一道解析几何题的变式教学及反思

江苏省苏州实验中学 (215000) 张文海

题目是研究数学思想方法的载体，在数学教学中对它们不能简单地就题论题，而应进行适当的变化、引申、挖掘与推广，提出有价值的新问题，这样做不仅使知识能够触类旁通，起到真正举一反三的学习效果，而且可以开阔学生的思想，培养学生的探究能力和创新能力．在教学过程中，笔者发现一道有意思的解析几何题，以此为背景，通过适当的变化，可以得到一些有趣的问题．

1.原题

图1

如图1，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.证明：点F在直线BD上.

注：本题的条件有三个：①抛物线的方程C:y2=4x；②过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点；③点A关于x轴的对称点为D.要求证的结论是：点F在直线BD上.

2.问题的变式

(1)互换题目的条件③和结论

变式1 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点B与F连线交抛物线于D点，证明：AD⊥x轴.

(2)互换题目的条件②和结论

变式2 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于B、D两点，过D作x轴的垂线交抛物线于A点，则直线AB的连线经过定点K(-1,0).

3.问题的推广

变式6 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点K(-a,0)(a>0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，证明：点Q(a,0)在直线BD上.

4.问题的迁移

图2

证明仿变式7，此略.

5.对高三数学复习的一点启示

(1)注重变式教学，触类旁通，让思维品质得到“优化提升”

数学教学离不开解题，高三复习更是如此，但解题不是最终目的，通过解题深化学生对知识的理解，提升学生的思维水平，从而积累解题经验、发展能力，才是解题的目的．变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要手段，通过对数学问题进行多角度的探究，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中发现“变”的规律．在高三解题教学中，教师应针对典型例题通过交换条件和结论、弱化条件，置换问题的背景等形式进行适当地拓展廷伸，通过变式教学引导学生利用数学抽象的方法洞察问题的本质，揭示问题的规律，注重挖掘问题的内涵，让学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维，增强学生面对新问题敢于联想已有的知识经验分析予以解决的意识．变式教学不仅能增强学生的创新能力和应变能力，而且还能使学生的思维品质得到优化．

(2)强化运算能力，克服浮躁，让考试心态做到“繁而不烦”

新的数学课程标准提倡培养学生六个方面的数学核心素养，数学运算和数据分析就是其中之二，而解析几何是考查这两个素养最好的载体．解决解析几何问题主要是在“算”上下功夫．所谓“算”，主要是指算理和算法，算法是解决问题采用的计算方法，而算理是采用这种算法的依据和原因．高考对计算能力的考查是多角度﹑多层次的，尤其注重的是对算理的考查，正因为如此，计算能力的培养，不是通过“繁﹑难”的运算，而是增加思维的深度，拓宽解题思路，很多题目需要根据不同的情况灵活处理，也就是在准确﹑熟练的基础上，重点培养思维能力，逐步学会设计合理﹑简捷的运算途径．要通过对解析几何的复习，让学生体验感悟数学知识之间的本质联系；拓展研究创新视野；培养综合分析问题及应用数学知识解决问题的能力，使解析几何的复习更有针对性，从而提高复习的效率．这样才能在高考中立于不败之地．

(3)重视通性通法，淡化技巧，让复习过程回归“自然本真”

“通性通法”是解决某类问题的基本方法，具有普适性，有利于学生掌握相关知识的本质，从而形成基础的知识网络，构建共同基础，面向全体学生是数学新课程的基本理念，教学中我们要尽量挖掘解决问题的最本质、最基本的方法，即要提倡和重视“通性通法”．近几年的高考数学卷突出了对基础知识、基本技能、基本方法和基本思想方法的考查，这是对“展现知识的发生、发展和应用过程”这一要求的考查，高考题不会过分地追求特殊方法与技巧．因此，在高三的数学教学中，重点是通性通法的强化．在此基础上适当增加一些思想方法的应用训练，如整体代入思想、设而不求思想、正难则反(补集)思想、函数与方程思想、参数思想等思想方法的运用，可以提高运算的速度，但思想方法不是技巧，万万不可走入技巧的胡同和泥沼．

总之，培养学生的探究能力和创新能力是新课改的重要目标，而变式教学是进行探究能力训练的一种重要途径．在数学课堂中，我们应抓住恰当的时机，给学生提供自主探究的的素材，有意识地引导学生尝试进行数学问题的变式探究，有利于促进学生自觉进行知识体系整理与提炼，对促进解题教学大有裨益．