数学教师KCS与学生认知的一致性研究——以“概率”内容为例

何声清



数学教师KCS与学生认知的一致性研究——以“概率”内容为例

何声清

（上海师范大学 数理学院，上海 200234）

以北京市28名七~九年级数学教师（教师端数据）及该市某校204名七~九年级学生（学生端数据）为被试，以“概率”内容为载体，通过对比学生的作答数据与教师对学生作答的预测数据，考察数学教师KCS与学生认知的一致性．结果表明：教师对学生作答的预测大都与学生的实际作答相去甚远，他们对学生概率认知的水平估计过高；鲜有教师给出的预测得分率排序与学生的实际作答完全一致；教师对学生在不同问题中可能出现的困难有不同的预测，而这些预测与教师对任务本身的认识有关．对教师的建议有：深入分析影响概率问题难度的潜在因素；站在学生的立场，了解学生概率思维的特征．

七~九年级；数学教师；KCS；概率认知

1 问题提出

概率素养（probability literacy）是大数据背景下数学素养的重要方面[1]．新课程于2001年才正式将概率内容纳入义务教育阶段[2]，这意味着很多教师在其自身的基础教育阶段并没有接触过多的概率知识[3]．实证研究也表明，一线教师自身对概率知识的理解也常常存在偏差[4]，他们在教学实践中常常感到“概率难教”[5]．按照Hill等人“数学教学知识框架”（framework of mathematics knowledge for teaching，MKT）中的观点，前者是对教师内容知识（content knowledge，CK）的挑战，后者则是对教师关于学生和内容知识（knowledge of content and students，KCS）的挑战．从涉及范围来看，KCS主要包括教师对学生常见错误的了解，对学生问题解决策略及步骤的了解，对学生概念发展过程的了解等知识[6]．以概率内容为例，除了自身概率知识过硬以外，教师还应关注学生是如何认识和理解概率的[7]．

2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》对义务教育阶段概率内容的学段目标和内容难度等做了进一步调整[8]：对概率内容的设置做了整体延后，第二学段才初步接触简单的随机现象及其可能性大小等内容，第三学段才学习列举法求事件的概率．例如，人民教育出版社出版的数学教材在九年级才设置“用列举法求概率”的内容[9]．换言之，义务教育阶段的概率内容更多地是从定性认识着手，对概率的定量认识则并未做过高要求．这样的处理是基本合理的：概率的定量计算是建立在学生对样本空间的理解之上的[10]，而复杂样本空间的构建通常对学生组合运算能力提出了较高要求[11]．实证研究一再表明，学生在组合运算时不仅难于找到一个可靠的规则或清晰的顺序以做到不重不漏地列举[12]，他们对随机试验“基本事件”（elementary event）的理解也十分模糊，从而对样本空间的理解存在巨大偏差[13]．除了上述方面以外，学生的概率认知还受直觉因素和朴素经验的干扰[14]，学界相关实证研究已就学生对概率的错误认知进行了深入和持续的探讨[15-19]．然而问题是，教师对学生的概率认知有怎样的认识（教师的概率KCS如何）？教师的概率KCS与学生的概率认知有多大程度的一致性？研究者曾对七~九年级学生概率认知的策略及其典型错误进行了考察[20]，获取了学生在概率比较任务中作答表现的相关数据．在前研究的基础上，考察数学教师概率内容KCS与学生概率认知的一致性，以期对该领域内容的教学实践及教师专业发展提供有益建议．

2 研究设计

2.1 被试

教师被试．北京市28名七~九年级数学教师参与了此次测试．其中男性教师7名，女性教师21名；本科学历的教师23名，研究生学历的教师5名（均为硕士学位）；七年级、八年级及九年级教师的人数分别为9名、10名及9名；10年以下教龄、10~20年教龄及20年以上教龄的教师分别为12名、9名及7名；职称为中学二级、中学一级及中学高级的教师分别为8名、9名及11名．

学生被试．学生被试与文[20]中的被试完全一致：北京市某校204名七~九年级学生参与了此次测试．其中男生113人，女生91人；七年级、八年级及九年级被试人数分别为69名、74名及61名．该数据库的部分数据在文[20]中已经报道（如“每个题目的作答得分率”），其它数据将结合该研究的需要做进一步挖掘（如“每个题目各选项的百分比”）．

2.2 问卷

为了考察教师端数据和学生端数据的一致性，问卷沿用了文[20]的设计．该问卷共包含5个“摸球”问题，各题目按照“球的总个数”“球的颜色种类”“盒子个数”等变量区分出不同的问题情境．与文[20]不同的是，该研究不要求教师对题目本身进行作答，仅要求他们依据其对所教年级学生能力水平的判断，预测学生作答时的可能表现并写出判断的依据．各题目题干、问题情境等如下．

题干：

一个（两个）不透明的盒子里（分别）有×个白球、×个黑球（和×个绿球），它们除颜色外都相同．闭上眼睛，摇一摇盒子后，从盒子里摸出2个球（各摸出1个球）．

问题情境：

Q1，盒子里装有1个黑球和2个白球，摸出2个球；Q2，盒子里装有2个黑球和2个白球，摸出2个球；Q3，盒子里装有1个黑球、1个绿球和2个白球，摸出2个球；Q4，左边盒子里装有1个黑球、1个白球．右边盒子里也装有1个黑球、1个白球．同时从左边、右边盒子里各摸出1个球；Q5，左边盒子里装有1个黑球、2个白球．右边盒子里装有1个绿球、1个白球．同时从左边、右边盒子里各摸出1个球．

学生问卷（针对Q1~Q5，分别作答）：

摸出的这2个球，是“1个黑球和1个白球”的可能性大？还是“2个白球”的可能性大？还是一样大？（ ）

（A）“1个黑球和1个白球”的可能性大

（B）“2个白球”的可能性大

（C）一样大

（D）不确定

教师问卷（针对Q1~Q5，分别作答）：

（1）我预测，对于年级学生来说，有%的学生会作答正确；

（2）我预测，该年级学生最容易选择的错误选项是，他们误选该选项的原因可能是：；

（3）我预测，对于该年级学生来说，他们在这5道题目上的得分率从高到低依次是：

问题＞问题＞问题＞问题＞问题．

需要指出的是，该研究设计上述系列问题的初衷在于逐步增加问题难度以使被试作答有循序渐进的步次．然而数据表明[20]，上述5个题目的难度并非按照题序逐级递增：前4题得分率基本相当（Q1~Q4的平均得分率分别为30.4%、37.8%、34.8%及33.3%），第5题得分率最高（64.2%）．

2.3 方法

鉴于该研究中教师被试数量有限，研究者一方面对教师端及学生端数据的一致性做描述性统计分析，一方面对教师作答的理由做具体分析以考察其概率内容的KCS．

3 研究结果

3.1 “教师对学生概率任务得分率的预测”与“学生实际得分率”的一致性

就各年级教师对所在年级学生在不同题目上得分率的预测数据进行统计（教师端数据），并将其与学生实际的得分率数据（学生端数据）[20]进行对比（表1）．结果表明，除了Q5外，各年级教师对学生在各个题目上得分率的预测均与学生的实际得分率相去甚远．具体而言，对于七、八年级教师，其对学生在Q5中得分率的预测与学生实际得分率基本接近，对学生在Q2~Q4中得分率的预测基本是学生实际得分率的两倍（及以上），而对学生在Q1中得分率的预测甚至达到学生实际得分率的3倍；对于九年级教师，其对学生在Q5中得分率的预测与学生实际得分率也基本接近（甚至略有低估学生的能力水平），对学生在Q2~Q4中得分率的预测基本高于学生实际得分率20%左右，而对学生在Q1中得分率的预测则高于学生实际得分率35%以上．

以上表明：（1）各年级教师对其所在年级学生在Q5上得分率的预测基本与学生实际作答一致．结合学生端数据可以发现，七、八年级学生对该题的理解基本处于同一水平，九年级学生较前两个年级在得分率上有15%左右的提升．（2）各年级教师对其所在年级学生在Q1上得分率的预测过于乐观．（3）各年级教师对其所在年级学生在Q2~Q4上得分率的预测也过高，但他们对3个题目相对难度的估计和学生实际作答基本一致．具体而言，七、八年级学生在Q3和Q4上的得分率基本持平，该年级教师对学生在Q3和Q4上得分率的预测也基本持平；七、八年级学生在Q2上的得分率基本高于Q3和Q4，该年级教师对学生在Q2上得分率的预测也基本高于Q3和Q4；九年级学生在Q2~Q4上的得分率基本持平（50%~55%左右），该年级教师对学生在Q2~Q4上得分率的预测也基本持平（70%~75%左右）．这说明，尽管教师对学生在这些问题上的得分率估计过高，但他们对这些问题相对难度的把握基本合理．

表1 教师对学生在各题目上得分率的预测与学生实际得分率对比

3.2 “教师对概率任务相对难度的预测”与“学生得分率排序”的一致性

就教师对各题目相对难度的预测与学生实际作答得分率的排序进行对比（表2）．从学生端数据来看，3个年级学生在各题上的得分率排序基本类似但也表现出一定的差异：七年级学生的排序是Q5＞Q2＞Q1＞Q3＞Q4，八年级学生在Q1中的相对得分率有所降低，九年级学生在Q2中的相对得分率有所降低．概言之，各年级学生在Q3、Q4及Q5中的相对得分率基本一致，而Q1对于八、九年级学生而言在5个题目中“难度”最大，九年级学生在Q2中的得分率也处于5个题目的较低水平．

从教师端数据来看，教师对学生在概率任务中得分率的预测与学生的实际作答通常差距甚远．主要结果概括如下：（1）七年级教师中仅教师5给出的得分率排序与学生实际作答基本一致，而八、九年级教师中几乎没有与学生作答基本一致的预测．（2）多数教师倾向于认为Q5是一个难度较大的任务，分别有6名、7名及5名七~九年级教师预测学生在Q5中得分率最低，而学生在该题上的得分率恰恰是最高的．（3）多数教师倾向于认为Q1是一个难度较小的任务，分别有6名、7名及5名七~九年级教师预测学生在Q1中的得分率最高，而七年级学生在该题中的得分率仅处于5道题目的中等水平，八、九年级学生在该题中的得分率甚至处于最低水平．该题涉及的球的个数是最少的，所有可能的组合也仅有3种情况（即“黑白1、黑白2、白1白2），但该题对学生的迷惑性也较大：直观上白球比黑球多，这使得没有找到可靠策略的学生常常据此作出直觉的判断．教师之所以倾向于认为学生在该题的得分率最高，或许正是考虑到该问题情境相对简单，而这也恰恰反映了他们没有真正从学生的视角出发，缺乏对学生思维特征和水平的合理估计．（4）分别有2名、5名及3名七~九年级教师按照题序对各题的得分率进行排序，这再一次说明了他们对学生了解不够，没有深及问题的实质和学生的思维．

表2 教师对各题目相对难度的预测与学生实际得分率排序对比

3.3 教师对学生典型认知错误的认识

就各年级教师对其所在年级学生在各题目上最易误选选项的预测进行了统计，并将其与学生实际作答中错误选项的百分比排序进行了对比（表3）．从学生端数据来看，各年级学生在所有题目中最易误选的选项几乎均是“（C）一样大”（八年级学生在Q5中的作答除外）．

从教师端数据来看，教师对学生在各题目上最易误选选项的预测差强人意．主要结果概括如下：（1）教师对于学生在不同题目中最易误选的选项有不同的预测．例如，八年级教师在Q2及Q4中预测正确的人数高达90%，而在其余题目中预测正确的人数则不多．Q2及Q4的特点均是“两种颜色球个数相同”，已有研究恰恰表明，这种“高度对称”的问题背景在直观上更容易诱导学生的“等可能性偏见”[21]．换言之，教师对学生在该问题上的预测基本合理，也基本能够解释学生认知错误的潜在原因．例如，一位七年级教师对其在Q2中的预测解释道：“觉得白球和黑球一样多，没有理性的思考”；另一位七年级教师则认为：“条件中各是2个球，也是摸2个球，而对摸到一黑一白的情况不能有效进行分类，故而选C．”学生在Q2中容易误选C的原因远不止上述方面，也有一些教师给出了其它的解释，例如有九年级教师指出：“学生可能认为白白的情况只有一种，白黑的情况也有一种，没考虑球的个数，将球编号．”该教师认为学生对样本空间的理解不当是造成学生概率计算错误的主要原因，这是基本合理的：已有研究表明，在较复杂的概率问题中，学生常常难于找到可靠的策略对结果进行不重不漏的组合并列举所有可能的结果（样本空间）[20]．即便学生能够意识到从样本空间出发，他们也常常忽略了将“重复样本”进行区分（例如，他们常常将“黑1白1、黑1白2、黑2白1、黑2白2”笼统地合并为1个结果，即“1个黑球和1个白球”）[13]．（2）有部分教师认为学生在Q3中最可能误选的选项是“（B）‘2个白球’的可能性大”．尽管教师的预测和学生实际作答有一定差距，但他们的预测也有其合理性．例如，一位七年级教师解释道：“条件中有2个白球，数量最多，问题也是摸2个球，故而学生认为摸2个白球可能性大．”事实上，选项（B）也确实是该年级学生比较容易误选的选项（百分比为24.6%），这说明教师对学生在该问题上的作答表现有较好的认知．（3）比较遗憾的是，尚有部分教师自身都没有对某些问题作出正确判断．以七年级为例，有22.2%的教师认为学生在Q1中最容易误选的选项是“（A）‘1个黑球和1个白球’的可能性大”，另有22.2%的教师认为学生在Q5中最容易误选的选项是“（B）‘2个白球’的可能性大”，而这两题的正确答案恰恰分别是（A）和（B），可见部分教师自身对概率知识也没有较好的掌握．当然，这或许与他们作答时的粗心有关．

4 讨论与建议

4.1 主要结论

各年级教师对学生在各个题目（除Q5外）中得分率的预测均与学生的实际得分率相去甚远，他们对其所教年级学生概率认知的水平估计过高．

从对各题目预测得分率的排序来看，鲜有教师给出的预测得分率排序与学生的实际作答完全一致；仅有部分教师对某些问题得分率的相对排序符合学生实际，但大都将Q5的得分率排在最低；甚至有的教师直接按照题序对各题的预测得分率进行排序．

从对各题目最易误选的选项预测来看，教师对学生在不同问题中可能出现的困难有不同的预测，而这些不同的预测与教师对题目本身特点的认识有关；尚有部分教师自身都没有对某些问题作出正确判断．

4.2 教师预测偏差的原因分析

教师对学生作答情况的预测与学生的实际作答有较大偏差，这主要有如下两个方面的原因：第一，教师对概率任务的分析不到位．如前所述，5个概率任务的难度并非是依次递增的，且给学生作答造成困难的原因也是多方面的．例如，Q1对学生而言是一个相对容易出错的任务，然而教师常常难于意识到该题给学生造成的困扰所在．事实上，尽管Q1涉及的“球的个数”“球的颜色种类”均是相对较少的，这使得问题情境看上去不那么复杂，但即便九年级学生的得分率也尚未达到50%．通过分析学生端数据发现，七~九年级学生分别有50.7%、56.8%及39.3%的被试在该题上选择了“（C）一样大”，分别有21.7%、10.8%及11.5%的被试选择了“（B）‘2个白球’的可能性大”．这说明，学生对该问题的理解及作答遇到了困难，其中最大的误区是认为“两种情况的概率相等”，即便是九年级学生也有近40%的被试持有这类错误认识．第二，教师对学生的概率思维缺乏认识．例如，多数教师倾向于认为Q5是一个难度较大的任务，而学生在该题上的得分率恰恰是最高的．Q5不仅涉及到两个盒子，而且球的总个数也是最多的，而学生在该题中的得分率反而最高，这似乎也有其合理性：首先，由于是“分别”从两个盒子里“各”摸出一个球，这在很大程度上提示了学生采取“分步”的方法进而对球进行两两组合[20]；其次，该题中白球的个数为3个而黑球仅1个，这直观上也提示了学生摸出“2个白球”似乎更容易．可见，教师的预测大多没有从题目本身出发，也没有深及学生的立场去考察，而仅仅停留在问题情境的表面．

表3 教师对学生最易错选的选项预测与学生实际作答中最易错选的选项对比

4.3 对教师的建议

鉴于教师对学生作答预测的上述偏差，提出以下两点建议：第一，深入分析影响概率问题难度的潜在因素．例如，学生端数据证实，学生在Q1上的得分率通常远远低于预期，甚至在八、九年级的学生中该题的得分率处于5个题目的最低水平．这似乎与研究者的直观判断差距较大：毕竟它涉及的球个数最少，颜色种类也仅为两种．那么，学生为何在该题上的得分率如此之低呢？从问题本身的角度而言，该题涉及的白球为2个而黑球仅为1个，这在直觉上更容易诱导学生认为摸出“2个白球”的可能性大．再例如，为何学生在Q5上的得分率高于其它4个题目呢？这或许是由于其涉及的白球总数明显多于黑球，加之“从两个盒子里各摸出1个球”对学生的组合运算有较强的提示且降低了学生列举所有可能结果的难度．第二，站在学生的立场，了解学生概率思维的特征．概率问题具有较强的直觉性，而学生的概率思维也常常带有浓重的直觉色彩[14]．在正式接触概率的计算法则（列举法求概率）之前，学生或许发展了一定的朴素策略，但这些策略通常源于生活经验或个人直觉[20]．例如，学生在Q2和Q4中选择“（C）一样大”的百分比通常最高，七年级学生选择该选项的百分比甚至达到了60%以上．究其原因：一方面，这两题涉及的两种颜色球均是2个，并且在直观上是“高度对称”的，这诱导了学生的“等可能性偏见”；另一方面，学生在列举所有可能结果时，常常将“黑1白1、黑1白2、黑2白1、黑2白2”（Q2）或“黑1白2、黑2白1”（Q4）笼统地合并为一种情况（即“1个黑球和1个白球”），进而认为试验所有可能的结果为{2个黑球，2个白球，1个黑球和1个白球}并据此断定3者的概率相等．可见，除了自身概率知识过硬以外，教师还应能关注学生是如何认知概率的．

5 不足与展望

该研究的局限在于，中小学的数学课程同时涉及了古典概率和频率概率，并且常见的概率模型有摸球、掷硬币、掷骰子等，该研究仅以系列摸球问题为测试材料，尚不能较全面地反映学生的概率认知．尽管如此，该研究在设计上与前研究保持连续性，较好地考察了教师端和学生端数据的一致性问题，比较直观地呈现了教师的概率KCS现状，也为开展数学教师KCS研究和数学教师专业发展研究等提供了一个参考视角．此外，前研究已经表明：学生在5个问题上的作答表现不佳，出现了“地板效应”．如果采用师生更熟悉的测试问题，或许教师对学生的作答预测也会更好．但需要指出的是，这与该研究的考察目标则有些许不同：该研究之所以沿用学生没正式学过，教师没正式教过的内容作为测查材料，其目的是考察教师“是如何认识学生对概率内容的认知”的．更具体地说，其目的是考察“教师对学生概率认知的潜能与局限有怎样的认识”，而并非考察“教师教完某内容后对学生学习程度的把握”．后续研究一方面将拓展测试材料的考察范围，一方面将扩大数据规模并进行推断性统计分析，以期就该领域作更深入和全面的考察．

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The Consistency between Mathematics Teacher’ KCS and Students’ Cognition——Take Probability Knowledge as a Case

HE Sheng-qing

(Mathematics & Science College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

This study selected 28 teachers (teacher’s data) in grade seven and grade nine from Beijing and 204 7thto 9thstudents (student’s data) from one middle school in Beijing as the subjects and focused on teachers’ knowledge on students’ probability cognition through analyzing the consistency between the two set of data. The resulted shown that, teachers’ prediction of students’ performance was far away from students’ performance, but they overestimated students’ understanding of probability. Seldom teacher’s prediction of the relative sequence of difficulty of every items were consistent with that of students’. Teachers’ predictions of the possible difficulties of different items were different and these predictions were related to their understanding of the tasks. Suggestions to teachers were: Analyzing the potential factors impacted the difficulty of the items; Studying the characteristics of students’ probability thinking from their perspective.

7thto 9thgrades; mathematics teachers; KCS; probability cognition

2018–08–04

全国教育科学“十三五”规划2018年度国家一般课题——中学生合作问题解决中认知互动与社会互动及其关系的实证研究（BHA180157）

何声清（1988—），男，安徽安庆人，讲师，博士，主要从事数学教育研究．

G635

A

1004–9894（2019）01–0025–05

何声清．数学教师KCS与学生认知的一致性研究——以“概率”内容为例[J]．数学教育学报，2019，28（1）：25-29．

[责任编校：周学智、陈隽]