程标准文本内容，列举复数所属部分及复数课程目标，如表1所示．

从表1可以看出，在5个国家的课程标准中，复数部分或者是独立一部分，或者是与其它数系一起构成“一块”知识，都是属于“数”的范围．在课程目标中，首先体现的一个课程目标是数系扩充，另一个目标是把复数作为学生进一步学习和就业的知识准备．

在中国高中数学课程标准中，复数属于选修课程的“数系扩充及复数的引入”部分，属于高考要求的部分，表明在中国也认为复数是进一步学习的基础．课程标准中，文、理科对复数课程目标要求完全相同．课程标准中对高中复数的课程目标表述为“学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用”[11]．反映出中国高中复数的课程目标是数系扩充，具体课程内容的设置都将围绕数系扩充展开，并学习一些复数基本知识．

表1 5个国家高中课程标准中的复数课程目标

美国高中数学课程标准中复数设置在“数与量（number and quantity）”部分，这一部分的课程目标为“在高中阶段，学生将接触到一种新的数系扩充，通过增加虚数把实数系扩大到复数系”[6]．美国高中复数的主要特点是“数”，从表示形式、运算到基本应用都是围绕“数”的特征进行的．希望学生在复数这一部分学到的是“数”的概念与运算技巧．在目标描述中，指出复数课程是为学生进一步学习和就业的知识准备．

新加坡高中数学课程标准中复数在H2数学和H2进阶数学两个部分，H2数学是为了学生进入大学后一般程度上学习理工类课程而设计的课程，H2进阶数学是为那些打算专攻数学、科学、工程或对数学技能有更高要求的学生而设计的，H2数学中的复数课程目标为“以数系扩充的形式介绍复数，内容包括方程的复数根、复数的四则运算和复数的指数形式表示”[8]，H2进阶数学中的课程目标为“在H2数学课程的基础上增加重要数学概念的广度和深度的理解，并拓宽相关知识的应用范围”[8]．实际上，新加坡课程标准的设置针对性比较强，复数所在的H2数学和H2进阶数学课程十分注重复数概念的深入理解，明确强调复数在数学学科本身和其它学科的应用性，将问题解决看作核心．从课程目标可以看出，新加坡的复数课程目标要求是比较高的．

英国的高中复数是A水平进阶数学中的核心内容之一，A水平进阶纯数学是比A水平数学更加注重知识的深度和广度的课程．复数在课程标准中是独立一部分，课程目标是“介绍复数，在数学应用和逻辑推理方面给学生提供机会并扩充相关知识”[9]．认为数学知识学习的深度和广度对学生今后的工作与就业有重要影响．注重数学的应用性一直以来都是英国数学教育的一个主要特点，在课程标准中明确指出要使学生意识到数学在其它领域的应用，意识到数学的普遍应用性．

澳大利亚高中数学课程标准中指出“‘实数与复数’部分是学生关于‘数’的学习的延续”[10]，把复数和实数中有理数、无理数的部分内容放在一起，能够凸显数系扩充的顺序性和引出复数的自然性．课程中复数分为“实数与复数（real and complex numbers）”和单独的“复数（complex numbers）”两个单元．前一单元主要介绍数系扩充到复数，给出复数概念、代数表示、几何解释和复数范围内解方程，后一单元主要是在前一单元复数学习的基础上扩展复数的表示形式和相关内容．体现了澳大利亚的复数课程的层次性和衔接性．

3.2 课程标准中复数知识点分布的比较

按照研究方法设计，整理出每个国家高中数学课程标准中复数部分的知识点，5个国家高中数学课程标准复数部分知识点做成“并集”，共有26个知识点，分别用“√”和“○”表示该国家高中数学课程标准复数部分“包含”和“不包含”的知识点，具体结果如表2所示．

表2 5个国家高中数学课程标准中复数知识点分布情况

5个国家的高中数学课程标准中提到复数主要内容共计26项，按照已有资料和研究结果分析，5个国家高中数学课程标准复数内容基本包括在这个范围之内，按照具体的课程目标与表现方式等方面的不同而存在一定差异．如果把这26项复数内容看作被广泛认同的高中复数内容的知识范围总体，可以通过统计各国高中数学课程标准中复数内容占总体的情况，在数量分布方面比较各国高中复数内容的差异．经统计，5个国家高中数学课程标准中复数知识点数量（占比）结果如下：中国6个（23%）、美国18个（69%）、新加坡22个（85%）、英国24个（92%）、澳大利亚20个（77%）．

中国高中数学课程标准复数部分包含6个知识点，占所统计的全部知识点的23%．一直被认为是基础教育强国的中国在复数内容学习的量的要求上显著地低于其它国家．从课程标准复数部分的具体说明可以看出，中国高中数学课程标准中复数内容安排的基本特点是，最大限度地简化和突出数系扩充，集中精力强调一条主线，降低学生的学习负担，只介绍最基本的复数概念．但按照知识的结构性发展考虑，过分地简化容易导致高中生的复数学习偏于机械记忆．如果没有复数的模这样基本的度量化的概念，就无法深入体现复数的几何解释，仅是用向量的方法解释复数加法和减法运算，缺少更能体现复数特征的复数乘法、除法、乘方和开方运算，也缺少学科领域之间的融合与数学思想的渗透，无法满足学生对复数达到基本理解和认识的需求，在体现数系扩充的必要性、虚数单位的引入、复数的几何意义、复数运算的理解、复数与方程求解等方面，都显得不够充分．“复数的教学，应该象微积分那样，既为大学的学习作好铺垫，又让学生看到实际的应用，而不仅仅只是一些抽象符号的加、减、乘、除运算”[4]．

《美国统一州核心课程标准》包含18个复数知识点，占所统计的高中复数知识点总数的69%，标准中复数内容以数系扩充为基本目标，包括虚数单位i的引入，复数的多种表达形式、复数的几何意义、复数范围内解方程、代数学基本定理等．标准中严格界定了一般的复数知识和进一步的大学课程学习所需要的复数知识，强调知识的理解和掌握，但知识的难度普遍不大，如复数开次方、复数范围内方程根的性质、欧拉公式等内容均没有提及．另外一方面，标准中明确提到，除了复数引入、复数代数形式及四则运算、复数范围内解实系数二次方程这几个部分外，其它的复数内容的学习目的是“为了选修微积分、高级统计学或离散数学等高级课程而应该额外学习的知识”[6]，即美国高中复数内容的学习的另外一个目的是学生进一步学习的知识基础．

新加坡高中数学课程包含的复数知识点为22个，占所统计的高中复数知识点总数的85%．在具体知识内容上，新加坡的复数内容分为H2数学和H2进阶数学两部分．在较一般水平的H2数学中，就已经比较广泛地包含了复数引入、代数形式及运算、几何意义、三角式和指数式多种复数表示形式，以及这些不同形式的运算、几何解释和相互转换等大部分高中复数知识点，在更高水平的H2进阶数学中，又增加了复数运算的几何解释、复平面上几何轨迹和棣莫弗定理等深入理解内容，表现出了新加坡数学课程标准中复数内容要求的广泛学习和深入理解的特点．新加坡高中数学课程标准中的另一个比较明显的特征就是，在高中复数课程中，积极呈现和思考复数在电子和工程技术等不同领域的实际应用．对于发展到今天的复数领域来说，复数是具有重要应用价值的，课程中重视复数的应用性也是具有积极意义的．

英国高中数学课程标准包含的复数知识点为24个，占所统计的高中复数知识点总数的92%，在5个国家的高中数学课程标准中，英国的复数知识点数量最多，具体知识的目标要求也比较细致，除了代数学基本定理、复数范围内分解多项式和复平面上复点之间线段的计算3个内容外，已经包括了表2中所列的绝大部分复数内容．按照课程标准复数部分的具体说明可以反映出，英国高中的复数内容多，且注重复数知识学习的深刻性和细致性，知识内容之间关联性强，注重复数的系统性．英国的高中数学课程标准中首先提出“在复数范围内解任意的实系数二次方程”，然后提出“复数的四则运算”，这就表示把方程求解作为复数出现的起始，符合复数概念出现和发展的历史．在复数的几何解释方面，有复数代数形式和代数形式加减运算的几何解释，也包括在复平面上表示形如|–|<的点的轨迹、图形等方面的复数几何应用，还包括用复单位根解决几何问题等，对学生深入理解数学中的概念关系和深入理解复数概念具有重要意义．综合来看，英国高中课程标准中复数内容的学习要求比较深入，覆盖面较广，包括复数的乘方、开方运算，包括方程复数根的性质等内容，对学生的后续学习和不同知识领域之间的渗透、融合都会有很大的帮助．

澳大利亚高中数学课程标准包含复数知识点为20个，占统计的高中复数知识点总数的77%．澳大利亚高中数学课程标准中在复数知识上表现出了较好的多样性和层次性，从数系扩充的角度把“实数与复数”作为一个整体，即先从有理数系扩充到实数系，再从实数系扩充到复数系，这样做的好处是有利于突出数系扩充的目的性和连贯性．澳大利亚高中数学课程标准中复数内容设置重视复数基本概念和相关内容的深入拓展，重视复数知识的系统性，基本上涵盖了表2列出的高中复数的主要内容．

4 主要结论与启示

4.1 主要结论

4.1.1 课程目标具有较强的一致性

通过比较发现，5个国家高中数学课程标准复数部分的课程目标较一致地体现数系扩充，把已知的实数系用添加元素并定义运算的方式扩大为复数系．其次，按照课程标准中的复数课程目标说明，5个国家都把高中复数作为进一步学习、特别是理工类科目学习必要的知识基础．

4.1.2 中国的知识点数量明显少于其它国家

5个国家高中数学课程标准复数知识点的数量（占比）分别是：中国6（23%）、美国18（69%）、新加坡22（85%）、英国24（92%）、澳大利亚20（77%）．中国的复数知识点数量明显少于其它几个国家，新加坡和英国的复数知识点较多，可以反映出中国高中数学课程标准复数知识点分布范围较小，而新加坡和英国的复数知识点分布范围较大．

4.1.3 课程目标表现方式上有共同特征

5个国家的高中数学课程标准中复数部分为实现目标而设置的知识点，具有以下3个共同的特征．第一，体现出复数的四则运算的基础地位，但受到复数表示形式的限制，在不同的复数形式的运算要求不尽相同．比如，中国高中数学课程标准中复数只介绍代数形式的四则运算，而其它国家的高中数学课程标准中，明确要求掌握复数的三角形式及乘除法运算，并且强调相应运算的几何解释．第二，内容要求里都包括复数与笛卡儿坐标平面上的二维向量或实数对的一一对应．这个要求的主要目的是以此来给出复数的几何解释，进一步对应地给出复数的加减法运算的几何解释．在复数的发展历史上，复数得以被广泛接受，在于韦塞尔等数学家给出复数的几何解释，这一点是被课程标准修订的专家和数学教育研究者广泛认同的，所以各国的高中数学课程标准在设置高中复数内容时，无一例外的都包括体现复数几何解释的内容，即复平面．第三，除中国外，各国的高中数学课程标准都包含复数范围内解方程及相关性质的内容．复数在卡尔达诺法三次方程求解过程中出现，方程中的复数根的性质以及高斯证明的代数学基本定理都说明高中复数部分，引入复数范围解方程的重要性．但实际上，为了更加简洁明了地体现复数的数系扩充特征，各国的高中数学课程标准在提到引入虚数单位i的处理上，或者复数范围内解方程时，都没有采用卡尔达诺法解三次方程的方法，或者可以理解为避免这样的方法，而是直接以虚数单位的结果性特征的形式引入，然后再以二次方程或特定的三次、四次方程求解让学生感受和理解复数范围内方程的求解．中国高中课程标准中没有明确提到复数范围内求解方程等相关内容，这是一个在复数产生或引入复数的合理性方面需要进一步讨论的问题．

4.1.4 课程目标的表现方式上存在一定差异

虽然5个国家高中复数课程目标具有较强的一致性，但在课程目标的实现方式上存在一定差别．复数知识点的学习是实现课程目标的重要方式．虽然中国的基础教育一直被普遍认为处于世界前列，但是从以上5个国家的高中数学课程标准复数部分的比较看出，中国的知识点数量最少，仅包括“复数引入”“复数的代数表示”“复数的四则运算”“复数相等”“复数代数表示的几何意义”“复数代数形式加减运算的几何意义”等内容，以此达到高中复数两个课程目标的要求．但这6个知识点很难支撑起复数的知识体系，且与前后知识的联系不紧密，4个课时数也很难完成以理解数系扩充和积累复数知识为目标的复数知识体系的教学与学习．美国、新加坡、英国和澳大利亚4个国家高中数学课程标准中大部分复数知识点相同，这些复数知识点比较核心地反映复数课程目标．而在“复数的应用”“复数的欧拉定理”“代数学基本定理”等反映深入复数概念的有关知识点上略有差别．美国侧重给学生提供更宽泛的知识；新加坡和英国倾向于知识学习的深度和复数的应用性；澳大利亚突出数系的一致性和系统性．

4.1.5 基于课程目标的知识点分布存在差异

5个国家高中数学课程标准复数部分在“复数引入”“复数的代数表示”“复数的四则运算”“复数相等”“复数代数表示的几何意义”“复数代数形式加减运算的几何意义”6个知识点方面分布相同．这6个知识点是实现数系扩充到复数的最基本需求，与前文阐述5个国家的复数课程目标相同的结论一致；除中国以外，其它4个国家在“共轭复数”、“复数的乘法、共轭复数的几何意义”“复数的模”“复数的辐角”“复数的三角式”“用复数三角式计算复数乘除法”“复数不同形式间的转换”“复数范围内解实系数方程”“复数的次幂”9个知识点分布相同．高中复数是一个知识体系，这9个知识点在高中复数的知识体系中的复数概念、复数几何意义和复数的数学应用等方面的深入理解是重要的，也是这些国家在课程标准复数课程方面表现出来的共识．各国根据各自课程的需要与特点，在其余复数知识点分布上各有倾向．

4.2 启示

通过对5个国家高中数学课程标准复数部分的课程目标、复数知识点数量与分布的比较分析，为中国的高中复数课程发展得出如下几方面启示．

4.2.1 高中阶段学习复数是必要的

5个国家的高中数学课程标准中，都把复数看作是高中数学学习的重要内容．除了中国以外，复数内容都占了课程标准的较大部分，甚至把复数作为高中数学的核心内容．由此可见复数在高中数学课程的重要性的认可度较高．中国的高中数学课程标准在复数部分也强调“ 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求”．可以看出高中复数具有创新性、实用性、系统性等多方面的教育价值，为了更好地体现这些价值，坚持高中复数课程的教学是必要的．

4.2.2 提升高中复数课程地位

从学生进一步学习需要的角度考虑，美国、新加坡、英国和澳大利亚都把复数内容作为学生继续深入学习，特别是学习理工类课程的基础，是申请大学理工类专业的基础课程内容．而中国的高考中，复数内容的考查基本限定在复数的代数形式的简单运算．实际教学中，老师和学生甚至会因为高考的较低要求而进一步减少复数的教学和学习时间，从某种程度上说，当前中国高中复数内容基本上是属于被忽视的部分．按照高中复数的“体现数系扩充”和“为进一步学习奠定知识基础”这两个课程目标，中国的高中数学课程标准中，复数内容所占的比重非常小，6个复数知识点和知识点的要求程度，难以很好地完成课程目标，也不利于实现知识的深入理解．所以，应该增加高中复数的知识点数量和要求程度．从高中复数的知识体系来说，至少应该增加复数多种表示形式及运算、更全面的复数几何意义、复数与方程求解、复数的应用等方面的知识．

4.2.3 课程目标的实现需要适当增加内容

为了实现复数课程的两个目标，表现出复数引入的必要性和合理性，现有的复数知识在表现这些要求方面不够充分．第一，需要加强虚数单位i的合理引入．目前国际上比较流行的复数引入方法还是“使得2=-1或2+1=0成立的数”引入虚数单位i，而这样简化的方式引入虚数，若没有后续充分、系统的复数相关背景与内容的介绍和学习，就会影响到复数产生的必要性、发展的合理性、学习的应用性等方面的接受和理解．第二，加强复数几何解释的全面性．复数的几何解释包括复平面上的复数和复数之间的关系、复数运算的几何解释，用复数与向量一一对应的形式解释复数的加、减法运算十分容易接受，但是在解释复数乘、除法运算，甚至乘方、开方运算方面就较难说清，所以在复数教学中引入模、辐角等概念，用复数的三角形式结合几何意义解释复数的相关运算就具有重要意义．第三，复数的多种表示形式有助于学生理解复数．复数的代数式、三角式和指数式等多种表示形式对复数概念的理解是必要的，不同的表示形式有助于学生从不同方面认识复数概念，复数的代数式易于理解和接受，进行复数的加减法运算也很方便，并且有利于建立复数与向量之间的一一对应关系；复数的三角形式有利于计算复数的开方运算，而复数的开方运算是体现复数特征、区别其它数系的一个重要运算；复数的指数形式在涉及到复数乘法、乘方、几何变换等一些复杂运算时比较有利．所以为了全面理解复数概念，就要理解它的运算，而要充分理解复数的运算，就需要学习复数的多种表示形式．第四，增加复数在方程求解方面的内容．方程求解是体现复数的产生和发展、渗透数学思想的重要部分．复数在方程求解中既涉及到复数的运算，也包括韦达定理、复根的共轭性等性质，所以在高中的复数教学与学习中，复数范围内求解方程是一个重要内容，可以帮助学生深入理解复数的概念，掌握复数的运算和性质，熟悉复数的简单应用．

4.2.4 复数课程应该注重纵向衔接

高中复数课程的学习应该是在学生数学现实上的继续学习，并为后续学习做准备．借鉴其他国家的课程标准，承前方面，把复数和其它数系整合在一起，表现出数系扩充的完整性和连贯性，在内容和方法上，既有利于接受复数，也有利于学生后续学习的发展；启后方面，重视复数知识的深入学习，如棣莫弗定理、用复数表示平面上的几何问题、复数乘方、开方运算等，这些知识可以帮助学生在学习过程中深入理解复数，也符合为进一步的大学课程学习奠定知识基础的目标要求．所以，高中复数课程应该注重纵向衔接，使得初等数学教育在学生培养的思路、方向、总体目标具有一致性[12]．

4.2.5 课程设置体现复数的应用性

复数的另一个重要性就是复数的应用性．在当今数学发展中，复数受到认可的主要原因之一是，复数在数学学科本身、电磁学、流体力学等物理学科中的广泛应用．教学中强调复数的应用性可以加强学生对复数学习的目的性，陶冶学生的情感，有利于对学生价值观发展的影响，从这一方面来说，高中复数课程设置增加复数应用性内容，符合情感发展的要求，也符合核心素养的发展理念．

[1] 卢建川．基于问题驱动的高中复数教学研究与教学内容的重构[D]．广州：广州大学，2016：9-24．

[2] 左浩德，蒋红慧．课堂改革对课堂教学的影响——以高中数学复数部分为例[J]．数学之友，2015，20（5）：3-6．

[3] 董连春，Max Stephens．澳大利亚全国统一高中数学课程标准评述[J]．数学教育学报，2013，22（4）：16-20．

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[7] 曹一鸣，王立东，PAUL COBB．美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J]．数学教育学报，2010，19（5）：8-11．

[8] Mathematics Syllabus Pre-University H2H2 further Mathematics [EB/OL]. (2016-09-11) [2018-01-01]. https://www. moe.gov.sg/education/syllabuses/sciences/.

[9] Further Mathematics AS and A Level Content for Mathematics [EB/OL]. (2016-04-04) [2018-01-01]. https://www. gov.uk/government/publications/gce-as-and-a-level-mathematics/.

[10]  Senior Secondary Australian Curriculum: General Mathematics [EB/OL]. (2012-12-10) [2018-01-01]. https://www. australiancurriculum.edu.au/senior-secondary-curriculum/mathematics/general-mathematics/.

[11] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003：27．

[12] 张守波．新加坡高中数学教学大纲的特色与启示[J]．数学教育学报，2013，22（6）：58-61．

Comparative study on Complex Numbers of High School Mathematics Curriculum Standards among China, America, Singapore, Britain and Australia

PENG Yan-gui1, 2

(1. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. School of Mathematics and Information Science, Anshan Normal University, Liaoning Anshan 114007, China)

Since 2002, the complex numbers content of our high school had been greatly reduced. After several years of teaching practice, until 2017, the ministry of education was revising the high school mathematics curriculum standards again, complex numbers curriculum of high school was still controversial, the content of complex numbers was significantly less, and the level of knowledge was obviously low. In contrast, many other countries pay great attention to the complex numbers curriculum of high school. They all agreed that the complex numbers knowledge was the basic content of applying for mathematics, science and technology. China, the United States, Singapore, Britain, Australia, these five countries were representative in the development of education, this paper compared the complex contents of high school mathematics curriculum standards in these countries, It could provide experience for the selection and setting of complex numbers content of high school. The research showed that the curriculum objectives of the complex numbers of the five countries were basically the same, The distribution of some complex numbers knowledge was the same and the other parts were different.

curriculum standards; the complex numbers; comparison

2018–11–01

辽宁省教育科学“十三五”规划课题——高中生数学核心素养测评与提升（JG17CB358）

彭艳贵（1982—），男，吉林梨树人，东北师范大学博士生，鞍山师范学院讲师，主要从事数学教育研究．

G632.3

A

1004–9894（2019）01–0049–06

彭艳贵．“中国”“美国”“新加坡”“英国”“澳大利亚”高中数学课程标准复数内容比较研究[J]．数学教育学报，2019，28（1）：49-54．

[责任编校：陈隽、陈汉君]