从知识本位到素养本位：小学数学教科书习题板块的变迁及启示

李志超，马甜甜

数学是一门研究数量关系与空间形态的科学。在追求数学素养多维度取向的视角下，数学教育开始关注学生自身发展与社会发展的品格，通过提高抽象、推理、想象与创造的能力，让学生能够运用数学知识解决实际问题；借助数学语言发展数学思维，培养学生良好的数学情感。教科书作为开展教育教学活动的重要介质，为课程目标的有效落实提供了丰富多样的学习内容，展现出内在的科学性、教育性和教学性特点。随着课程改革的深入，数学学科经历了从知识本位到素养本位的价值变化，教科书编排也开始关注学生数学思维的培养、基本活动经验的积累，从而达到对社会生活的适应性、发展性与创造性，充分凸显出了数学学科的前瞻性与高要求。

习题板块作为练习系统，是数学教科书的重要组成部分，具有教学、育人、知识、检查、发展与创新功能，对数学知识应用、教师教学检验、学生学情反馈、认知结构外化都有重要意义。教学大纲向课程标准的语义演变，蕴含着习题板块正在经历传授知识到构建体验的变化，折射出数学观从关注结果走向关注过程。对此，本文以数学教科书的习题板块为切入点，比较分析人民教育出版社版2002年版和2013年版小学数学教科书题目设计的变迁趋势与突出特征，总结并探究有助于数学思维发展、方法创新与综合能力提高的练习系统。

一、研究对象、内容与方法

(一)研究对象

本研究选取的教科书是人民教育出版社小学数学室编著的九年义务教育六年制小学教科书数学(2002年版)与人民教育出版社出版教育部审定的义务教育教科书数学(2013年版)(以下简称02年版和13年版)。具体以两版教科书中六年级上册“圆”为主要研究对象，选用原因如下：

首先，六年级学生具有思维可逆、图式符号化特点，能够运用逻辑、推理、归纳和演绎的方式建立数学模型，解决数学问题。其注意力从无意识向有意识过渡，思维从具体向抽象变化，记忆以具体形象为主，空间、时间、运动知觉逐渐综合化。依据该阶段学生身心发展特点，高段练习题目设置逐渐趋于完善，具有一定研究价值。

其次，本研究选用的两版教科书，正是基础教育改革启动以来，首发与现行版本。跟随课程改革的脚步去探索教科书的变迁历程，具有一定代表性与典型性。“圆”作为教科书中首个系统呈现的平面曲线图形，主要内容包含圆的认识、圆的周长与圆的面积。从数学思想角度看，圆渗透了“化曲为直”“以直代曲”“极限”的数学思维；从日常生活角度看，“圆”随处可见，让我们的生活变得更加方便；从数学文化角度看，“圆”不偏不倚、对称均匀，蕴涵着规范与哲学。[1]两版教科书都将“圆”放置在高段教学内容中，有益于在探究数学本质的过程中渗透数学文化与数学思想。

(二)研究内容与方法

一般意义上，教科书的习题是指“供教学上作为练习来使用的问题”，[2]围绕教科书中习题的位置、形式、呈现与作用，国内外研究者做了大量的研究。国内学者主要从数量、认知水平、知识含量、问题背景、呈现形式等角度展开分析，围绕习题本身设置教科书练习系统，重点关注题目的难易程度与综合水平。国外学者则建立了横纵向维度的比较框架，从顺序、范例、主要内容、概念结构、认知要求和作答类型六个方面对教科书内容进行分析，[3]致力于揭示教科书内容与组织差异，探索对学生能力期望的异同。本文综合国内外比较框架，着眼于习题作为部分在整体教科书中的作用与意义，关注练习的教学价值与教育功能。

对此，本研究主要采用文本分析法，比较两版教科书中练习的编排体例、内容结构、呈现方式，以此探究教科书的习题设计与配置情况，分析共性与差异性。具体比较框架如表1所示：

表1 两版教科书习题板块比较框架

二、研究过程与结果

(一)编排体例

两版教科书的习题板块都是由“做一做”和“练习”组建而成，针对难度较大的题目用星号标记，章节内容后都有相匹配的习题，形成了完整的练习体系。02年版和13年版教科书中“圆”这一单元编排体例如图1所示：“做一做”是一种随堂练习，呈现在课节内容与例题后，侧重过程性评价，目的是巩固运用知识，发挥教学与发展功能。“练习”是一种单元测试，放置于整节内容后，偏向结果性评价，起到反思回顾内容，检验反馈学情的作用。

图1“圆”的编排体例

习题板块与例题、知识内容有着密切的联系，配备习题时要充分考虑相关内容间的协调性与衔接性。02年版教科书中习题设计依附于教学内容与例题，通过变换数量关系、问题情境，起到巩固新知与强化练习的目的。一方面，习题与相应内容表现为一对一的匹配模式，即一道练习题对应一个课节内容或例题。以“圆的认识”为例，教科书在介绍圆的基本概念后，练习呈现出的题目是用彩笔标出半径与直径；在讲解工具画圆后，习题出现的题目是用圆规画圆，并标识圆心、直径、半径。这样一对一的匹配模式，将习题视为补充与辅助，充分发挥了练习的教学功能。另一方面，习题与内容的匹配程度较高，即题目的设计是对例题的改造，问题的解决是对熟悉任务的模仿。在“圆的周长”中，教科书出示了两道例题，分别是已知直径求圆桌周长，已知周长求圆形水池直径。紧随其后的便是两道相似的练习题，依次是已知半径求自行车轮周长，已知周长求圆环半径。这样的练习具备“即时”巩固与应用的功能，其实际是对例题解决方案程序化的演示过程。从一对一的匹配模式与匹配程度来看，02年版教科书相关内容与习题二者之间呈现出绝对匹配的特点。

与之相比，13年版教科书则体现出相对匹配的特点。具体来看，习题是在教学内容与例题基础上完成创新与变式，落脚点在于检验学生解决问题的能力。二者表现出一对多或多对多的匹配模式，即一道或多道练习题对应多个课节内容。在匹配程度上，习题与例题形成梯度，互为补充。比如，教科书在介绍圆的认识与画法后，设计了两道习题，第一道题目是用生活用品画圆并寻找圆心，通过作图工具的特殊化、日常化处理，将画图本质与目的回归到生活背景中，试图寻找生活中的数学原型，表达了数学教学回归生活的理念。第二道题与旧版教科书设置相似，用圆规画圆并标识，说明统一画图工具、规范作图方法仍是教学重点。该版本教科书的习题板块是对教学内容的延伸与拓展，练习价值不仅仅局限于夯实基础知识与技能，还更加关注解决问题方式的多样性和综合性体验。

(二)内容组织

1.习题数量

在“圆”这一章的习题设计中，02年版教科书习题数量情况：“认识”8道题、“周长”18道题、“面积”19道题，总题量达45道题。13年版教科书习题数量情况：“认识”12道题、“周长”13道题、“面积”20道题，总题量达45道题。从本章题量分布来看，02年版教科书更加重视圆的面积和周长中的知识点，13年版教科书与之相对持平。从题量总数来看，该章题量没有发生变化。

表2 两版教科书“圆”习题数量比较

2.组织顺序

两版教科书的练习板块在组织形式上都采用了“螺旋式编排”，但整体的组织顺序还是存在一定差异。

02年版教科书依据知识的呈现次序、例题的示范顺序建构练习，让练习过程紧密贴合知识的获得过程。例如，“圆的周长”练习题组中，从已知直径、半径求周长的题目出发，经历已知周长求直径、半径的公式逆向运用，再解决与钟面、测量、单位换算相结合的问题，最后融合组合图形与不规则图形设计习题。教科书习题组织具有层次性与阶段性特点，秉承由易到难、由顺到逆的编排顺序，综合考虑知识点间的联系，层层递进，反复练习，根本在于强化概念理解与周长公式应用，帮助学生系统掌握基本知识与技能。

13年版教科书基于知识逻辑顺序的同时，也关注到了学生思维的发展顺序，在习题组织上具有差异化和模式化的特点。从差异化角度来看，习题组可以系统分为基础、变式、综合与创新四个部分。以基础知识为核心，以变式练习为突破，以综合练习为提高，以创新练习为拓展，让学生的认知经历识别、理解、应用与创造四个阶段。差异化的习题组织有助于结合学生思维水平分层教学，根据学情差异进行针对性练习。从编排的模式化特点来看，习题组织顺序开始追求与学生的认知相吻合，尝试建立一套解决问题的模型。依据理解题目、拟定方案、执行方案与回顾四个解题步骤，[4]结合问题解决的认知模式，让学生经历表征、识别、迁移、监控四个过程。以“圆的周长”为例，该练习题组按照巩固、应用、拓展的递增顺序编排。基础练习中存在以下三道练习题：(1)已知圆形喷水池半径，求周长；(2)已知沿圆亭直径行走的步数与每步长度，求周长；(3)已知圆柱周长，求直径。这三道题目通过巩固新知、变式条件、逆推公式让学生经历了知识获得、转化、评价的过程。布鲁纳认为学习不仅是学“特定事物”而在于习“一个模式”。同样，教科书练习板块的设立也不仅仅是在做特殊的题目，而是在帮助学生掌握一套解决问题的模式。从本质上看，是要求学习者掌握有效的迁移应用及真实问题的解决，进而实现创造性认知的高阶思维，[5]真正做到在解题过程中掌握知识、锻炼技能、发散思维、提升素养。

3.知识内容

练习系统是作为教学内容的直接性反馈，是教育教学是否达成目标的有效检测手段之一。布卢姆目标分类学解决了陈述性知识向程序性知识转化的问题，实现了目标、教学、测评的一致性审视。[6]基于此，通过对教科书教学目标陈述的梳理，学生习题认知程度的审察，便于了解与之契合的习题知识类型与认知水平。

02年版教科书依据《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》编撰而成，此大纲要求通过教学达到“认识圆，会画圆，掌握圆周长和面积计算公式，介绍圆周率史料进行爱国主义教育”的目标。[7]基于此，习题设计主要针对认识、会画、掌握进行检验，进而评判学生的认知水平。该版本教科书中知识与认知程度的关系主要为解释事实性知识、执行程序性知识与核查程序性知识。解释事实性知识表现为用自己的话界定专业术语，如车轮为什么要做成圆。执行程序性知识反映出对熟悉内容的再操作，如用圆规画圆、用面积周长公式计算。核查程序性知识体现在判断计算方法的最佳设计，如思考周长算法，判断简便算法。教科书习题对学生的认知要求主要围绕在记忆、理解、应用上，关注学生对程序性知识的掌握，将“圆”的相关内容最终落于公式运用与计算能力的培养。

13年版教科书根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》编写，课标要求学生通过观察认识圆，学会用圆规画圆；通过操作，了解周长与直径的比为定值，掌握圆周长公式；探索并掌握圆的面积，解决实际问题。对此，习题针对知识点进行重点练习与综合运用，通过加强知识的深度与广度，提升学生的认知水平。该版本教科书中知识的认知维度主要为组织概念性知识、实施程序性知识、生成概念性知识与评判元认知知识。组织概念性知识是整合概念间的一致性，如求解正方形内切圆的直径与半径，整合曲线图形与直线图形的形成结构。实施程序性知识要求选用合适程序完成陌生的任务，如求解圆环的面积。生成概念性知识需要通过联结不同概念，提出不同的解决路径，如周长一定时围成什么面积最大。评判元认知知识则是判断选用计划与现有认知是否吻合，如解释生活中蒙古包、根茎横截面为圆的原因。教科书习题将学生的认知水平提升到分析、创造与评价的程度，关注学生知识特征的聚焦、问题表征的生成、解决策略的优化与问题方案的贯彻，将课程内容的教学目标落实在数学思维与问题解决层面。

(三)呈现方式

1.题目的呈现方式

两版教科书的习题呈现都体现出文字插图相配合的特点，通过知识内容符号化、表格化，发挥学生视觉感知，进行信息双重编码。02年版教科书中图片素材寥寥无几，色彩单调，样式单一，缺乏具体事物的类比，缺少抽象复杂问题的具体形象化过程，整体呈现无规律可循，直观抽象无顺序可觅。在“圆的面积”中，有这样一道题目：选定一棵树干，通过测量计算它的横截面积。纯文字表述题意，忽视配图的理解性功能，导致题目缺乏明确的指向性，未直观呈现题目要求的操作行为，实践的具体路径不明确，降低了题目的可实施性。

插图发挥着文字不可替代的功能，13年版教科书在图片素材的使用上，更具有图文并茂的特征。配图助力题目的完整性、多样性、顺序性与可行性，突出图文结合的解释与说明功能。教材图文搭配表现出多类型、多组合、多样化形式，如围绕“圆”，就先后有整圆、半圆、圆环、圆与正方形的组合图形等。插图的呈现顺序体现出生活化向数学化、写实性向抽象性的渐变，引导课堂教学由现实生活切入，进而升华到基于标准规范的数学理性思考，体现出直观到抽象、感性到理性的过渡，符合学生解决问题的认知规律，帮助学生思维的阶段化转变。

2.情境的创设方式

问题思考是学生与问题情境互动的产物，习题正是联系二者的重要纽带。研究表明：我国数学教科书的习题情景设计与其他国家一直存在差异，[8]我国的习题设计更加注重通过创设情境培养数学情感与渗透数学文化。两版教科书中习题情境创设具体情况如图2所示。

图2 两版教科书“圆”习题情境创设比较

02年版教科书关注问题情境的生活化与数学化，借助熟悉的情境更好地发挥习题理解、巩固与应用功能。秉承这一理念，习题开始尝试创设大量的生活情境，让学生在现实中解决数学问题。诸如车轮、圆形钟表、喷泉、锅炉等物体跃然映于纸上。单物体设置的样件，只是帮助学生“看见”了知识，但究竟怎么用，值得商榷，难免会令人产生一种“伪生活化”的感受。

教科书不是单纯呈现知识的文本，而是增强应用意识、提高文化素养的资源。13年版教科书在问题情境创设上增强了操作性、文化性与综合性，问题背景设置更贴近现实生活。一方面，教科书体现出数学中国化的文化底蕴，将感性的传统文化、民族特色与理性的数学学科紧密融合，尊重多元的文化社会，注重学生的人文素养。通过增加玉璧、土楼、门洞、铜钱等具有文化底蕴的实物设置问题背景，传递着中华“尚圆”与“天圆地方”的传统理念。另一方面，教科书的问题情境具有真实性与生活性，更符合儿童的实际经验，突出数学知识在生活、文化、历史中的运用。例如，在圆的周长练习中，编排了在生活中找圆环形物体，测量并计算它的面积。在日常生活用品中找数学图形圆环，将数学知识与现实生活紧密联系，是数学问题生活化的典型体现。

三、研究结论与启示

数学学习的本质在于建构知识的内在联系，探索规律的形成过程，提炼基本的思想方法，体验理性的数学精神。数学既有具备明确条件、结论、策略、技巧的波利亚式问题，也有注重建立概念、构造体系、形成思想的本原问题。[9]在从知识本位向素养本位的转变过程中，小学数学习题设计取得了良好发展。通过比较研究，可以发现小学数学习题板块呈现出以下特点：习题择取的代表性、知识呈现的统整性、问题设计的变式性、情境创设的生活性、题目表征的多元性。

(一)习题择取的代表性

教科书练习系统的习题择取表现出由系统性向代表性的转变趋势。基于巩固知识、加深理解、考察学情、培养应用与解决问题能力的作用，摘录于教科书中的习题应当具有基础性、范例性、典型性的特点。范例教学思想主张在有限教学时间内组织“教养性学习”，[10]促进学习者的独立性，发挥学生的知识、能力、态度的连续作用。从知识点的面面俱到到难点突破，由代表性题目整合而成的练习系统，正是建构知识框架与思维层级的媒介。

习题系统建立要力戒盲目追求量而忽视质。明确练习板块的每道题目并非是独立个体，而是有重点的整体，谋求让学生通过做懂一道题，而解决一类问题，训练一套习题组，而经历归纳与类比的推理过程，抽象出数学现象背后的规律。一道好习题需要学生达到从对原始问题的斟酌到能够建立解决问题的模型，从个到类，从特殊到一般，从总结规律到普遍运用，激发学生的独创、生成与潜在的能力，达到举一反三的练习效果。

(二)知识呈现的统整性

教科书增强了习题的综合程度，对知识的检验由孤立考查向统整考核变化。整个练习系统通过整体渐进与局部衔接，在练习内部强化学生的概念域，探究内在联系，厘清整个知识板块的逻辑线。在解题过程中，让学生反复经历表征问题、分析问题、解决问题的过程，将问题放置于整个知识框架内部，综合考虑题目中的各个因素。

零散、孤立的习题不能有效促进学生的认知结构，将散点聚拢，综合考查，做到巩固知识点、串联逻辑线、组合认知面。一方面，削弱已知条件与问题的直接关联，促成阶段性的推理，设置层次性的求解过程，借助概念间关系，让问题解决经历多条件间的联结，强化知识间关系理解与综合应用。另一方面，将概念性知识与程序性知识相融合，在静态理性知识与动态操作知识交替发展中实现数学知识的统整。

(三)问题设计的变式性

习题板块中问题设计开始由原始问题向变式问题转化。郑毓信认为“不应求全，而应求变”是数学技能教学的基本原则，“不应求变，而应求联”是数学知识教学的相应原则。[11]对此，我们应当借助变式问题达到变中求全、变中求联，让学生在表征、建模、推演中，发挥抽象概括与归纳推理能力去解决开放性问题。综合运用知识、技能、思维，在构建概念本质与非本质因素间的关系时，让学生的思维发展达到由“顺”向“逆”，帮助学生通过数学学科提高思考能力。

变式理论认为有意义学习包含概念性变式与过程性变式两类策略，前者凸显本质明晰外延，让学生多角度理解概念；后者优化结构融会贯通，让学生体验知识的演变发展过程。数学练习系统要综合两类策略，合理设计变式，呈现一题多变与一题多解。变条件、变问题，在变中挖掘不变因素，找到知识联结的关键，感受类比的推理过程。提高问题设置的开放性与变通性，通过以旧引新，发掘新思路与新方法。

(四)情境创设的生活性

习题情境的设置开始从“伪生活”向“生活化”转化，试图加强数学知识与生活经验的联系，将知识贴近现实，帮助学生感受社会生活中的数学现象，让学生在实际情境中体验数学运用。避免给冰冷的数字和符号包裹上一层华丽的外衣，改变问题背景“去情景化”到“再情境化”的演变，树立“练”是为了“用数学”的理念。

真实问题情境具有中介与导向功能，一方面能够让学生投身于真切的情境中，体验知识向生活的迁移过程；另一方面可以让学生以辩证的眼光审视题目，结合自身经验，考虑现实因素，选择最优解决方案。数学问题的情境可以衍生出丰富的历史底蕴与严谨的科学魅力，渗透理性思维与数学思想，助力学生理性精神与情感态度价值观的更新。基于此，习题设计生活化的关键在于从学生的日常生活中挖掘好的教学素材，不仅有思维启发性，更有现实运用性，引导学生从生活中走进文本，再从文本中走向生活。

(五)题目表征的多元性

教科书习题逐渐由描述性、叙述性的单独表征向多元表征过渡，借助符号、表格、图片表征问题，渗透数形结合的解题思想，促进内在知识结构外化，提高学生逻辑思维和理性思维能力。多元表征是西方倡导的一种教学方式，主张概念表征不同方面的相互渗透和必要互补，小学数学多元表征背后体现出多元主义与本质主义融合的哲学基础。[12]在言语视觉的多重表征下，避免呈现“纯条件”与“纯问题”，完整反映知识本质与非本质属性。借助各个成分的暗示与意指，让学生在思维转换，内在感知力外化的过程中，理解不同表征间的内涵差异，建构不同概念因素间的体系。

表征具有多样性与结构性，不同表征包含着各自独特的优势。基于此，在教科书编排中，需要明晰不同表征的作用，合理选择表征形式。习题是检验学生概念理解的手段，题目设计要选取恰当的表征形式，做到问题本质属性的准确刻画。各类表征中，文字表征阐明题意，呈现条件；图像表征辅助理解，营造背景；符号表征精确感知，抽象概括。综合考虑不同表征的功能，通过感知、运算、分析、推理的逐步推进，强化表征寓意与数学知识间的联系，从而达到数学意识与数学思维的形成目标。

哈尔莫斯(P.R.Halmos)说过“问题是数学的心脏”，教科书中呈现数学问题的核心环节就是习题板块。如上所述，代表性习题具有举一反三的作用，统整知识为综合理解奠定了基础，变式问题起到了转换思维的功效，生活化情境落实了回归生活的理念，多元表征实现数学本质的准确刻画。根据小学数学教科书中习题板块的变迁特点，我们可以发现，数学练习题设计应立足数学素养，探究数学本原，在动态解题过程中，注重渗透数学思想，构建完整的知识体系，感受数学文化魅力。题目的具体设计，应站在数学学科自身角度去思考，通过练习，我们要传递出数学学科的本质，它不仅是关于数与形的科学，更是关于思维的模型。