2336问题的简证和几个有趣结论

江苏省苏州市相城区陆慕高级中学 (215131) 万福昌 朱万华

2017.01《数学通报》上数学问题解答中的2336问题，问题提供人给出了解答，是运用三角知识进行证明的.证明方法巧妙，但解题过程十分繁琐冗长.笔者发现用解析法进行证明，方法十分简捷，并在证明过程中，出现了代数轮换式，从而衍生出几个有趣的结论.

图1

下面用解析法证明.

图2

解：如图2，以O圆心，以OA所在的直线为x轴，以OB所在的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系.设圆的半径为r，Q(m,n).

(1)CM=DN；

(2)PC=NB，PD=AM;

(3)PC+AM=PD+BN;

(5)PC·AM=PD·BN;

(7)S△OBQ·S△PQC=S△OAQ·S△PQD;

(8)S△QBN·S△QAM=S△QPC·S△QPD.

(1)显然可得，下面证明结论(2).

(3)(4)(5)显然可得，下面证明结论(6).

(7)(8)证明略去.