中学数学概念教学的反例探究

双 鹂，詹 钰

（1.上饶师范学院 数学与计算机科学学院，江西 上饶 334000；2.上饶中学，江西 上饶 334000）

目前，有关学生数学核心素养发展的讨论已开展得如火如荼，且有较多的研究成果，给一线教师提供了一个学习、借鉴的平台。如杨九诠主编的《学生发展核心素养三十人谈》中，众多知名学者从核心素养的概念与本质、核心素养的教学价值以及如何落地等方面进行了阐述，为教师的教学改进提供了有益的参考［1］。研究表明数学概念教学是助力学生核心素养发展的关键［2］。正如李邦河所说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”［3］。可见数学学习的成败取决于对概念理解与掌握的程度。而在数学概念教学中，反例能使学生更深层次地理解、领悟、掌握概念。鉴于此，笔者拟对概念教学中反例的应用加以探讨。

一、应用反例凸显概念的本质属性

数学概念的学习，是数学学习的重中之重。教师在概念教学时应花大功夫、浓墨重彩地教，而不是蜻蜓点水、程序式地“定义+注意”了事。有些概念采用正面教学法学生不容易理解，而构造反例能使其透过现象看本质，及时纠正谬误，凸显概念的本质特征。反例是概念教学的一种行之有效的方式。

例1 设A,B是坐标面上的两个点集，Cr={(x,y)|x2+y2≤r2}，若对∀r＞0 都有 Cr∪A⊆Cr∪B，则必有 A⊆B。此命题是否正确？

分析：此命题要求对集合概念的本质属性理解透彻，构造反例可轻松解决。

反例：取 A={(x,y)|x2+y2≤1}，B={(x,y)|0＜x2+y2≤1}，容易看出Cr∪A⊆Cr∪B但A不包含在B中，故原命题不成立。

例2 判断：若{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则 Sk，S2k-Sk,…Snk-S(n-1)k，…也是等比数列［4］。

分析：此命题考查的是等比数列的有关概念，很多参考资料都认为是一个正确的结论，其实不然。

反例：设{an}的公比q=-1，当k为偶数时，数列Sk，S2k-Sk,…Snk-S(n-1)k，…是各项均为零的一个数列，显然它不是等比数列，由此可见公比不为零是等比数列的一个本质属性。

例3 f(x)在点x=x0的导数定义的等价形式为：，其中 α=α(Δx)，当 Δx→0时，α→0；对吗？

分析：导数定义形式的理解是中学生的薄弱环节，甚至部分大学数学专业的学生对此定义的各种等价形式也含混不清。中学教师讲授该内容时应多花功夫，精心设计教学环节，从不同视角对导数概念进行深刻地剖析。

反例：设 f(x)=|x|，若令 α=|Δx|，则当 Δx→0 时，有，即在x=0处可导，与已知f(x)=|x|在x=0处不可导矛盾，故上述命题不正确。错误原因是 α=α(Δx)，当 Δx→0时，α→0的方式不是任意的（只是单侧趋于零），使学生明白导数定义的本质属性是以任意方式趋于零。

二、应用反例防止概念的负迁移

学习概念时，容易产生消极的“惯性思维”方式，严重影响学生对新概念的认知。此时教师可运用典型反例，引导其从本质特征上分析并理解概念，明晰概念之间的联系与区别，冲出思维定势的“牢笼”。

例如，学习了“不可能事件的概率为零”后，受“惯性思维”左右，学生可能会认为“概率为零的事件一定是不可能事件”，教师可引导学生举出如下反例：

在几何概型中，设Ω={(x,y)|0≤x2+y2≤6}，A={(x,y)|x2+y2=3}，Ω为圆域，而A为圆周，可求得P(A)=；显然事件A是可能发生的。

又如，受初中阶段“圆的切线定义”的影响，到高中学习利用导数求曲线的切线时，学生会毫不犹豫地认为“曲线上任意点的切线与该曲线有唯一的公共点”。教师在讲授上述问题时，一般只强调切线的求法，而对曲线的切线的概念匆匆带过，导致学生的错误认识没有得到及时纠正。笔者认为教师应引导学生构造反例，以加深其对该概念的理解。

反例：设曲线方程为y=x3，易求该曲线在点（1,1）处的切线方程为y=3x-2，解这两个方程组成的联立方程组得两曲线的交点为（1,1）与（-2,-8），由此说明曲线上点的切线与该曲线的公共点不一定惟一。

再如，复数概念是中学教学的一个难点，其原因是学生易将它与实数概念混淆，把实数集的有关性质全部“打包”给复数集。比如当x∈R时，|sinx|≤1及|cosx|≤1恒成立。学习了复数后，有些学生会认为当x∈C时，|sinx|≤1及|cosx|≤1仍然成立。其实不然，可构造如下反例：

由欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ得：e-iθ=cosθ-isinθ，易求 得设 θ=2i，则 cos2i=＞1，即 cos2i＞1。

由此知x∈C时，|sinx|≤1及|cosx|≤1不一定成立。

三、应用反例剖析概念间的关系

概念的内涵与外延密切相关，两者之间成反比。学生往往搞不清概念外延之间的关系，把邻近的概念混为一谈。教师也可通过反例进行剖析，使学生明确相邻概念间的联系和区别。

例4 函数y=f(x)在(a,b)的极大值必定比极小值大？

学生对“大”、“小”的理解已经根深蒂固，因此会不假思索地认为上述命题是正确的。教师应给出反例澄清谬误：如易求函数 f（x）=x+2sinx在（-∞，+∞），极大值为=。由此使学生明白函数的极值是个局部性概念，它是在极值点的某一个小领域内“最大”或“最小”。

例 5 若 P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则 A,B,C 两两独立，反之亦然。

这是中学概率统计中的一个重要概念，许多教师只是强调此命题是不正确的，但却没有讲清为何不成立的理由，此时应引导学生构造反例，以加深对该概念的辨析。

反例：（1）设有一均匀正八面体，第一面涂了红、黄、蓝三色，第二、三面均涂了红、黄两色，第四面只涂了红色，第五面只涂了黄色，第六、七、八面均涂了蓝色。现投正八面体一次，记A={顶面出现红色}，B={顶面出现黄色}，C={顶面出现蓝色}，则 P（A）=P（B）=

故 P（ABC）=P（A）=P（B）=P（C），而 P（AB）≠P（A）P（B），P（BC）≠P（B）P（C），P（AC）≠P（A）P（C）。说明由 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能得到 A,B,C 两两独立。

（2）投掷一枚均匀的硬币两次，设出现正面为H，出现反面为T；若“第一次出现正面”记为事件A，“第二次出现正面”记为事件B，“只出现一次正面”记为事件 C；则 A={（H,H）,（H,T）}，B={（H,H）,（T,H）}，C={（T,H）,（H,T）}，AB={（H,H）}，AC={（H,T）}，AC={（H,T）}，ABC=Ø。

例6 数集的集合表示与区间表示等同吗？

函数的定义域常用集合或区间表示，许多同学认为这两种表示方式毫无区别，是完全等同的，甚至有极少数教师也持相同意见。其实不然，比如函数y=cos x在区间是严格递减的，而若将此区间用集合表示，即k∈Z}，则结论不成立。理由如下：

由此说明区间与集合都可以用来表示数集，但它们不一定等同。

三、构造反例提升概念应用的效能

数学概念学习的终极目标是应用，即在具体问题中运用概念，在运用中加深理解。比如数学选择题中有大量的问题与基本概念有关，此类问题常用的方法是构造反例去排除错误选项。部分学生在解决此类问题时颇感困难，毫无头绪，教师应给予指导，让学生体会到反例的“威力”，使其发挥最大效能。

例 7 设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且

A、an＜bn对任意 n 成立；

B、bn＜cn对任意 n 成立；

分析：极限概念是学生学习道路上的“拦路虎”，本题若直接考察困难重重，用反例排除法就简便多了。

例8 已知下列命题：

（1）函数f（x）与其反函数的图像若有公共点，则公共点必在直线y=x；

（2）函数 f（x）若存在反函数，则它一定是单调函数；

（3）函数 f（x）若存在反函数 f-1（x），则必有 f［f-1（x）］=f-1［f（x）］；

（4）函数与它的反函数有相同的单调性；

其中正确命题的个数为（ ）。

A、2 B、2 C、3 D、4。

分析：本题考察的是函数与反函数的概念，亦可利用反例说明命题（1）、（2）、（3）均不正确。

（3）设 f（x）=x2-4,x∈(0,2)，则它的反函数为 f-1（x）x∈(-4,0)；因为 f-1［f（x）］=f-1(x2-4)=x,x∈(0,2)，则有 f［f-1（x）］≠f-1［f（x）］，故应选 A。

A、sin(sinφ)＜cosφ＜cos(cosφ)；

B、sin(sinφ)＞cosφ＞cos(cosφ)；

C、sin(cosφ)＞cosφ＞cos(sinφ)；

D、sin(cosφ)＜cosφ＞cos(sinφ)。

分析：本题的难点是对 sin(sinφ)、sin(cosφ)、cos(sinφ)、cos(cosφ)概念的理解，可利用反例这一“精良武器”，使问题迎刃而解。

反例在概念教学中的作用不可小觑，它与正面教学相得益彰，形成有机互补。但反例教学也不是完美无缺的，应用不当也会产生负效应。反例呈现太早，会分散学生的注意力，导致概念学习变成了“夹生饭”；构造的反例难度系数偏高，学生理解困难，达不到预期效果，等等。因此，教师在概念教学时应把握时机，恰到好处地应用正、反例子。这样概念教学才能产生一加一大于二的效度，才能使发展学生核心素养的目标平稳落地，绽放出美丽的花朵。