“质数与合数”教学要解决两个“为什么”

余志敏

[摘 要]“质数与合数”教学既要重视概念的产生过程，抓住概念由分类而定义的必要性，解决“为什么要将非零自然数的因数的个数分成三类”这个问题，又要重视对概念内涵的理解，了解由此产生的新名词的含义，解决“为什么质数叫‘质数”这个问题。

[关键词]质数;合数;概念教学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）05-0035-02

“质数与合数”是人教版教材五年级下册第二单元“因数与倍数”的教学内容，在其他版本的教材中也是必学内容，同时它又是学习最大公因数、最小公倍数、分数的约分与通分的重要基础。这个知识的重要性不言而喻。每一位经历此课教学的教师亦会高度重视，努力上好此课。

一、话题缘起

在学校的集体教研活动中，有教师呈现了“质数与合数”一课，笔者听完课后感触甚多，特别是对质数与合数这两个概念建构过程中如何抓住概念的内涵有一些新的想法。

【课堂回放】

师：请同学们小组合作找出1～20各数的因数。

（学生小组汇报）

師：它们的因数的个数有什么规律？请填入下表。

[只有1个 2个 2个以上 ]

（学生汇报，教师根据学生的回答进行板书，归纳出质数与合数的定义）

师：如果用一个集合圈表示，可以分几类？

生1：分成“1”、质数和合数三类。

师：自然数之前是怎样分类的？

生2：分成奇数和偶数。

师：请判断你们的学号是质数还是合数。

……

【课后反思】

在第一环节中，待学生找出1～20各数的因数后，教师给出将因数分成“只有1个”、“2个”和“2个以上”三类的表格让学生填写，学生并不知道为什么要按三类去分，只是生搬硬套，把数往表格里面填。此环节流于分类的表面，为分而分，没有引发深层次的思考。分类是一种重要的数学思想，此处教师未能带领学生体会分类的重要性和必要性，未能体现出数学概念是由分类定义的本质内涵。第二个环节中，用集合圈的表示方法毫无必要，表格式的三类和集合圈式的三类在表征上差别不大。笔者认为，表格式的表征比集合圈的表征更为科学。在第三个环节中，教师带领学生回顾自然数根据是否是2的倍数分成奇数和偶数的设计也非常不合适，此时学生还没有建立好新概念，就容易混淆概念，干扰新概念的形成。这种比较适合放在新概念的形成、辨析和应用之后，也就是放在这节课的练习后面或者是下一节练习课中。如果去掉这两个环节，将省下的时间用于引出具体概念的形成过程，用于加深概念的辨析，能帮助学生理解质数与合数这两个新概念，教学效果会更好。

二、质数与合数教学要解决两个“为什么”

1.为什么要将非零自然数的因数的个数分成三类？

对于“质数与合数”的教学，教材的设计是先让学生找出1～20各数的全部因数，再看看它们的因数的个数有什么规律，然后按照“只有一个因数的数”、“只有1和它本身两个因数的数”和“有两个以上的因数的数”分成三类，最后给出质数与合数的概念，同时指出1既不是质数，也不是合数。

教材将分成三类的表格呈现出来，为了指引学生经历找规律的过程，以两个孩子对话的形式进行呈现（如下图）。

<G：＼刊物备份＼2019＼小教＼小教数学第2期＼内文＼2s59.tif>[只有一个因数的数 只有1个和它本身两个因数的数 有两个以上因数的数 ][找出1～20各数的因数，看看它们的因数的个数有什么规律。][有的数只有两个因数，如5的因数是1和5。1只有因数1。][有的数的因数不止两个……我们来给它们分分类吧！]

教材这样的编写能体现概念的形成过程，但可能是出于对篇幅的考虑，呈现方式过于直接、简单，未能很好地引导学生经历概念的形成过程。

作为课堂组织者的教师，应当准确把握教学内容的实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案。对此，在教学中，教师应当充分重视概念的形成过程，带领学生充分经历找规律、分类的过程，理解将非零自然数的因数分成三类的合理性。

此过程可分为三步：（1）找出1～20各数的因数;（2）看看它们的因数的个数有什么规律;（学生会发现有的数有2个因数，有的数有3个因数，有的数有4个因数……）（3）进行具体分类。有的学生会分别按“有1个因数”“有2个因数”“有3个因数”等进行分类，有的学生则是通过自学等方式知道要分成三类，具体为何这样分则不清楚，有的学生通过自己分析，发现有2个因数的数比较多，最为特殊，可单独作为一类，其他的则作为另一类。学生的这些想法都是正常的，都是值得肯定的。教师作为课堂的引导者，在学生交流讨论的过程中，要因势利导，要让学生知道对事物进行分类的目的是为了更好地研究它，太多的分类是不合适的。在这些数中，最为特别的是有一些数只有1和它本身两个因数，如1只有1个因数，而其他数都不止1和它本身两个因数，还有其他的因数。在此基础上教师就可以给出质数与合数的概念。

2.解决“为什么质数叫‘质数？”

在“质数与合数”教学中，我们要让学生知道为什么把只有1和它本身两个因数的数叫作“质数”。

质数为什么叫“质数”呢？所谓“质”，词典中的基本释义之一是本体、本性，表示最根本、最核心的。物理学家研究物质的基本构成时在原子核中发现了质子，以为这是基本粒子，无法再分，故取名为“质子”。在这里，“质”表示无法再分的意思。

查阅数学史发现，中国人接触并研究“质数”这个名词，是从欧几里得《几何原本》开始的，清朝康熙六十一年开始译为“数根”。清朝末年，因社会动荡、学术混乱，“素数”等叫法开始出现。20世纪初期，数学名词术语的译名极不统一，在1918年由数学家胡明复与姜立夫一起负责撰写《算学名词》，《算学名词》一书将素数定名为“质数”。当时的学者可谓用心良苦，他们考虑到“素”与“数”读音接近，易混淆，而“质”与“素”一样，均表示“根本”之义，故取名“质数”。

2000多年前，古希腊的数学家已提出，“质数”为构成正整数的基本“材料”，为一个单位;而合数则意味着多个单位的组合，它可以分解成几个质因数相乘的形式，而质数无法分解。

当然，我们没必要跟学生讲太多太深，但教师自己应该知道这个数学名词的含义。在教学时，教师可简单地出示几个数，让学生辨析是合数还是质数，并知道合数可以分解成其他数相乘的形式，而质数无法分解，除了写成1乘它本身的形式外，不能写成其他数相乘的形式，以此理解“质”表示的是无法再分的意思。知道了名词的含义，“质数”和“合数”也就鲜活起来，学生也能把这个名词和对应的数建立紧密的对接。

综上所述，“质数与合数”的教学中要解决“为什么要将非零自然数的因数的个数分成三类”和“为什么质数叫‘质数”两个问题，抓住概念由分类而定义的必要性，深化概念的形成过程，并了解由此产生的新名词的含义，理解概念的内涵。

（责编黄春香）