上海七年级学生“平行”概念表征与转译的调查研究——基于数学核心素养的视角

陈志辉，孙 虎，周芳芳



上海七年级学生“平行”概念表征与转译的调查研究——基于数学核心素养的视角

陈志辉1，孙 虎2，周芳芳3

（1．华南师范大学，广东 广州 510631；2．上海市嘉定区震川中学，上海 201805；3．上海市普陀区曹杨中学，上海 200333）

基于数学表征与转化的能力水平划分框架，通过文献梳理数学概念表征的内涵与可测的表征类型，在参考与改进国外已有测评样例的基础上，设计了关于七年级学生对“平行”概念的表征与转译的测试题．施测结果显示，上海七年级学生对平行概念的操作性定义理解较好，对平行概念标准形式下的表征有着良好的识别表现；但在进行不同表征形式存在单向性的转译问题，对非标准形式下的概念表征辨识则表现出较大的认知困难．基于此，从关注核心素养发展的角度提出有针对性的概念教学建议．

概念表征；叙述性表征；描述性表征；转译；平行；七年级

1 引言

“表征”作为认知过程中的基本单位[1]，其在数学学习心理学与数学问题解决研究领域中占有不可替代的地位，同时也是人们进行复杂数学学习活动和理解概念建构过程的必经途径[2]．相关研究[3]表明，数学表征在学生理解概念、关系或关联以及解决问题过程所使用的数学知识方面有着至关重要的作用．有研究者[4]认为，问题解决与知识表征的关系相互依存：对一个给定的问题，如果使用恰当的表征可以极大地简化问题解决的机制．

2000年，美国数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）[5]强调，表征体现了数学建构和行为的关键特征，比如绘画图表和使用语言去表示与解释分数、比率或乘法的运算．当学生学会多种形式去表示、讨论和联系数学观点，他们能展示更为深刻的数学理解和更好的问题解决能力．2014年，NCTM在《行动原则：确保所有学生数学成功》（）[6]中指出，有效的数学教学需要使得学生参与到在不同的数学表征中建立联系，以便促进他们对数学概念和程序规则的理解．学生应学会使用不同的数学表征形式，并在各种形式之间建立联系．

此外，包括德国、新加坡等也在其官方数学课程标准中都将表征列为学生应当培养的重要能力．而在中国新一期课程改革中，关于“数学表征与转换”也已拟定为中国六大数学学科核心能力框架模型的内容之一，数学表征能力将是学生应获得重点培养的素养内涵[7-9]．在此背景下，有研究者[10]类拟PISA所提出的数学素养，制定以情景、内容、能力为测评框架，对八年级学生的数学表征能力展开大规模的施测．几何在数学课程体系中占据着特殊的位置，它将物理世界的点线面进行抽象而作为内容．而自范希尔夫妇提出几何思维水平理论以来，有关几何概念教学的认知过程受到越来越多的关注与重视．

通过文献梳理发现，国内外关于数学表征方面的研究在主题与方法上有许多的共同之处，也存在着不少的差异．总体来说，都非常关注几何表征在教学过程的意义与实践；而区别在于，国外研究比较侧重于对表征认知过程的描述刻画，试图建立媒介（如计算机等）与表征转换的联系以及对影响表征的因素[11]进行探索，改善教学的任务设计与学生的学习困难[12]等，而国内研究则较多从整体上去关注学生表征，以及其它核心能力上存在的差异，而微观层面上，对学生在具体概念进行表征时呈现的特点或遇到的困难的关注较少．

表征作为一个复杂而微妙的概念，也是学生概念学习与掌握过程中的关键变量．通过概念表征的测试研究，有助于一线教学工作者提升对学生思维特点的认识，进而制定相应的教学策略，提高教学质量；也有助于教育研究者和政策制定者深刻了解不同年龄阶段学生对概念理解的水平，为课程内容的设计，课程培养目标的设置等提供参考．因此，以几何中的“平行”概念为例，对学生对其理解及表征形式转换的表现进行测试，试图获得某一地域学习群体对此概念进行表征时呈现的特点，为理解学生在平行概念的构建过程，并为前线教师对学生学习困难的指导提供策略依据．

2 研究设计

2.1 概念界定

关于“表征”的内涵，向来众说纷纭，如从哲学的角度出发，Marr D[13]将“表征”定义为“一个表示某种明确主体或信息类型的形式系统，以及包括表示这种系统所用的方式”．而从心理学角度，Christopher H[1]则将表征看作是一种“表征主体”（the represented entities）与“表征客体”（the representing entities）的一种映射，也将其作为结构化的同构方法．Palmer（1978）开发了一个一般的表征理论，该理论依据两个功能独立的“世界”：“被表征的世界”（represented world）和“表征的世界”（representing world）．从文献梳理出发，唐剑岚[14]认为，在认知科学、教育心理学等领域中的含义是指用某一种形式（物理的或心理的），将一种事、物、想法或知识重新表示出来．徐斌艳[7]则将数学表征能力界定为，用某种形式，例如书面符号、图形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口头文字）等，表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题．综上所述，关于“表征”的内涵，至少应包括对内容进行表示的形式以及呈现这种形式的过程两个方面．

对于表征的分类，研究者较为认可和广泛运用的分类法如下，按表征活动发生位置分为内部表征（internal representation）和外部表征（external representation）；按表征所用形式可分为叙述性表征（descriptive representation）和描述性表征（depictive representation）等．内部表征是指个体的认识图式或心象结构，通常不可观察得到；外部表征则是能被观察的物理性表达的系统，如文字、图表、图片、方程或计算机微型世界[15]．两种表征相互影响，相辅相成，但给直接施测观察带来许多不便．而另一种分类法则将话语文本、书写文本、数学公式和逻辑表示均归属为叙述性表征；而描述性表征包含图示符号，它允许人们从中析取关系信息，但不含有反映关系的各种符号[16]．由于其具备方便直接测量的优点，为许多研究者所广泛采用．有研究者[17]为测量叙述性表征和描述性表征两种不同方式对学生在问题解决过程中的影响效果，研究发现，图像表征的方式更加接近于学生的现实生活习惯．

2.2 研究问题及方法

在核心素养内涵构建的背景下，有研究者[10]类比PISA所提出的数学素养，制定以情景、内容、能力为测评研究框架，对八年级学生的数学表征能力展开大规模的施测．其中，表征转换能力分为系统间表征和系统内表征，系统间表征是指在书面符号、几何图形（表）、语言文字（口头）以及操作性表征4个数学表征系统之间进行的表征转换；系统内表征包括变量替换，初等几何变换，恒等变形，映射变换4种．并将数学表征与转换能力简单划分为再现、联系和反思3个水平层次．

表1 数学表征与转换能力的水平划分

注：图表来源——徐斌艳，朱雁，鲍建生，等．我国八年级学生数学学科核心能力水平调查与分析[J]．全球教育展望，2015，44（11）：57-67，120．

诚然，宏观上的能力测试虽对学生培养目标的设置有着重要的参考价值，然而对教学实践层面而言，如何根据某一群体的概念表征特点判断他们的概念理解程度，形成有效的教学设计和策略，有着更为现实的意义．因此针对个体表征的特殊性与多样性，关于某一年龄阶段的学生对某个概念如何进行表征，表征过程呈现出什么样的特点进行调查研究，对于一线教师来说其价值更为关键．

GA Goldin和JJ Kaput[15]均认为，表征往往不是独立存在的，而是属于结构化程度较高的系统，通常具有来自个体、文化和符合习惯的特点．因此，学生在接触特定的数学概念初期对其理解及进行表征时呈现的特点，以及其对概念的理解程度的对应关系则为研究所关注的问题．

Duval R[18]认为，表征是不依赖于真实个体意识的深层意识结构运作所呈现出来的仅有的表层结果，能通过学生的表征了解其知识获取的过程并找到导致其学习困难的原因．因此，将以表征作为变量测量学生对概念理解的水平程度，首先，由表征的内涵出发，可知其涵括对内容进行表示的“形式”及其“过程”的双重含义，因此，在设计问题的过程中着重将学生对“平行”的表达及对其表达的过程作为观测内容．

其次，数学上多元表征的转换能力也是包括中国在内的世界许多国家课程的重要培养目标之一．唐剑岚[14]认为，多元表征的恰当运用能在一定程度上降低数学理解的难度，而且使得数学更具吸引力和趣味，同时其认为，不单纯是表征，各种表征间的转换与转译是解决问题的关键．尤其对几何概念来说，“几何图形”通常是指属于言语表征与视觉表征的联合体，尽管根据数学活动时仅有一种能突显其作用．因而Duval R等人[20]认为：“对于几何概念来说，非常有必要联合至少两种或以上的表征方式，一种言语表达属性或数量表达式属性，另一种则为可视化（形象化）．”

结合施测操作的客观性，选取叙述性表征与描述性表征的转换作为测试目标，分别以正逆两个方向的转换进行测试题设计．

最后，结合表征与转换能力的水平划分过程中涉及关于情景的标准化与非标准化的区别，因此，设计了一系列关于“平行”概念的表征，包括标准化与非标准化的表达方式，主要借鉴相关研究[19]中采用的方法，呈现不同画法标准下的“平行”概念，用开放题的形式测试学生对不同标准下“表征”的识别和论证．

综上所述，将确定的研究问题具体如下．

（1）七年级学生如何对“平行”概念进行操作性的“表征”？

（2）七年级学生在对“平行”概念进行表征转换时表现如何？是否存在转译困难？

（3）该群体是如何对标准化和非标准化的“平行”概念表征进行识别的？

根据以上问题进行测试题设计与编制，最终确定3道大题，共10道小题，均以开放题和半开放题为主，施测前通过教师和学生的访谈并对测试问题进行部分调整．确保测量的有效性之后，便开始对样本学生进行施测．

2.3 正式测试实施过程

2016年4月11日下午，测试问卷投放于上海市嘉定区震川中学进行施测，在七年级普通班中抽取了两个班共66名学生（学生的年龄及性别信息如图1所示），进行了长约40分钟的测试．在测试的一周前，他们已经学习了平行线的概念以及与平行线相关的基本特征．

图1 测试学生样本的性别年龄比例分布

3 研究结果

通过对测试卷进行回收并对所测结果编码分类，得到的结果如下．

（1）七年级学生基本能根据概念特征作图描述“平行”，并标出关键的符号．

为了观测学生对“平行”概念的直接表征，设计了平行线作图，要求叙述作图过程，试图通过学生对符号以及工具的使用，寻找处于该年龄段学生对“平行”概念的表达与其认知思维的关系．

测试题样例1：“请在以下方框中画出一对平行线，并在右边的方框中写出你的作图步骤．（工具不限）”（后面给出空白的“作图区域”和“作图过程区域”）

样本学生的表现如图2所示．

图2 学生在平行线作图测试的表现

通过对数据结果分析发现：①样本中近70%的学生能够按照要求画出平行线，标记关键符号，并说明作图方法．他们基本能借助尺、笔等作图工具画出“平行”的直线或线段，并在图上标注能说明所画的直线相互平行的依据，例如标记出“两条直线”同时垂直于第三条直线的符号或者所作直线均与第三条相交，并表明此时与之相关的同位角或内错角大小相等．②约17%的学生对几何概念的表征习惯仍停留在相对的“直观感觉”上，认为只要画出的直线“看起来”平行则能表达出几何中“平行”的含义，并且能从数据中看到，这部分学生不能很好地进行数学概念操作方面的话语交流（话语表征），不能很好地描述对应的作图过程．

（2）七年级学生对平行概念进行叙述性表征与描述性表征存在单方向的转译困难．

为了观测学生对平行概念叙述性表征和描述性表征的转换，设计了两个单方向转译测试题，也即文字表征向图形表征转译和反方向转译，重点分别关注学生转译过程中对点线的位置感以及关系描述．

测试题样例1：请根据要求完成图形绘画或文字描述．

a. 请根据下面的叙述，在作图区域中画出相应的图形：作图区域 已知在长方形ABCD中，E是BC边所在直线上的一点，F是AD边所在直线上一点，且AE∥CF，G是线段AE上一点，H是线段CF上一点，且GD∥BH.

测试题样例2：请在方框左边空白区域用文字和数学符号叙述方框右边所给出的图形．

综上结果可知，七年级学生对平行概念的多种表征方式进行转译时，存在着不平衡的能力发展表现：总体上，由叙述性表征（如文字）向描述性表征（图形）转换表现良好，而由描述性表征向叙事性表征反方向转译时则存在较大的困难．

（3）七年级学生对平面内“平行”概念表征识别表现良好，但对空间内的概念表征辨识仍存在认知困难．

中国在《义务教育数学课程标准（2011年版）》[20]培养目标中提到，数学课程应当注重发展学生的符号意识、空间观念、几何直观等能力和模型思想．

其中将“空间观念”描述为“主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等．”

而“几何直观”则被描述为：“主要是指利用图形描述和分析问题．借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用．”

综上可发现，中国在课程目标上对培养学生将数学概念与现实世界建立联系十分重视，尤其对几何概念在培养学生的数学观念和能力上给出了具有针对性的论述，即几何概念并非虚无飘渺和难以捉摸的，而是可以看成是借助于“实际物体”进行“特征抽象”而建立起来的数学模型．这对于研究所关注的“平行”概念表征的“标准”的解读有着重要的参考价值．

因此，为了观测学生对于不同标准下所表征的“平行”概念的识别情况，结合课程标准中对空间观念的培养目标要求，以及Parzysz B[19]等人相关研究中采用的方法，即通过平面表征和空间表征的不同标准对“平行”进行刻画，在不同的标准下呈现不同透视画法标准下的“平行”，以开放题的形式让学生进行判断并解释缘由，重点关注学生是否能识别基于不同标准下的“平行”表征，以及标准下的表征方式对学生的思维存在何种程度的定势影响．

测试题样例3：发挥你的想象，你认为以下图形有可能用来表示“平行线”吗？先作出判断，再简述你的理由．

如上所示，以几何的平行投影画法为标准，研究设计了图A、B、E作为表征直线在平面内的图像形式，而将直线的中心投影画法以及空间表现形式作为非标准表征的测试内容，研究设计了图C和D，特别是图C是从平行线一章的章页“渐远的笔直公路”插图进行抽象而来的，虽说也能够将其视为平面上即将相交的直线，但对题目要求放宽至开放题的形式，目的也在于测试学生思维的定势程度．

通过数据回收分析，得到了样本学生对以上5幅图能否用来表示“平行”概念的整体结果（如图5）．结果表明：对于A图标准下（即平面内）“平行”概念的表征，绝大多数（95%以上）的学生认为该图能用以表示“平行”，判断依据主要有“两线之间的距离处处相等”“两线没有共同交点”“作第三条线与它们相交，从同位角或内错角相等进行判断”等原因；而对于图B和图E，也均有70%的学生认为其不能用来表示“平行”，重要的判断依据均是“图中的两线相交”．以上判断结果表明，七年级学生基本能对标准表征下的概念特征进行判别，也即理解“平面内两线是否相交”是判断它们“是否平行”的重要依据．

图5 学生在对平行概念的不同标准形式的表征识别表现

对于“平行”在非标准形式下的概念表征，七年级学生对其真实识别率非常低，如表2所示，对于图C和D，均只约占3%的学生能将其视为“在空间内平行”而作出肯定的判断，并且可以从其余的判断依据中发现：标准形式下“平行”概念的特征，对进行非标准下的概念表征有着较大的影响．但考虑到学生对平行概念的学习熟练程度，尽管仍不能很好地运用数学语言进行解释，还是有部分学生能感觉（或直觉想象）数学概念与现实世界的模型存在一定的关联，例如，在对学生进行访谈中，他们觉得图C“看起来像笔直的公路”．

总的来说，七年级学生在初步学习掌握“平行”概念后，大多部分学生基本能理解并识别标准形式下“平行”的概念表征，能依据概念的基本特征进行概念的判别；但对于非标准形式（如空间形式和中心投影画法）下的“平行”表征的识别仍存在着较大的困难．测试结果表明，七年级学生在对平行概念的理解和表征的表现与数学表征与转换的核心能力划分的中低能力水平（水平一、水平二）存在一定程度上的吻合，即对标准化情境下的概念表征能进行较好的判断，也能进行一些不同表征形式的转换，但未能达到较高能力水平（反思与拓展）的要求．

表2 七年级学生对空间内的平行概念表征的辨识表现

4 结论与建议

通过以上结果分析，得到的基本结论及对应的教学建议如下．

首先，七年级学生对“平行”概念的操作性定义的理解表现良好，但运用数学话语表达的能力仍有待提升．从测试结果来看，大部分学生基本能正确地进行概念的画图操作，能借助必要的画图工具，正确使用几何记号，但不能很好地运用语言表征描述其作图过程，说明关于七年级学生对“平行”的操作性定义有着较好的理解．因此，在关于“平行”概念教学中，建议在鼓励学生动手操作的同时注意培养学生的数学话语表达能力，加强课堂师生对话交流，引导学生正确使用书面语言对数学思维活动的描述．

其次，七年级学生在进行概念不同表征形式的转译时存在单方向性的困难，特别在描述性图形表征转化为叙述性文字表征的过程中尤为明显．前文的论述中也提到，学生的表现差异或许与文化有着密不可分的关系，但总的来说还是与学生受到解题过程中养成的习惯有着密不可分的关联．有研究者[21]认为，学生的表征能力能够通过教学得到提高，其具体的策略有：（1）鼓励有目的的表征选择；（2）鼓励通过对话明确表征之间的关联；（3）对表征之间的联系作交替性的指导．而国内许多研究[22]也认同，多元表征方式的呈现，无论对问题本身的理解还是促进学生的思维发展，均有着重要的意义．因此，建议在几何概念教学的过程中采用多元的表征方式，尤其应注意多鼓励学生进行例如画图等描述性表征方式的学习和使用，这将有助于提升学生在数学表征与转换方面的核心素养．

最后，七年级学生对标准形式下的平行表征基本能进行很好的判别，对非标准形式下的“平行”仍未能很好的辨别．对于该群体学生的测试表现，可能的原因是什么？是这个年龄阶段学生的认知思维能力所限，还是课程体制下学生较少接触课程之外的概念表征形式，抑或还有研究者未考虑过的因素？具体的缘由仍未得到验证，也将有待于研究的进一步深入探索．而数学概念大多来源于现实，其存在的表征形式有着多样性，如何把握在理解“教育数学”视角中的概念的同时，又不失割裂对“数学”与“现实”的联系，同样值得广大教育工作者更多地深思熟虑．

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An Investigation on the Representation and Translation of Parallel Conception of Grade 7 Students in Shanghai: Based on the Perspective of Core Competencies of School Mathematics

CHEN Zhi-hui1, SUN Hu2, ZHOU Fang-fang3

(1. South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China; 2. Zhenchuan Middle School, Shanghai 201805, China; 3. Caoyang Middle School, Shanghai 200333, China)

Based on the framework of competency levels of mathematical representation and translation, after reviewing the literatures, we designed a test on the representation and translation of parallel conception for Grade 7 students, which followed similar tests used in researches of geometrical conceptual representation, and made this investigation in a middle school of Shanghai. As presenting in the result, Grade 7 sample students had a good understanding on the operational definition of parallel conception, as well as how they perform in the recognition of standard representation. However, Grade 7 students also got difficulties in translating different presentation forms and recognizing the nonstandard representation of parallel conception. Then several instructional suggestions were come up from the perspective of core Competencies of School Mathematics at the end.

conceptual representation; descriptive representation; depictive representation; translation; parallel conception;grade 7

2018–09–06

上海市嘉定区区级课题——初中数学教学中电子白板对学生几何思维影响的研究（JB1535）

陈志辉（1987—），男，广东普宁人，博士后，主要从事数学教学心理、数学教育国际比较研究．

G632

A

1004–9894（2019）01–0037–06

陈志辉，孙虎，周芳芳．上海七年级学生“平行”概念表征与转译的调查研究——基于数学核心素养的视角[J]．数学教育学报，2019，28（1）：37-42．

[责任编校：周学智、陈隽]