基于基本概念的高中数学核心素养的教学研究

☉江苏省苏州市吴江平望中学 沈亚平

自从高中数学六大核心素养被提出，“数学核心素养”就日益被教育界重视和关注，其中许多的理论知识和研究成果也层出不穷.六大核心素养之首是“数学抽象”，这也是教育界的专家学者所重点研究和探索的对象.

我国著名教授史宁中曾经说过：“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想就是‘数学抽象’.”大家都能够熟知，数学概念在数学学习中是基础，是一切数学思维存在和产生的基本形式.从某种意义上来说，数学概念的形成过程其实也就是数学思维产生的过程，这也就是数学素养的养成过程.中国科学院院士李邦河曾经这样说过：“数学的根本在于概念，而不在于技巧，一定程度上，数学技巧也是数学概念的一部分.”教师在教学过程中，怎样巧妙安排和设计教学问题，以贴近生活的具体事实为例，抽取一类有着共同属性或者本质属性的数学现象，从中发现其规律性，形成数学概念.这就要求教师自己有着对“数学抽象”素养的理解力，能够在自己的课堂上巧妙运用数学原理来解决现实生活中的问题，同样也可以运用生活中的同一类型的现象引导学生去探索其数学本质，从而提升数学整体素养.据此，在高中数学教学过程中，切实有效地提升学生“数学抽象”素养，是每一个数学教师及教育工作人员应该正视的严肃话题.本文就结合教学实践的两个具体案例来加以浅析.

案例1：

教师：回忆之前所学的函数内容，哪些函数图像是轴对称的，又有哪些函数图像是中心对称的？

学生1：在三角函数中，y=sinx的图像是中心对称的，y=cosx的图像是轴对称的.

学生2：反比例函数的图像是中心对称的，标准方程为y=ax2+c的二次函数的图像是轴对称的.

教师：很好，那请两个学生上来画出轴对称的二次函数的图像及中心对称的反比例函数的图像.

学生：作出的图像如图1、图2所示.

图1 轴对称

图2 中心对称

教师：同学们现在以小组形式简单讨论一下，如何应用表达式来表达出函数的对称性.

学生：我们小组经反复推断，通过特殊值看出f（x）=x2，f（-x）=f（x），而对于反比例函数来说f（-x）=-f（x）.

教师：有哪个小组可以证明一下这个结论.

学生：f（-1）=f（1）；f（-2）=f（2）；f（-3）=f（3），归纳发现，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），所以f（-x）=f（x）.

教师：同学们分析得很不错，我们把图像关于y轴对称的函数称为偶函数.定义为：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数.请根据偶函数的定义推断出奇函数的定义.

本节课的教学设计与学生思维非常贴切，从形到数很自然地过渡，学生通过课堂学习数学概念所形成的数学思维也经受了简单的洗礼，解决数学问题的能力初步产生，课堂效果还行，达到了基本教学目标.不过，在对偶函数加以定义时，教师直来直去，学生也没有深入地思考，并没有真正理解和发现生活中有趣的偶函数现象，教师也太于积极主动，显得很急躁，将定义灌输到学生大脑中，这样就使学生放弃了积极主动提问的可能性和深入思索生活中有趣的偶函数现象，无形中丧失了数学学习的兴趣.鉴于此，教师应该让学生主动去归纳、抽象偶函数的概念，引导学生定义呼之欲出的偶函数定义，从而无形中加深数学体验和提升数学抽象能力.

为了更好地提升学生的数学思维和数学抽象能力，体验学习数学的无穷乐趣，从有趣的生活现象来探索数学本质，因此笔者对这节课重新加以设计，让学生加深了对基本知识的理解，还获得了新的能力，使概念教学中的数学抽象更深入学生心中.笔者带着问题，查阅了大量的资料，并进行了有效的吸收归纳，反复思考实践，下面就是反思后的课堂实践.

案例2：

教师：对称渗透在生活中的方方面面，哪位同学可以举例说明一下？

学生：蝴蝶、中国结、电视、窗户.

教师：这些都是轴对称的图形，同学们知道有哪些是中心对称的吗？

学生：思考后，足球、光碟、乒乓球、方向盘.

教师：可以看出生活中中心对称的图形基本上都是圆和球类的，那么在数学函数中，也有很多中心对称及轴对称的抽象图形.还要请同学们举例，哪些函数是轴对称的，哪些是关于原点对称的？

学生：（画图与案例1相同）

教师：假设f（x）=x2，x∈R，设点A（x0，y0）是f（x）上一点，点A关于y轴对称的坐标是什么，这两个点的坐标又有什么特点呢？

学生：对称点为A′（-x0，y0），两个点的纵坐标相同都为y0.

教师：那么如何用表达式表示出来呢

学生：y0=f（x0），对于点A′，y0=f（-x0），所以f（x0）=f（-x0）

教师：那么能否换个定义域再看图像的对称性？结合数轴，同学们讨论下定义域该满足怎样的条件？

学生：定义域也一定要关于原点对称才行，要不然就对应不上了.

教师：如果对于函数y=f（x），x∈R，满足f（-1）=f（1），可以说函数关于y轴对称吗？请举例说明.

学生：不可以，如图3所示，此函数f（-1）=f（1）=1，但不是轴对称的函数.我觉得函数图像上应该每一个点都符合f（x0）=f（-x0）才行.

教师：若你们已知f（x）=x2，x∈R是偶函数，请结合函数图像来总结和补充出偶函数的定义.

学生：对于定义域内任意x0，都 有f（x0）=f（-x0），那 么y=f（x）是偶函数.

图3

教师：总结得非常好，但是x0是一个常量，要变成变量来表示.因此设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数.

案例2中，共有两点进行了优化，其中：

1.对数学抽象素养的培养要重视“数学过程”教学

有效的概念教学并不是让学生去记去模仿，而是要设计问题，使学生手脑口并用，在数学学习过程中，去归纳、去猜想、去研究和发现新的问题，通过概括和反思，不断地修正自己的答案，尽可能地接近真理，不断地在活动中，训练学生的数学思维能力，形成用数学概念来解决数学问题的能力.学习函数奇偶性概念最容易让学生苦恼的是常量如何转化为变量的.在案例2中，笔者引导学生自己动手操作，自主探索，相互合作，深入思考留存在脑海中的数学问题，并引导学生从图像出发，借助函数图像来解决函数问题，把握函数定义中的“任意”，这样学生就须经历从数到形，又经历从形到数的过程，并最终得出相对简洁的数学表达式，在此过程中，学生的感知能力、概括能力、应用能力无形中得到了提高，而知识的变迁、误区的矫正、归纳总结能力也得以强化，逐渐加深了对“数学抽象”的理解，学生的数学抽象能力也在一步步地提升，并在逐层探究中加以充实，这都与“数学过程”是密不可分的.因此，对数学抽象素养的培养要充分重视“数学过程”教学，只有在数学学习之后的探究才是高质量的、有效的数学抽象探究.

2.对数学抽象素养的培养要不断提升学生的“概括能力”

数学抽象就是从事物的物理表象着手，最终得出研究实质的过程，从数量之间的关系、图形之间的关系得出数学概念之间的关系，从事物的具体表象中抽象规律或者结构，并且应用数学符号或者是数学术语来表达.数学的总结概述轻松地展现了笔者思维的快慢、深浅及灵活程度，而这些也正和学生数学抽象素养培养提高的要求是一致的，所以说想要提升学生的概括能力可以从提升学生的数学抽象素养着手.学生的数学概括能力是否提高能够从侧面反映出研究问题是否有效果.案例2和案例1最为不同的地方是学生按照经验得出偶函数的定义，这就是将数学概念进行了抽象化.数学概念的抽象化处理，有助于学生更深入地了解知识点，也有助于学生熟悉概念、解题方式及知识体系，对事物的数学实质有了更为深刻的了解.