分类讨论思想在初中数学解题教学中的有效运用
2019-01-30丁长生
摘 要：初中数学教学是初中阶段教学科目中的重要组成部分，学生通过学习数学知识，可以不断增强自主思考的能力，学生的创新能力也会得到相应的强化。但是，初中数学的知识有难度、抽象性较强，很多学生即便在课堂中认真学习，在课后解题时，也会遇到较多的困难。对于初中数学解题教学，教师如果无法选择科学的教学思想，就无法应用高效的教学方法，这样就无法保证解题教学的质量。
关键词：分类讨论思想;初中数学;解题
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）39-0033-02
引言
初中数学解题教学主要是针对学生在学习数学过程当中遇到的疑难问题进行分析、讲解，在帮助学生解决问题的同时，增强学生学习数学的能力。在初中数学解题教学当中，分类讨论思想是一种常用也较为重要的教学思想，更是一种高效的解题方式。分类讨论思想可以将初中数学中的难点知识化整为零、积零为整，也能帮助学生掌握初中数学学习中问题的内在规律，并掌握相应的解题方法，做到举一反三和“以不变应万变”，最终提高解题教学的质量[1]。
一、在应用题解题中的应用
应用题是初中数学教学当中的重点内容之一，但是很多应用题的难度较大，且题目很灵活，很多学生在解应用题的过程当中就会出现一些无法顺利解决的问题。而教师在进行应用题解题教学的时候，就可以积极应用分类讨论的思想。
如有一道数学应用题：一家家具厂主要生产的产品是椅子和桌子，一把椅子的市场价格为40元，一张桌子的市场价格为200元，家具厂为了提高这个月的销售额，现在为消费者推出了两种不同的购买方案。第一种方案是消费者买一张桌子，厂家赠送一把椅子;第二种方案是椅子、桌子的销售价都按照定价的90%进行打折销售，消费者在购买的时候不能同时选择两种方案。如果一个消费者想要购买20张桌子和若干把椅子，那么他需要选择什么样的购买方式才最为划算？
在解这道应用题的时候，由于题目当中没有直接给出这位消费者需要购买多少把椅子，所以，在选择购买方案的时候难度较大，笔者在为学生进行示范解题的时候，选择了分类讨论的思想，具体解决方法如下：假设这名消费者所要购买的椅子为x把，第一种方案就是200×20+（x-20）×40，结果就是3200+40x元，那么第二种方案就是（40x+200×20）×90%，结果就是3600+36x元，这时我们可以将y设定为3200+40x元减掉3600+36x元。如果y>0，那么4x-400>0，即为x>100，所以第二种购买方案更为划算。而如果y的值为0，那么两种方案的结果是一样的。而如果y<0，那么4x-400<0，x的取值就在20和100之间，这时选择厂家提出的第一种购买方案更为划算。也就是说，如果这名消费者要买的椅子多于20把但是少于100把，可以选择第一种方案，而如果所要购买的椅子超过100把，则可以选择第二种方案。
二、在不等式解题中的应用
不等式问题是初中数学解题教学中的关键问题之一，目前也是分类讨论思想应用得最为广泛的问题类型之一。例如，在不等式解题教学当中，很多学生在解不等式（h-1）x>h2-1的时候，如果没有对不等式进行合理的区分，就会得出h+1
当h-1>0的时候，也就是h>1，这时h+1就会小于x，而当h-1=0的时候，也就是h=1，这道不等式就是无解。而当h-1<0的时候，也就是h<1，这时h+1就会大于x。从这样的结果可以看出，h>1的情况下，h-1
从这道不等式的解析当中我们可以看出，在解不等式问题的时候，分类讨论思想的广泛应用主要有两点原因，第一个原因就是不等式的不定性特点十分明显，这给学生的处理带来了较大难度，而第二个原因就是不等式的变量很多。初中数学教师在帮助学生解题的时候，需要引导学生在不等式的解题中合理应用分类讨论的思想，这样可以帮助学生快速、准确地解题，也能让解题的结果变得更加准确，降低学生的解题错误率。
三、在函数解题当中的应用
函数问题也是很多初中学生在数学解题当中最常遇到的难点之一，如下面这道函数问题：已知有关于x的函数y=ax2+x+1，其中a為常数，如果函数的图像与x轴之间存在一个交点，那么常数a的值是多少。笔者在为学生分析这道函数问题的时候，会将函数分类为一次函数与二次函数。如果函数为一次函数，那么a的值为0，这时图像与x轴的交点就是（-1，0）;如果函数为二次函数，那么常数a就不能是0，a为0.25的时候，这个交点就是（-2，0）。那么，从上面的结果就可以看出，常数a的值可能是0，也可能是0.25。
笔者在为学生讲解这道函数题的时候，需要让学生知道这道函数问题的考点是什么，了解这道题的难点就在于一次函数、二次函数之间的互相变换，并且让学生认识到对其进行分类讨论的必要性。由于这道函数问题当中的x2前变量值a不固定，也就是说，a可能是任何一个数值，学生在进行解题的时候，就需要首先对a的数值取值进行分类，当a=0的时候和a不等于0的时候，会有不同的讨论结果。之后，笔者还会告诉学生，在找到a的具体取值范围之后，需要对函数变换进行分析。应用分类讨论思想可以让函数问题变得更加直观，也能够帮助学生快速掌握一次函数与二次函数的相应特点，并形成关于函数的架构，进而快速、准确地解题。
四、在三角形问题中的应用
除了上面提到的函数、应用题等内容，三角形问题也是初中数学教学中的重点和难点，也是很多学生的困惑所在。在三角形问题的解题当中合理应用分类讨论思想，可以帮助学生更快速地掌握三角形的解题方式，也能让其正确认识到三角形的解题特点等。
例如，已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求直角三角形的第三边长度。学生在进行解题的时候，需要合理应用分类讨论思想，分别将4cm这条边作为直角边长或者作为斜边长进行分析，这样就可以求出直角三角形的第三边长度可能是5cm，也可能是cm。
教师在指导学生进行分类讨论思想的应用时，需要先确定分类讨论的对象，之后才能进行分类，并且在分类讨论的过程中一定要做到主次清晰，且不要出现遗漏或者叠加等情况。此外，教师还需要告诉学生，在应用分类讨论思想解题时，还需要保证分类的相称性，也就是说，分类的子项并集情况需要与母项的子集相一致。
结语
初中数学知识存在较多的难点，所以很多学生在处理习题的过程中就会出现一些问题，而随着初中数学教学新课程改革工作的不断深入推进，初中数学教学中，解题教学也成了教学的重要组成部分。初中数学教师在解题教学当中需要认识到分类讨论思想的重要性，并且积极应用分类讨论思想解决不同类型的问题，将这一解题思想与不同类型问题积极融合在一起。这样才能不断提高初中数学解题教学的质量，也能帮助学生尽快顺利解题，提高其学习效率。
[参考文献]
徐力平.关于解题教学中分类讨论的若干问题[J].数学教学，1996（03）：32-34.
作者简介：丁长生（1969.2—），男，江苏射阳人，本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学研究。
