信息技术与数学教学深度融合的模拟实验策略

罗宇军 吕家星

【摘 要】本文通过对高中数学必修 1-5，选修 2-1，选修 2-2，选修 2-3 与信息技术深度融合的案例进行分析和总结，提炼出信息技术与数学教学深度融合的模拟实验策略。通过模拟实验让教师经历从组织学习内容到设计学习经历的转化，让学生的学习从被动接受到主动探究的转化。

【关键詞】信息技术 数学教学 深度融合 模拟实验

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）10B-0048-06

策略是为实现某一个目标，根据可能出现的问题制定若干对应的方案，在实现目标的过程中，根据形势的发展和变化来制定新的方案，或者根据形势的发展和变化选择相应的方案，最终实现目标。在数学教学中，存在很多的含变量的知识点，这种知识点由于参数的变化而变得复杂，教师在教学过程中难以讲得清楚明白。比如，立体几何，因教具缺乏和学生空间想象能力不足，导致教师在教学过程中感到力不从心。如果能利用几何画板及相关几何画图软件制作相应的课件让学生进行“实验”，那么就能使学生更好地理解几何原理。这种利用信息技术手段的“模拟实验”方法，既节约教学成本，又缩短教学时间，从而提高教学效率。因此，信息技术与数学教学深度融合的模拟实验便成为数学教学中的一种比较优势措施。

一、模拟实验的适用范围

和物理化学一样，很多数学知识是由学生观察“数学现象”并进行归纳总结而得到或者形成的，如《指数函数及其性质》这一课的教学，为什么函数中规定 a>0 且 a≠1？为什么指数函数图象恒过（1，0）？为什么值域为（0，+∞）？等等。传统的教学方法无法直观地展现这些知识内涵，就是很辛苦地讲解也不一定讲清楚。如果利用几何画板制作成下面的课件（如图 1 所示），让学生通过数学实验的方式进行学习，那么就能“一拖”而解决所有问题（让学生结合实验，拖动 a，改变 a 的值并观察图象，就可以较好地把指数函数讲清楚，较好地回答上面的问题）。

图 1

但要注意，不是所有的课都要通过实验来进行教学，数学课也如此。那么，哪些课需要通过“实验”来进行呢？笔者对高中数学进行总结分析，得出适用“数学实验”的数学课有如下特点。

（一）大多数函数问题（特别是含参数的函数），如 y=Asin（ωx+φ）的图象、指数函数、对数函数等。具体如下：

以 y=Asin（ωx+φ）的图象为例，对于 A，ω，φ 是如何影响 y=Asin（ωx+φ）图象的？一般的黑板教学无法很好地展示。笔者利用几何画板的动态作图特点，设计数学实验如下：

〖实验一〗振幅变换：如图 2 所示，点击图中对应的按钮，改变 A 的取值，观察图象的变化，归纳出振幅变换的规律。

图 2

〖实验二〗周期变换：如图 3 所示，点击图中对应的按钮，改变 ω 的取值，观察图象的变化，归纳出周期变换的规律。

图 3

〖实验三〗平移变换：如图 4 所示，点击图中对应的按钮，改变 φ 的取值，观察图象的变化，归纳出平移变换的规律。

图 4

（二）轨迹（曲线）问题，如椭圆、双曲线、抛物线等。轨迹问题的教学策略：以模拟实验替代传统实验，以精确度量代替直观归纳，从而减少实验成本，减少实验“意外”的发生等影响学习的因素（以椭圆的定义为例）。

教材中采用如图 5 的实验的形式。

图 5

让学生通过实验探究椭圆的形成过程，从而总结出椭圆的定义：把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数（大于 ∣F1F2∣）的点的轨迹叫做椭圆。

实践表明，该实验的演示效果比较差，另外实验过程中的“意外”时有发生，并且当“常数（等于∣F1F2∣）”和“常数（小于∣F1F2∣）”时的轨迹是怎样的？比较难解释。鉴于以上问题，笔者利用几何画板制作课件进行“模拟实验”，解决上述问题。实验画面如下：

图 6                                    图 7         图 8

如图 6 所示，当 2a>∣F1F2∣时，呈现的图形是椭圆;如图 7 所示，当 2a=∣F1F2∣时，呈现的图形是线段;如图 8 所示，当 2a<∣F1F2∣时，没有呈现图形（即此时图形不存在）。如此便能够轻松地讲清楚这个知识点。

（三）定点、定值问题。具体如下：

〖例 1〗已知点 M 是椭圆  的长轴上异于顶点的任意点，过点 M 且与 x 轴不垂直的直线交椭圆 E 于 A、C 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 B，设直线 BC 交 x 轴于点 N，试判断  是否为定值？并证明你的结论。

长期以来，定值、定点问题是学生眼中的“难点”，主要原因有两个：（1）动点之间的关系不好确定，各个动点相互作用后，搞不清楚哪些是不动的？不知如何求定值？（2）定值是多少，难以确定（没有目标、方向）。

利用几何画板制作好课件，在课堂上进行数学模拟实验，可以很好地解决上面的两个问题。制作课件如下图：

图 9   图 10                                 图 11

第一步：拖动 Q 点改变直线斜率，发现虽然 C 点改变，B 点随之改变，但是 N 点没有随之改变（如图 9 所示），因此，在 M 不改变的情况下，N 不变，所以  是定值。

第二步：拖动 M 点改变 M 的位置，发现 N 点随之改变， B 点随之改变，但是通过度量功能度量出 xM，xN，发现  的值并没有随之改变（如图 10 所示），因此，在 M 改变的情况下，N 随之改变，但是  是定值 25。

第三步：拖动 M 点到点 E（长轴的右端点），发现 N 点随之移动到 E 点的位置（如图 11 所示），此时 xM=xN=a，引导学生分析，得出结论：。

通过上面的探究，很容易引导学生总结出解决定值（定点）的方法（特殊到一般法）：分析动点或动线的特殊情况探索出定值，再证明该定值与变量无关。

（四）线性规划问题。含参数的线性目标函数具有较强的抽象性，参数的变化对可行域或目标函数的变化，对于学生来说，不易理解。为解决这一问题，可通过信息技术与数学教学融合，利用几何画板动态展示，引导学生观察与发现，体会参数变化对图象的影响。

结合参数所在的位置，可以发现含参数的线性目标函数问题一般可以分为两类：

1.探究约束条件含有参数的线性目标函数问题（域变目标定问题）

〖例 2〗若变量 x，y 满足约束条件 ，且 z=2x+y 的最小值为 -6，则 k=       。

按照正常的线性目标函数分析，发现可行域虽然含参数，但容易得知参数对直线的变化情况的影响。发现无论 k 如何变化，最优解都在 y=x 和 y=k 的交点取得，把抽象变成具体，能直观得到最优解的判断。

图 12                                    图 13

图 14

正常情况下，可行域和目标都是变化的，学生分析起来比较困难。如果我们能够把两个变量减少到一个变量，那么解题难度将会减小许多。在这一指导思想下，通过与学生小组讨论发现，如果 z=2x+y=6，那么可得到定直线 2x+y=6。只需要改变 k，改变可行域，就可发现当 C（k，k）不在直线 2x+y=6 上时就不能满足条件（如图 12，13 所示）;只有当 C（k，k）在直线 2x+y=6 上才满足条件（如图 14 所示）。由 2k+k=6，得到 k=2。

可行域中含有参数的解题策略：把最值代入目标函数得到一条定直线，平移此直线分析它与可行域的相交情况，即可快速解决问题。

2.探究目标函数含参数的线性规划问题（域定目标变问题）

〖例 3〗若变量 x，y 满足约束条件 ，且 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=       。

我们知道，将目标函数化为斜截式后斜率和截距都变，不好画图，比参数在约束条件时更复杂，但类似地，我们可以通过特殊化探究，即由 z=ax+y=4，得到此时的目标函数 y=-ax+4，此时的目标函数恒过（0，4）。然后通过改变 a 的值，得到一个恒过（0，4）的直线系（如图 15 所示），而且当且仅当直线过 E（2，0）时满足题目条件（如图 16 所示），把（2，0）代入后得到 a=2。

目标函数中含有参数的解题策略：把最值代入目标函数得到一条过定点的直线，旋转此直线，分析它与可行域的相交情况，即可快速解决问题。

图 15                                  图 16

（五）分段函数问题。由于 Geogebra 软件兼具幾何与代数两大功能，因此能够将数形结合的情况体现得淋漓尽致，因此，只要是数形结合的问题，都可以利用它来进行形象展现。利用它的这一特点进行数学实验同样可以最大限度地发挥信息技术的优势，提升学习效率。

〖例 4〗已知 ，若 h（x）=a 有且仅有三个根，求 a 的取值范围。

分段函数是高中数学的难点，因为它能够同时涉及多种函数，可以同时考查多个知识点，达到“一石多鸟”的目的，所以它是高考的热点。这类问题的难点来源于：（1）学生对分段函数的认识模糊;（2）区间内函数的根的问题无通法可循。实际上，“h（x）=a 有且仅有三个根”可以转化为“函数 y=h（x）的图象与函数 y=a 的图象有且仅有三个交点”。这就要求画出分段函数的图象，利用 Geogebra 软件的逻辑功能就可以解决分段函数问题。

1.认识分段函数

通过点击函数前面的圆点（如图 17 所示），切换函数呈现（如图 18，19 所示），让学生理解分段函数与原函数的关系，让学生理解分段函数实际上是区间上的原函数的组合（是一条“折线”）。

图 17                                      图 18

图 19

2.区间上函数的根的个数问题

作函数 y=a 的图象（是一条平行于 x 轴的直线，拖动改变 a，观察直线与“折线”的交点情况（如图 20，21，22 所示），容易知道直线位于  a∈（-3，1）。

图 20

图 21

图 22

（六）三视图的 3D 实验室。学生在本课学习过程中可能在以下三个方面会遇到障碍：

（1）学生在画三视图时会出现障碍。原因在于，虽然初中已经接触过三视图的相关内容，但对轮廓线和棱的实、虚线的运用尚不熟练，导致作图出现错误。

（2）学生在识别三视图所表示的几何体时会出现障碍。原因在于，所需识别的几何体具有一定的复杂性，高一学生空间想象力的缺乏是造成此障碍的直接原因，特别是在识别特殊三棱锥和一些简单组合体的三视图时会出现障碍。

（3）学生在理解三视图中的边长关系时出现障碍，原因在于高一学生空间想象力的缺乏。

运用玲珑画板的 3D 功能和三视图功能，我们可以通过设计如下面的两个模拟实验轻松解决学生在学习三视图过程中遇到的障碍。

〖实验一〗认识三视图

（1）学生操作电脑，转动右下角的正方体进行实验（如图 23 右下），观察正视图（图 23 左上）、侧视图（图 23 右上）、俯视图（图 23 左下）的变化，理解三视图中轮廓线和棱的实、虚线的关联。

（2）学生操作电脑，转动右下角的切割体（如图 24 右下），观察正视图（图 24 左上）、侧视图（图 24 右上）、俯视图（图 24 左下）的变化，理解切割体的三视图。

（3）学生操作电脑，转动右下角的切割体（如图 25 右下），观察正视图（图 25 左上）、侧视图（图 25 右上）、俯视图（图 25 左下）的变化，理解割体的三视图。

图 23                                  图 24

图 25

〖实验二〗由三视图还原几何体

如何由三视图还原几何体，是高考的热点，同时是难点，目前是教师教学过程中的难点（不知道怎样讲清楚，另外，加上空间图形的作图难度大，因此，教学难度大），笔者利用玲珑画板的切割特性，采用“三度切割”的办法解决三视图还原几何体问题。

〖例 5〗已知某几何体的三视图如图 26 所示，则该几何体的体积为              。

根据“三度切割”的办法，笔者运用玲珑画板进行模拟实验：

（1）创建一个长方体，并运用切割功能进行第一次切割，得到一个三棱柱（如图 27 的左图所示），并运用三视图功能进行验证（如图 28 所示）。虽然发现主视图已经符合条件，但是侧视图和俯视图不符合条件，需要进行第二次切割。

图 26                                   图 27

图 28

（2）使侧视图符合条件，接下来按照图 29 的位置进行第二次切割（割两刀），得到如图 30 的左边的几何体（右边两个是割出来的），并用三视图功能进行验证，发现侧视图也已经符合条件，但是，俯视图不符合条件，需要进行第三次切割。

图 29                                    图 30

图 31

（3）为使俯视图符合条件，接下来按照图 32 的位置进行第三次切割，得到如图 33 的左边的几何体（右边一个是割出来的），并用三视图功能进行验证，发现俯视图也已经符合条件，此时，三视图还原几何体大功告成（如图 34 所示）。

圖 32                                  图 33

图 34

实践表明，“三度切割”的办法是目前掌握的由三视图还原几何体的行之有效的办法之一。

二、模拟实验策略的实施路径

（一）模拟实验器材的准备。数学和物理、化学不同，物理和化学可以利用大量的实验器材，通过实验解释所学知识，而数学却没有。所谓模拟实验，即利用信息技术把数学知识制作成课件或者软件，由教师或者学生操作课件观察、分析，以达到所谓的“实验”的目的。由此，数学的实验器材的准备大多数是相关课件的准备。制作相关课件的常用软件有几何画板、geogebra 软件、flash 软件、玲珑画板等工具，这些工具必须具备这样的条件：

（1）可操作。必须有相关的“操作按钮”和操作提示，如“拖动 A 可改变参数”等。

（2）可视化和数字化。实验的过程可以动态完整地实时呈现图象及相应的变量值。

如，y=Asin（ωx+φ）的图象的数学实验，课件界面如图 35 所示：

图 35

（二）模拟实验报告的准备。既然是实验，那么就必须知道实验的目的是什么？如何操作？出现什么样的现象？可能得出什么样的结论？这些都必须在实验之前需要明确的事情。因此，准备实验报告是进行数学实验前必须做的一件事。如何做呢？物理化学已经给我们提供了很好的借鉴。例如，y=Asin（ωx+φ）的图象的数学实验报告可以写如下（实验报告的一部分）：

函数 y=Asin（ωx+φ）图象实验报告

实验目的：通过利用计算机的作图代替五点法作图，通过利用计算机的模拟三角函数的变换过程，使通过学生的自主探究的形式让学生了解 Α，ω，φ 对函数 y=Asin（ωx+φ）的图象的影响。

实验目标：利用软件强大的交互功能帮助学生通过自己设计不同的变换顺序，掌握正弦函数图象的复合变换的规律以及不同变换过程之间的差异并归纳出一般性结论。

实验工具：1.几何画板;2.多媒体平板。

实验过程：

函数 y=sinx → y=Asinx 图象

1.作出 y=sinx 图象

2.作出 y=2sinx 图象

观察图象得到：（提问学生由学生总结）

要得到的 y=2sinx 图象，只需把正弦函数曲线 y=sinx 的所有点的           坐标           到原来的           倍，           坐标不变。y=2sinx 最大值是         ，最小值是         ，周期是         。

（三）模拟实验过程的全程指导。学生由于对软件或者课件的操作不熟悉（特别是几何画板和玲珑画板），比如，操作按钮是哪个？怎样操作？观察哪个数据？和哪个数据进行比较？等等。或者有一些学生会“分神”，导致实验可能出现一些“意外”。因此，在实验过程中，教师要不断地进行指导和监控。在实验之前必须对学生（特别是学习小组的组长）进行必要的培训，并在实验前进行课件操作的集体演示，以确保实验得到顺利进行。

（四）模拟实验结果的总结。由于学生操作能力和观察能力等方面的差异，实验的结果可能千差万别，即使结论基本一致，在结论的表述上也需要进一步规范，因此，在实验结束前，教师要利用一些时间进行必要的实验总结。

比如，实验一结论：

把本节模拟实验的结论进行归纳总结，形成统一的知识呈现给学生，可以起到画龙点睛的作用。

长期以来，大家都试图用信息技术来改进数学知识的呈现方式，改进学生的学习方式。研究发现，数学实验是眾多方式中效果比较突出的方式之一。本课题组通过对研究成果进行总结，并结合多年的教学数学实验所提炼出的可操作的“程序”，提出了这些具体的实验措施，抛砖引玉，以便共同研讨与提高。

【基金项目】广西教育科学“十三五”规划2019年度B类课题“信息技术与数学课堂深度融合的策略研究”（2019B144）。

（责编 卢建龙）