数形结合与空间观念在初中数学解题中的应用

2019-01-30黄玉梅

中学课程辅导·教师教育（上、下） 2019年24期

黄玉梅

摘要：数学是一门比较抽象的学科，要激发并维持学生的学习兴趣，必须重视学习方法的研究与渗透。常用的数学思想方法包括很多，这里重点谈的是数形结合思想与空间观念的应用。所谓数形结合思想，就是指根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。而空间观念是几何课程改革的一个课程核心的概念，《数学课程标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握。

关键词：数形结合;空间观念;中考;效率

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）24-060-2

因为我多年从事初三数学的教学，因此深刻感受到数学思想方法的重要性。毕业班的学习特点就是时间紧，任务重。若要打好中考这场硬仗决不能强攻，只能智取。作为比较抽象的数学，如果要激发并让学生特别是九年级的学生保持对数学的学习兴趣，那么经常提炼归纳各种数学思想方法尤为重要。在各类思想方法中，我觉得数形结合思想与空间意识的运用最能给学生解题带来惊喜。所谓数形结合思想，就是指根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的作用。而空间观念是几何课程改革的一个课程核心的概念，《数学课程标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握。数形结合思想与空间意识是相辅相成的，它们有密切的关系，在初中数学解题中可以为我们带来莫大的便利。

首先谈谈如何利用数形结合思想去解决常见数学问题。

华罗庚说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。”由于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而形具有形象、直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把数的对应——形找出来，利用图形来解决问题。

例3.当n为正整数时，求12+14+18+...+12n的值。

分析：本题对于初中的学生来说还是非常难的，我们可以考虑用数形结合思想来解决。

我们可以这样理解，假设有一个边长为1的正方形，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去正方形纸片的一半，正方形剩余面积是12，第二次剪去剩余图形的一半，得到的图形面积是14，第三次剪去第二次剪剩的图形的一半，得到的图形面积是18，即每次剪去前一次剩余图形面积的一半，……那么当第n次剪后得到的图形面积是（12）n，把每次剪下来的图形面积相加，即得到1-12n=12+14+18+...+12n

通过以上几个例题，我们不难看出，利用数形结合的思想确实很巧妙地化难为易。总而言之，“数无形不直观，形无数难入微”。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在初中数学教学中起着举足轻重的作用。

其次谈谈如何充分利用空间观念去解决常见数学问题。

空间观念是创新精神所需的基本因素，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造，许多的发明创造都是以实物的形态呈现的，都是设计者先根据想象画出设计图，然后再做出模型，最后才完善成功的。在这过程中空间观念起着非常重要的作用，所以明确空间观念的意义，认识空间观念的特点，发展学生的空间观念非常重要。

例1.已知等边△ABC，以AC为腰，在△ABC外作等腰三角形，AD=AC，连接BD，则∠BDC= °

解析：此题解法比较多，一种解法就是可以根据AB=AC=AD得到A，B，C，D四点共圆，再利用圆周角定理得出∠BDC=30°

例2.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC.

（1）求证：AC=AD+CE;

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.

i）若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值;

ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长。

【答案】（1）证明：∠A=∠C=90°DB⊥BE

有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90°