外转子支点不同心的双转子系统振动特性

徐梅鹏, 侯 磊, 2， 李洪亮， 陈予恕

(1.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001； 2.哈尔滨工业大学 能源科学与工程学院，哈尔滨 150001)

现代航空发动机多为双转子结构，即由内外转子套装，通过中介轴承联接成为一个并联双转子系统。由于在装配中或机器长期运转中的热、疲劳等问题往往难以保证内外转子的转轴中心线完全重合，使得系统振动变得复杂，危害航空发动机的安全稳定运行[1]，其中主要原因之一是外转子支承部位发生偏移，造成外转子支点不同心问题[2]。

双转子系统动力学建模常见方法有模态综合法[3],有限单元法[4-5]，传递矩阵法[6]等。孙传宗等[7-9]对复杂结构双转子系统的建模和模型简化方法进行了较为细致的研究，通过对比临界转速和振型验证了简化方法的有效性。随着计算机计算速度的发展，有限元软件仿真方法[10]和数值积分方法[11-12]成为多自由度大模型分析方法的代表。Ferraris等[13]通过有限单元法和实验双重手段得到带机匣的双转子系统临界转速。Glasgow[14]利用模态综合法进而计算了双转子-轴承系统的临界转速和振型。此外，Hou等[15-16]基于改进的谐波平衡法对含强非线性双转子系统的近似解析求解方法开展了研究，为双转子系统的理论分析提供新的思路。

航空发动机转子系统易产生多种不对中及不同心形式，并引起学者们关注。Al-Hussain等[17]建立两跨对称Jeffcott柔性转子刚性联轴器混合不对中模型，分析得到不对中改变了系统的刚度矩阵。Xu等[18-19]根据Hooke铰的力矩分解，分析得到系统各部分的固有频率及联轴器不对中系统的多阶偶次倍频特征，并从实验上验证该方法的可行性。李明等[20]建立了具有平行不对中故障的非对称柔性转子系统，并探讨其非线性动力学行为。张振波等[21]建立多支点柔性转子系统模型，在不同连接结构下分析得到：支承不同心使得结构刚度呈现非线性且会激起2倍频分量。Li等[22]通过改进谐波平衡法不对中转子系统的响应特征。陈果等[23]建立了转子-滚动轴承-机匣耦合动力学模型，发现不对中和碰摩故障使得高次谐波尤其是偶次谐波成分将显著增高。对于双转子系统，李全坤等[24]建立了双转子联轴器不对中故障模型，研究发现高低压转子振动相互耦合，使得2倍频共振在高低压转子上均有体现。冯国全等[25]给出了双转子系统支撑轴承不对中的建模分析方法，分析了系统的临界转速和响应特征。

本文针对内外轴不重合的故障，建立外转子支点不同心双转子模型，并将不同心影响转化为支承上附加的等效不同心弯矩，采用二维谐波平衡法求解得到幅频响应曲线，获得了由不同心引起的故障共振区，通过分析频谱和轴心轨迹几何形状揭示了不同心故障特征，可为不同心故障诊断提供依据。

1 航空发动机双转子简化模型

为使双转子系统简化模型尽可能反映结构特点，做出以下模型假设：①转轴简化为不考虑转轴的扭转力及轴向力的影响，仅考虑转子的横向弯曲振动的刚性轴； ②考虑具有回转效应的刚体转盘，其质量和转动惯量聚集在质心位置，圆盘的不平衡量始终位于回转平面；③支承处包含中介轴承均简化为各向同性线弹性支承。

根据假设建立如图1所示的简化模型，转盘的几何中心分别为O1和O2；m1,m2,e1,e2,Jp1,Jp2,Jd1,Jd2分别为低、高压轴上的圆盘质量、偏心距、直径转动惯量和极转动惯量。k1,k2,k3,c1,c2,c3,kb分别为3个支座的刚度和阻尼系数及中介弹簧刚度。ω1和ω2分别为内、外转轴的转速。

图1 双转子系统简化模型示意图Fig.1 Diagram of simplified model for dual rotor system

取内外转盘质心横向位移和偏转角共8个为自由度组，各能量式为

(1)

(2)

(3)

并利用Lagrange方程式(4)来推导振动方程

(4)

式中：L=T-U为拉格朗日函数；ψ为瑞利耗散函数；F(t)为不平衡力。

2 外转子支点不同心模型

本文研究的模型如图2所示，由于外转子在与基础连接地方发生偏差，大小为Δ，主要造成外转子轴线发生倾斜，与内转子轴心线产生角度为α的偏角。外转子支点不同心的影响可以等效为外转子支点处的附加不对中弯矩Fm，从而得到外转子支点不同心双转子系统的振动方程

(5)

式中：X={x1,y1,θx,θy,x2,y2,φx,φy}；M,D,K分别为质量阵、阻尼阵和刚度阵；G为反对称阵。

图2 外转子支点偏移示意图Fig.2 Fulcrum-offset schematic diagram

2.1 力矩分解

如图3所示，假设外转子的驱动力矩Td水平向左，坐标系o-xyz为固连在外转子上的坐标系，外转子的轴心线与z轴重合。将力矩沿z轴分解，有

(6)

根据绕定点转动的欧拉方程，有

(7)

式中：Iz为外转子对z轴的主惯量矩。

图3 力矩分解图Fig.3 Moment decomposition diagram

2.2 带偏角的角速度传递

两相交转动轴的角速度比的关系为

(8)

式中：ωd,ωp分别为主从动轴角速度;θd为主动轴转动角度。

(9)

式中：Δx2, Δy2为外转子支点横纵向偏移量。

2.3 谐波分解

(10)

P,Q分别为

(11)

对式(10)左边项进行谐波分解，得到

(12)

(13)

由θd=ωdt，ωp=ωz, 并将式(12)两端对时间t微分得到

(14)

式中：B2n=2nA2n,(n=1,2,3,L) 。

在同心的双转子系统中，外转子与驱动轴有着共同的转动角速度，假设当双转子系统出现小角度不同心时，驱动轴的转动角速度与外转子转动角速度保持近似相等ωd≈ω2，进而有

(15)

由外转子支点不同心转化的等效不同心弯矩可写为

Fm=[0, 0, 0, 0, 0, 0,My,Mx]T

(16)

3 二维谐波平衡法

鉴于双转子系统受不成比例的ω1和ω2双频激励，需构建二维谐波平衡法。式(5)可以通过以下设解方式来求解。通过引入

τk=ωkt(k=1, 2)

(17)

式中：0≤τk≤2π(k=1, 2)来作为求解的时间尺度则

(18)

(19)

对设解进行谐波分解，有

(20)

式中：aij和bij为谐波项系数，代入动力学方程式(5)有

(21)

(22)

其中各分块矩阵为

(22)

(24)

4 研究结果与分析

参数设置：

m1=20 kg,m2=13 kg,Jp1=0.18 kg·m2,Jp2=0.18 kg·m2,Jd1=Jp1/2,Jd2=Jp2/2,e1=1.5×10-6m,e2=1.0×106m,L1=0.275 m,L2=0.36 m,L3=0.165 m,L4=0.105 m,L5=0.05 m,c1=16 N·s/m,c2=16 N·s/m,c3=16 N·s/m,k1=7.5×106N/m,k2=7.5×106N/m,k3=5.0×106N/m,kb=7.5×

106N/m。

4.1 关于谐波平衡法算法可靠性的检验

Runge-Kutta法是求解含初值条件微分方程组的强有力工具，具有收敛性好，精确度高等优点，但是求解时间历程受初值影响大。如图 4 所示，在不同的不同心角度下，系统的振动响应分别通过HB法和Runge-Kutta法求得，对比发现：当谐波项中m≥6时，两者的稳态解吻合的较好，但是前者无需多次积分去逼近稳态解，其求解速度更快(两者求解时间相差两百多倍)，故可取HB法来进行后续求解与分析。

图4 不同偏角下二维谐波平衡法和Runge-Kutta法的求解对比(-为RK; ·为HB)Fig.4 Comparison between HB and Runge-Kutta under angular variation

4.2 计算结果及分析

双转子系统的幅频曲线出现4个主共振区，同向转动时，如图5所示：6 016 r/min，7 162 r/min，10 790 r/min和13 080 r/min(反向转动时，如图6所示：6 016 r/min，7 066 r/min，10 310 r/min和11 360 r/min)分属于外、内转子自身不平衡力激起的第一、第二阶临界转速；当双转子系统的外转子支承发生偏移出现支点不同心问题时，幅频曲线出现新的共振区；由于研究对象是刚性轴，所以研究转速范围应低于一阶临界转速，取低于6 016 r/min的转速，在偏移角度为0～1.59°时，得到这些共振区的轴心轨迹图和频谱图；当不同心偏角较小时，轴心轨迹在同向转动时为多椭圆内切圆形(反向转动时为多椭圆包络圆形)；随着角度的增大，出现2倍频率成分并逐渐增大，轴心轨迹形状出现不同的变化：轨迹移动范围也变大。当转速为2 880 r/min时，同向转动时轴心轨迹出现多椭圆内切圆形→月牙形→剪刀形变化，如图 7所示(反向转动时轴心轨迹出现多椭圆包络圆形→月牙形→剪刀形变化，如图 8所示)；当转速为5 100 r/min时，同向转动时轴心轨迹出现多椭圆内切圆形→桃形→“8”字形变化如图9所示(反向转动时轴心轨迹出现多椭圆包络圆形→桃形→内“8”字形变化，如图10所示)。

图5 双转子系统同向转动幅频响应曲线(α=0, α=1.5°)Fig.5 Frequency-response curves of co-rotational dual-rotor system

图6 双转子系统反向转动幅频响应曲线(α=0, 1.5°)Fig.6 Frequency-response curves of counter-rotational dual-rotor system

图7 同向转动下，转速ω1=2 880 r/min时外转子轴心轨迹和x2频谱随偏角的变化Fig.7 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for co-rotation when ω1=2 880 r/min

图8 反向转动下，转速ω1=2 880 r/min时外转子轴心轨迹和x2频谱随偏角的变化Fig.8 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for counter-rotation when ω1=2 880 r/min

图9 同向转动下，转速ω1=5 100 r/min时外转子轴心轨迹和x2频谱随偏角的变化Fig.9 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for co-rotation when ω1=5 100 r/min

图10 反向转动下，转速ω1=5 100 r/min时外转子轴心轨迹和x2频谱随偏角的变化Fig.10 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for counter-rotation when ω1=5 100 r/min

5 结 论

基于质心集中质量法和Lagrange方程建立了外转子支点不同心的双转子系统简化模型，并通过求解效率高的谐波平衡法求解了系统的振动响应，参数分析可以得出以下结论：

(1) 航空发动机双转子系统受双频不平衡力激励，其幅频响应曲线上出现4个共振区，分别对应由高、低压转子自身不平衡力激起的前二阶临界转速。

(2) 受外转子支点不同心影响，其幅频响应曲线出现新的共振区；当不同心偏角较小时，轴心轨迹为多椭圆内切圆形(同向转动)或多椭圆包络圆形(反向转动)；其主导频率成分2倍随不同心偏角增大，使得轴心轨迹移动并增大而且在不同转速下，轴心轨迹形状出现不同的变化形式：在低转速共振响应区域(小于一阶主临界转速)，轴心轨迹受不同心角度影响，成月牙形，剪刀形或(内)“8”字形，与典型的不对中轴心轨迹特征相似。

本文的研究成果有助于理解不同心双转子系统的振动响应特征，从而为不同心故障诊断提供依据。后续将进一步研究考虑支承非线性的不同心双转子系统的动力学特性。