基于问题设计的数学微探究评价体系构建

苏洪雨



基于问题设计的数学微探究评价体系构建

苏洪雨

（华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

数学微探究是在课堂中实施的数学探究片段．基于对数学探究和微探究的比较，数学微探究的活动开展，析出评价的一级指标和二级指标，并且根据这些指标和评价关键点，制定了数学微探究评价指标体系，对此体系进行了总结与反思．

数学探究；微探究；指标；评价

1 背景

自20世纪末以来，数学教学从原来的重视讲授逐步转向关注学生的学习；随着认知心理学、建构主义、人本主义等相关理念的渗透，课堂教学倾向于引导学生独立思考、主动探索、合作交流，数学探究式教学也就随之产生．不仅如此，数学课程标准也增加了数学探究的内容，尤其是高中阶段，要求把数学探究和数学建模贯穿于学生的整个学习过程．

然而，教学实践中，“数学探究”是否真的已经成为“潮流”？数学探究是否改变了学生的学习方式，提高了学生的数学素养？事实上，当前大部分课堂依然是教师主导的“讲授式”教学，课堂中数学探究活动开展不多，偶尔的探究活动主要出现在“公开课”“示范课”中，其表演性质比较突出．究其原因，首先是对于数学探究的理解有歧义，有的课堂中给出数学问题，带领学生进行解题分析（例如，理解题意，探寻解题思路，解法分析），教师认为这就是数学探究；其次，“探究”给人的印象是浪费时间，效率偏低，使用数学探究往往不能顺利完成教学任务，达成教学目标．

基于探究理念在数学课堂中的重要性，又与实际教学产生矛盾，新的设想必然产生，这就是走向“中间地带”——微型探究产生，在此，使用“微探究”这个称呼．这是一种新的探究教学方式，由于缺乏深入理论研究和实践尝试，这种教学方式还在发展初期．和一般的数学探究不同，微探究易于操作，可以较好地融入课堂教学．但是，数学微探究的效果如何？影响微探究的主要因素有哪些？如何评价微探究？这却是在开展微探究之前要思考的问题．

2 数学探究和微探究

探究有调查、审查、询问、质问、质询、追究等意思，探究性学习是学生在学习情境中通过观察、阅读、发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验的过程，它是探寻和理解知识的过程．数学探究的研究对象是数学；而微探究应该是简化的数学探究，侧重于问题的解决过程．

2.1 数学探究

《普通高中数学课程标准》（以下简称《高中标准》）认为，数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程．这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明[1]．这类“数学探究”主要是针对某个课题，提出数学问题，猜测合理的数学结论，使用数学的方法开展自主探究、合作研究的活动，最终能得到相关的结论．其中的数学探究类似于研究性学习，有一个现实或者科学的情境，例如，人的体重与身高的关系．通过这样的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用．根据《高中标准》的阐述，数学探究是帮助学生了解概念和结论产生的过程，初步理解直观和逻辑的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、分析和解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力．从这个角度来看，所谓的数学探究就是“模拟数学实验”或者“拟数学研究”，其目的就是让学生体验过程，发展创新思维．这样的数学探究不仅对于学生有着较高的要求，其实教师也要有较高的数学探究能力．因此，在实际的教学中，开展此类数学探究的教学活动并不多见．《义务教育数学课程标准（修订稿2011）》指出：教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径．以此来看，数学探究是教学中的一个环节，通过这样的环节让学生经历数学的产生过程．比较义务教育阶段和高中数学课程标准可以发现，在探究方面，两者在表现形式上是不同的，高中更注重完整的数学发现、问题解决、探究结论、应用等过程；义务教育更关注“探究”环节，也就是让学生能体验使用数学解决问题的过程．但在“探究”本质上，两者是一致的，也就是“经历数学活动”，积累数学活动经验．

事实上，数学探究是基于已有的素材进行数学再创造的过程，正如弗赖登塔尔认为的无论是学习数学的抽象，或数学的公理体系……无一例外地应该使用“再创造”的方法，而不应该生吞活剥地进行灌输．他认为，将数学作为一种活动来进行解释和分析，这就是再创造的教学方法[2]．波利亚也认为，培养学生具有能够独立思考进行创作活动的能力是学习数学的关键，而他是通过“解题”来阐述这个过程的[3]．

2.2 微探究

“数学探究”与“数学问题研究”相比较，后者重视的是数学概念、原理、公式本身及其关系，无论是演绎推理还是归纳猜想，都倾向于数学学科本身，而不关注研究者的学习方式．显然，这不同于数学探究，但是在许多关于探究的案例中，并不注重教学形式和学习方式的分析，更加关注的是数学的推理论证，也就是数学问题研究[4-12]．这类“探究”既不同于纯粹的数学研究，也与课程标准提倡的“数学探究”有一定差距，其教学依然是传统的教师讲授式的模式，接受学习多于主动探究．

但是在课堂进行深入地“数学探究”也有一定局限，如何既能让学生进行力所能及的探究活动，使这些探究活动符合学生的现实水平和心理规律，又能提高课堂的教学效率？

这就出现了微探究的概念．所谓微探究就是在发现、提出、分析、解决问题等环节中，进行有指导的探究发现活动．

这种探究既有数学探究的特色，又比数学探究更灵活．数学探究强调问题的发现和提出，问题解决与应用；微探究属于数学探究的某些片段或教学的某个环节：可以是课堂引入，概念获得，原理分析，问题解决，归纳总结；也可以是某个活动过程，发现问题的活动，交流互动的活动，汇报活动，等等．在这个探究过程中，教师是主导，学生是主体，数学是载体，思维是形式，以此培养学生的主动性、创造性、应用意识和实践意识．由于教师的主导作用，学生减少了发现问题的盲目性，提高了问题研究的有效性，但是学生依然有体验数学再创造的过程，这也就体现了“探究”的本质意义．

3 基于问题设计的数学微探究

数学微探究的形式多样，教师主导下的核心就是“探究问题确定”和微探究活动的设计，也就是根据教学目标，进行数学问题设计的微探究教学．这在教学实践中也是比较适宜的，教师更加乐意根据自己设计的问题开展数学教学活动，这有利于课堂教学的驾驭，也容易达成教学目标．因此，基于问题设计的数学微探究就是：教师根据教学目标，在相关的教学环节，设计合理的数学问题，组织学生开展探究活动．这种活动的形式可以是小组合作，也可以是自主探究，其本质是注重学生的数学思维过程，使其体验数学研究的过程，积累数学活动的经验，从而逐步学会分析、研究、应用数学解决问题．微探究和数学探究不同的是，问题的发现环节是由教师完成，并且整个探究过程在教师的监控或者指导下完成，这就降低了“提出问题”过于发散的不足（对于学生发现问题能力的培养，可以通过其他方式培养）；微探究注重的是组织学生开展数学问题探究，教师必须参与其中，但是以学生为主体，教师为辅助，或者是同等地位的互助；最终的探究一定有一个比较明确的结论，教师做出总结，并进入下一个教学环节．整个微探究活动是由师生共同完成，其过程如图1所示．

图1 微探究活动流程

在数学微探究中，问题设计至关重要，这个环节主要由教师完成，并由此设计微探究活动．但并不是所有的问题都适合探究，因此，教师在数学教学设计中，首先要甄别探究问题，其次设计问题引发学生在课堂进行探究．例如，一些运算法则、新定义、公理，由于这些数学对象比较直观或者抽象程度较高，在课堂中并不一定适合探究．

对于适合探究的问题，可以从数学直接进行引发讨论，也可以设计相关的情境激发学生探究的兴趣．

这是人民教育出版社出版的普通高中教科书必修5的一个探究问题，是给出等差数列的基本概念之后的“探究”，其目的是希望通过这样的探究让学生理解等差数列通项公式与图象之间的关系，并且探究等差数列和一次函数之间的联系，促进学生从函数的角度理解数列．

那么，这个“探究”设计合理吗？能否达成相关的教学目标？在课堂中是否适用？有效性如何？这是研究者在使用该问题开展微探究必然要思考的问题．数学微探究要根据课堂教学的需要进行设计，可从3个方面进行思考．

（1）微探究问题的数学本质是什么？也就是解决什么样的数学问题，运用的数学思想方法是什么？达成什么样的教学目标？

（2）在什么地方，怎样切入微探究？也就是确定微探究的切入点和切入方式，考虑能否激发学生探究的积极性？如何合适地把数学微探究渗入课堂，也就是探究的时机，要和课堂教学比较和谐地结合，从而激发学生参与探究．

（3）用什么组织形式开展数学微探究？是小组合作还是自主探究，或者教师引导下的探究？不同的内容和课堂教学形式要采用合适的探究方式．

单纯对问题而言，关注的要点是：（1）问题的发问方式；（2）问题的层次性；（3）问题的方向性．在整个微探究活动中，问题设计是一个实施的蓝图，是课堂环境、学生、教师、数学的整合．

“问题设计”可以从两个角度开展，首先是问题或情境的提出与设计，其次是探究方式的设计．问题或情境的提出可以基于数学教学目标，以等差数列求和公式的学习为例，其教学目标之一是，掌握等差数列求和公式，解决数列和的最值问题．因此，当课堂教学完成求和公式的推导之后，就是公式的应用，那么数列的函数特性凸显，这时候增加一个微探究，对于学生掌握、理解以及应用求和公式都有很好的帮助，也让学生能够体会其中的函数思想．这是探究的方向．怎样设问呢？

事实上，教材中已经提供了一个很好的思路：特殊到一般再到特殊．只要把资源稍加整合．

请探究这个数列的通项公式，是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

当然，这3个问题可以根据学生的学习能力进行调整，例如，学习能力较高的班级，可以直接从第二个问题进行探究，而稍差一些的班级可以从具体问题入手．

再者，在探究方式上也可以因人而异，独立探究适合学习能力较强的班级，小组合作可以在中等水平的班级开展，低层次的班级可以在教师的指导下开展小组合作．

通过“问题设计”，就可以开展比较深入的微探究活动，然后进行交流反思，最终进行总结与评价．

4 数学微探究的评价指标

为了有效开展数学微探究，需要对相关的教学活动进行合理的评价，这就需要对数学微探究构建一个科学的评价体系，这个评价体系一方面可以对“数学微探究”进行评价，另一方面也可以指导教师进行数学微探究设计，并在课堂中科学地实施微探究．对于数学探究的评价，已经有许多学者进行了探讨研究，高文君建立了数学课堂探究水平体系[14]，这个体系根据教育家、心理学家、数学家对问题解决的理解，以及科学探究水平分类而构建．这个体系的构建对于数学探究有着很好的指导价值，然而该体系是针对整个数学课堂探究活动的评价，并且对于教师和学生在探究中的关系进行了显著区分，例如其水平划分中，评价主体是学生，把教师的指导作用作为一个评价指标，教师的指导作用越强，学生的自主性越弱，并且把师生共同参与的探究称为“较低水平的探究”[9]．与此不同，微探究既要体现学生的探究过程，也要展现教师的指导作用，这样才是课堂的实际情况，也是教学的本质．其实文[14]中的数学探究依然有“研究”的味道，也就是再现数学研究的过程；但是，在课堂教学中，数学的再创造必然受到空间、时间、环境等因素的影响，这是一种“模拟的创造”，因此，教师的组织、引导至关重要．再者，由于是根据课堂教学需要开展的“探究”，这就必然烙上了教师预设的“原罪”，尽管其探究的方向可以是发散的，但是教师的探究设计是希望得到某个结论或者使用某种思想方法解决问题．因此，数学微探究尽管可能是文[14]体系下的“低水平的探究”，然而，却依然激发了学生主动思考数学，自主探索，经历数学再创造的过程，相比较于传统的接受式学习有着积极意义．

在文[9]和文[14]中，高文君根据杜威等十几位学者的研究，析出了数学探究活动的要素，主要包括：提出问题，搜集材料，分析与假设，实施方案，验证假设，交流论证，得出结论．然后根据十几位学者对这些要素强调的重要性，提出数学课堂探究的一般活动要素：提出问题，分析与假设，实施方案，评价与结论．受其启发，根据课堂教学实际，研究者提出了数学微探究的评价一级指标：问题设计，问题探究，交流反思，总结评价．根据一级指标的设计，对30名小学数学教师、60名初中数学教师、50名高中数学教师和7名大学数学教师进行了调查．从而论证得到这些评价指标的合理性和实用性．

第一个指标“问题设计”，80%以上的教师认为“根据教学设计合理的探究问题”是激发课堂探究的关键．这其中包括两个方面：一是问题的提出和设计，二是微探究活动的设计．在一般的数学探究中，这个环节主要考查学生的问题敏锐性，自己提出问题或者对问题产生兴趣，愿意探究．在微探究中，这个环节主要由教师完成，其关键是适用的问题情境和探究活动的预设．适用的问题情境是指在教学的合适环节，给出数学问题或者情境，激发学生的探究欲望．其问题可以是纯数学问题，也可以是情境设计，如前文所述，注意问题的发问方式，层次性和方向性．探究活动的预设是指通过这样的微探究，达到什么样的教学目标，其数学本质是什么？采用的探究方式如何？具体而言，预设要有目的性，学生掌握相关的知识与技能，进行数学思考，使用数学思想方法解决问题．要达到这些目的，探究形式要灵活多变，例如，自主探究、小组合作、教师引导的集体研讨等．从这些分析可以得出，其二级评价指标是“问题提出”和“探究方式”．

第二个指标“问题探究”是微探究活动的实施开展过程．在这个过程中，教师组织学生开展相关问题的探究，形式上可以是学生自主探究，也可以是小组合作，或者班级集体研讨，这可以根据问题设计开展．探究流程上，首先是理解探究对象，其次是对探究问题提出假设，然后设计解决方案，最后操作实施．这4个步骤在前面做过详细分析，无论哪种形式的探究，必然经历这4步．学生通过观察、阅读，或者相互讨论交流，对问题进行新的表征，联系以往的知识，全面理解探究对象．在此基础上，通过已知与未知的比较分析，预估探究方向，提出假设．制定探究方案，将问题转化为不同的任务，注重前后的逻辑关系以及探究形式的选择．根据方案的设定，选择合适的数学模型，实施方案，具体操作包括：运算、推理、实验、数据处理、制作实物等，并得到初步的结果．“问题探究”从形式上来看，是微探究的重要体现，是学生经历数学再创造的过程，是数学思维过程的展现．综合可知，其二级指标包括：理解对象，提出假设，方案设计，操作实施．52%的教师是比较认可这4个指标的，28%的教师认为提出假设在探究中可以不要，这可能与问题设计的明确性有很大关系．

第三个指标“交流反思”是微探究结果的研讨与分享．这是微探究成果的展示与整理过程，以学生的交流为主．教师促进学生进行反思质疑，学会表达自己的观点，并合理评价他人．其二级指标包括：汇报交流和质疑反思．49%的教师认为需要经常反思交流，35%的教师认为每次探究都要，也有36%的教师认为偶尔进行交流反思．

第四个指标“总结评价”是微探究成果的评述，92%的教师认为这个环节应该是师生共同进行总结评价，其原因可能是他们把“交流反思”混在了一起．实际上这个环节是通过教师的归纳总结，评价学生的探究过程与结论，提升学生对知识的理解，并掌握相关的思想方法，领悟问题解决策略．其二级指标包括：归纳总结和评价分析．

综合以上分析，可以得到数学微探究评价的指标，如表1所示．

表1 数学微探究评价指标

5 数学微探究的评价体系构建

数学微探究是一种课堂内开展的教学活动，因此，评价的重点是课堂的教学效果，而不仅仅是学生的探究能力．从评价的维度来看，教师行为、学生行为、课堂环境等都是评价的重点．基于问题设计的数学微探究可以从微探究的设计目标、方式、实施、效果等进行分析，正如上述评价指标所示：问题设计体现目标，问题探究体现实施，交流反思和总结评价反映了微探究的效果．

可以使用图2展示这个过程，以及相关的指标所体现的评价方向．

图2 课堂微探究过程

根据图2及数学微探究评价指标，构建了如表2所示的评价体系．

从表2中可以看出，对于数学微探究共有4个大部分，除了问题设计之外，其余的学生都要参与其中，并发挥积极主动性，其中强调的探究方法不仅仅是自主学习，还包括合作交流，动手实验，观察阅读等．4个部分包含10个二级指标，这些指标可能不能完整地蕴含数学探究的所有内容，尤其是在开展微探究形式方面有些薄弱，但是基本反映了微探究活动的完整过程．至于数学微探究的层次划分，在此不做深入讨论，因为不同的学段和不同的数学内容可能对于10个指标的要求不太一致．

6 总结与反思

6.1 数学微探究评价的核心

无论是哪个学段的数学课堂，都提倡以学生为主体的教学环境．然而，从实际教学来看，课堂中教师的讲授依然占了很大比重．也有一些学校开展数学课堂教学的改革，例如，先学后教，精讲多练，导学展示等，并且在学生学业水平方面取得了不错的成绩，这些改革措施实际上是增加了学生探究数学的机会，激发了学生的数学学习积极性．因此，传统的数学讲授式课堂必须有数学探究环节．

表2 数学微探究评价体系

从参与调查的147名教师的观点来看，82%的教师认为，体现数学过程和完善学生的数学认知结构是课堂开展数学微探究的核心．78%的教师认为，数学探究就是要理解数学的本质．当然，也有部分教师认为探究也要体现学生活动和组织形式．

实际上，数学微探究是一种在课堂开展的模拟探究活动，其核心是通过教师将数学的研究进行整合、转化，设计让学生可接受的数学情境或问题，并指导学生开展相关的探究活动．在探究问题或情境过程中，学生展现出主体性，模拟数学研究方法，理解数学对象，提出研究假设，使用数学的方法开展讨论分析并制定研究方案，从而获得相关的结论，并能进行验证，与他人交流分析，互相评价．而教师根据学生的探究活动，合理指导，做好辅助工作，并对学生的工作归纳、总结、评价，展现其中的数学思想方法，促进完善学生的数学认知结构，提高学生问题解决的能力．微探究活动不过分强调学生的自主学习，而是把教师的教和学生的学进行融合，从而促进学生的数学素养提升．

在数学微探究活动中，教师的工作至关重要，要想方设法将“微探究”自然地在课堂中推出，并且时刻以学生为课堂核心，从任务布置，探究问题到交流反思，教师是学生的辅助者、引导者，以“少讲”为根本，以“启发”为纲领．但在探究的最后，教师的总结评价又为学生的数学探究指明方向．从这个角度来说，教师的教学行为是微探究评价的一个重要指标．

6.2 数学微探究开展的关键

课堂中开展数学微探究活动是促进学生参与课堂，学会数学地思考，并体验数学再创造的过程，积累基本的数学活动经验，提高数学素养．在数学课堂教学中，开展微探究活动有以下几个注意的关键点．

第一，问题情境的选择与设计．在课堂教学中，数学微探究问题或情境选择教学环节和其功能有很大关系．根据功能，可以是引入新知，承上启下，归纳总结，巩固应用[15]．这就决定了微探究在教学中使用的阶段，那么设计也要随之而确定，因为不同阶段，其教学要求并不相同．在设计过程中，还要考虑问题的类型：封闭的还是开放的？问题情境是数学的、个体的、生活的或是科学的．

第二，探究方式的选择与组织．在开展微探究活动中是采取个人的自主探究，还是小组合作的方式？对于探究方式在课前要做好准备，课上要合理组织学生开展探究，例如小组合作，是两人一组的伙伴关系，还是3~6人组成的合作关系，注意多人小组的分工．

第三，探究过程中的启发引导．在问题探究过程中，主要活动对象是学生，学生自主探究或者合作交流，教师是否就不用参与其中呢？教师是课堂的组织者和管理者，但更是学生学习的引导者．涂荣豹认为，这种引导主要靠启发，而启发的最主要也是最基本的方法是运用“元认知提示语”的暗示功能[16]．启发引导的形式可以灵活多变，但是不能喧宾夺主，不能将相关的结果或者探究方向告知学生，使学生失去了探究的欲望．

第四，探究总结评价的指导性．在许多课堂探究的活动中，学生开展完探究，交流汇报结果之后，探究任务就结束了．其实，完整的微探究活动，包括教师的归纳总结与评价，这个环节可以不用长篇大论，但是对于学生的数学学习有着重要的指导作用，是带领学生梳理知识，提高技能，指引学生正确的数学思维，掌握数学思想方法的关键．

数学微探究是一种新的教学方式，是对常见的课堂探究的一种补充，这种探究的本质是在当前课堂环境的情况下，最大限度地增加学生参与课堂教学，同时促进学生学会数学地思考数学，研究数学，这也将促进教师的专业发展，例如，提高教师对数学的理解，提高教学设计、问题解决、课堂控制能力等[17]．尽管研究者提出了这样的教学方式，但是在实践方面需要更多的尝试与探索．后续将在初中和高中针对某些数学教学内容，结合某些教学方法，开展数学微探究的教学实验，以期获得更多的有效教学策略．

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[16] 涂荣豹．谈提高对数学教学的认识[J]．中学数学教学参考，2006（1-2）：4-8．

[17] 朱哲民，贾冰．数学探究教学SIRA评价标准建立的尝试[J]．数学教育学报，2016，25（1）：57-60．

The Design of the Assessment Model on Mini Mathematics Inquiry

SU Hong-yu

(School of Mathematics Sciences, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

The mathematics inquiry was a component of the classroom teaching.Based on the comparison of the mathematics inquiry and Mini Mathematics Inquiry (MMI), the level 1 indicators and level 2 indicators of the assessment on mini mathematics inquiry were designed. The model of the assessment of MMI was constructed through the analyses of all indicators. At last, the reflection was given on the MMI.

mathematics inquiry; mini mathematics inquiry (MMI); indicator; assessment

2018–08–13

广东省教育科学“十一五”规划研究项目——有效课堂探究的理论与实践研究（2010tjk300）；广东省研究生教育创新计划项目——数学教育硕士培养评价标准体系构建的研究与实践（2016JGXM_ZD_29）

苏洪雨（1977—），男，山东汶上人，副教授，博士，《中学数学研究》副主编，主要从事数学教育研究．

G421

A

1004–9894（2019）01–0019–06

苏洪雨．基于问题设计的数学微探究评价体系构建[J]．数学教育学报，2019，28（1）：19-24．

[责任编校：周学智、陈隽]