抛物线中与共点切线相关的几个几何性质

湖北省宜都市一中 (443300) 沈俊彤 刘宜兵(指导教师)

图1

课后研究，发现抛物线有如下一些优美性质.

抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作二切线PA,PB,二切线分别交y轴于N,M.则有

(1)N,M在以PF为直径的圆上;(2)PF2=AF·BF;(3)∠PFA=∠PFB;(4)ΔAPF与ΔBFP相似;(5)∠BPF=∠PAF且∠APF=∠PBF;(6)SΔAOB=2SΔPMN.

故|PF|2=|AF|·|BF|.

(注:这里m,n用y1,y2表示是一种很独特的方法,有一种以退为进的感觉)

注:这道题经查为2005江西高考试题.

(4)由(2),(3)易得∠BPF=∠PAF,∠APF=∠PBF,故ΔAPF与ΔBFP相似.