变速运动可压缩夹层梁稳定性的直接多尺度分析

颜 婷， 杨天智,2， 丁 虎， 陈立群,3

(1.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2.天津大学 力学系，天津 300072；3.上海大学 力学系，上海 200444)

轴向运动结构广泛存在于航空航天、机械、军事等领域。另一方面，在航空航天领域，对材料有着特殊的要求。复合材料夹层梁是由表面很簿、但强度要求高的约束层，和中间较轻的夹心层组成，其轻质、高强度特征，使其在航空航天领域得到广泛应用。

目前，对轴向运动连续体的研究主要集中在各向同性的均质材料，很少将夹层结构考虑到轴向运动梁的建模与分析中。Wickert[1]用能量法建立了运动梁非线性振动的控制方程。陈树辉等[2]用增量谐波平衡法分析了运动梁的内共振响应。丁虎等[3]运用微分求积法分析了在受迫振动时轴向运动梁的稳定性。王波[4]分析了运动梁稳定性区域受轴向拉力的影响。杨鑫等[5]分析了在热冲击作用下两端简支运动梁的稳定性。Yang等[6]研究了多频激励下黏弹性梁的近似解。Ding等[7]分析了3∶1内共振下黏弹性梁的稳态响应。

随着复合材料结构的广泛应用，研究人员逐渐开始关注其动力学特征。Ray等[8]讨论了不同边界条件下夹层梁的稳定性。Yang等[9]用状态空间法解决了不可压缩夹层梁的复模态问题。Lü等[10]分析了不可压缩的带有轴向脉动速度的夹层梁的运动稳定性。Khdeir等[11]应用有限元方法对不可压缩夹层梁进行了屈曲分析。以上文献都忽略了夹心层的可压缩性。

Frostig等[12]运用高阶梁理论得到了可压缩夹层梁线性和非线性的控制方程。Dwivedy等[13]分析了周期荷载作用下软夹层梁的稳定性。Marynowski等[14]分析了带有黏弹性软夹心的轴向运动夹层梁的动力学特性。吕海炜等[15]分析了夹心层的厚度与临界速度的关系。Chakrabarti等[16]基于zig-zag梁理论对软夹层梁进行了屈曲分析。Vo等[17]用准三维理论对复合层合梁进行了弯曲分析。Yang等[18]分析了软夹层梁夹心层的剪切模量对临界速度和固有频率的影响。以上文献考虑了夹层梁夹心层的可压缩性，但都没有考虑速度周期变化对系统动力学的影响。

这些工作中，对可压缩夹层梁的参数振动方面的研究尚属空白。本文考虑带有速度脉动的可压缩夹层梁，利用直接多尺度法，分析了变速运动轴向运动梁的稳定性问题。

1 直接多尺度法

上下约束层仅承受轴向力，中间夹心层仅考虑剪切变形的夹层梁的无量纲控制方程为

(1)

式中:w(x,t)为运动梁的横向位移，是轴向坐标x和时间t的函数；Y为夹层梁弹性模量和剪切模量的比值，文中简称模量比值。

两端铰支的边界条件为

(2)

假定速度围绕平均速度c0作简谐脉动，即

c=c0+εc1sin(Ωt)

(3)

式中:ε,εc1非常小，εc1为速度脉动振幅；Ω为速度脉动频率。

将式(3)代入式(1)，作ε的一次近似，有

(4)

对式(4)应用直接多尺度法，设其一阶近似解为

w(x,t;ε)=w0(x,T0,T1)+εw1(x,T0,T1)+…,

(5)

式中：T0=t为快时间尺度，是由于梁某阶固有频率ωk而引起的；T1=εt为慢时间尺度，是由于速度小扰动而引发的振幅及相位慢变。

(6)

式中：Dn=∂/∂Tn，将式(5)和式(6)代入式(4)，然后分离ε0和ε1不同阶量，得到

(7)

(8)

式(7)的解可以写为

(9)

其中两端铰支的模态函数可以表示为[19]

(10)

将式(9)代入式(7)，再引入铰支边界条件有

(11)

(12)

2 固有频率分析

利用式(11)和式(12)，由试根法可以得到夹层梁各阶的固有频率。图1～图3给出了弹性模量与剪切模量的比值在不同速度下对固有频率的影响。

由图1可知,与经典轴向运动梁一样，夹层梁的固有频率随着速度的增大而减小。对于夹层梁，当弹性模量与剪切模量比值增大时，夹层梁的固有频率减小。由图2可知，当弹性模量与剪切模量比值小于0.2时，模量比值的增大对固有频率的影响较大；当模量比值大于0.2时，模量比值对固有频率的影响则趋于平缓。由图3可知，在速度较大时，模量比值对前两阶的固有频率影响较大，即速度越大，改变模量比值对前两阶固有频率的影响越明显。

图1 模量比值取不同的值时前两阶固有频率和平均速度的关系Fig.1 The relationship between the mean speed and first two natural frequencies at different modulus ratios

图2 速度取不同的值时模量比值对前四阶固有频率的影响Fig.2 The effect of modulus ratio on the first four order natural frequencies at different speeds

图3 不同速度时模量比值与固有频率的关系Fig.3 The relationship between the modulus ratio and natural frequencies at different speeds

3 稳定性边界及参数的影响

取m阶和n阶主模态，考虑速度脉动频率为

Ω=ωn+ωm+εσ

(13)

式中：当m=n时，为次谐波共振；当m≠n时，为组合共振[20]。

将式(9)及式(13)代入式(8)，有

(14)

式中：cc和NST分别为前面所有项的共轭项和非长期项。由可解性条件可得

(15)

(16)

其中，

(17)

(18)

令

An=BneiσT1/2,Am=BmeiσT1/2

(19)

将式(19)代入式(15)和式(16)中，可得

(20)

(21)

假设式(20)和式(21)的解有如下形式

(22)

式中：bn,bm为实数。将式(22)代入式(20)和式(21)，有

(23)

(24)

3.1 梁平均速度对失稳边界的影响

由梁的线性控制方程，在已知平均速度c0以及弹性模量和剪切模量的比值Y时，利用前文提及的试根法可得到两端铰支条件下梁的各阶固有频率。现分析梁的轴向平均速度和模量比值对一阶次谐波、二阶次谐波及和式组合三种不同共振失稳区域的影响。

当模量比值Y=0.1时，梁在不同轴向平均速度下三种共振失稳区域的情况，如图4所示。由下图可知，当轴向平均速度增大时，运动梁的共振失稳区域略有缩小；而梁平均速度对三种共振失稳区域的影响，主要表现在使梁固有频率发生改变。ω-c1平面上为运动梁的三种不同的共振失稳区域，其中曲线频率内轴向运动梁产生共振。

3.2 弹性模量与剪切模量的比值Y对失稳边界的影响

当c0=2.0时，不同弹性模量与剪切模量的比值Y对三种共振失稳区域的影响，如图5所示。由图5可知，当弹性模量与剪切模量的比值Y增大时，ω-c1平面上失稳区域有所增大。弹性模量与剪切模量的比值Y对共振失稳区域的影响也主要表现在使运动梁固有频率的改变。

图4 梁平均速度对失稳区域的影响Fig.4 Influence of beam mean speed on instability region

图5 弹性模量与剪切模量的比值对失稳区域的影响Fig.5 Influence of the ratio of the elastic and shear modulus on instability region

3.3 三种共振的比较

考虑带有脉动的轴向运动梁，其模量比值为Y=0.4，轴向平均速度为c0=1。三种不同的共振在σ-c1平面上的失稳区域，如图6所示。从图6可知，第一阶次谐波共振时，运动梁失稳区域的范围最大。

图6 共振失稳区域Fig.6 Resonance instability region

3.4 可压缩夹层梁与普通不可压缩梁的比较

当c0=2.0时，Y=0(普通不可压缩梁)和Y=0.01,Y=0.02(可压缩夹层梁)时，第一阶次和第二阶次谐波共振的稳定性比较，如图7所示。从图7中可知，与经典的不可压缩的轴向运动梁相比，可压缩夹层梁的失稳区域较大，即可压缩夹层的引入，会导致运动梁的失稳区域增大。

图7 共振失稳区域Fig.7 Resonance instability region

4 结 论

本文研究的是带有速度脉动的可压缩夹层梁。其中表面层为薄膜结构，中间层为软夹心层；这里假定表面层仅承受轴向力，中间夹心层仅考虑剪切变形。通过试根法得到夹层梁的固有频率，以及弹性模量与剪切模量的比值对夹层梁固有频率的影响。与经典轴向运动梁一样，当轴向平均速度增大时，夹层梁的固有频率减小。对于软夹心层梁，当弹性模量与剪切模量比值增大时，夹层梁的固有频率减小。此外，当弹性模量与剪切模量比值小于0.2时，改变模量比值对固有频率的影响较大；当弹性模量与剪切模量比值大于0.2时，改变模量比值对固有频率的影响较小。同时在速度较大时，模量比值对固有频率的影响较大，即速度越大，改变模量比值对固有频率的影响越明显。利用直接多尺度法分析了轴向带有脉动速度的夹层梁的稳定性边界，发现夹层梁的失稳区域会随着平均速度的增大而略有缩小，而弹性模量与剪切模量的比值增大会导致失稳区域增大。发现与不可压缩运动梁相比，由于可压缩夹层的引入，梁的固有频率和临界速度均降低；且梁的失稳区域有所增大。由此可以分析得到，在一定的条件下，可以通过增大中间夹心层的剪切模量，从而达到使夹层梁失稳区域缩小的目的。