“式”中思法，“变”中求道——一道首创“代数新定义”压轴题的命制过程与拓展

☉江苏省海门市中小学教师研修中心 徐 强

今年笔者有幸参加了2019年南通市中考数学试卷的命题工作，试卷继续保持了以课标为指南，以教材为题源的命题风格，充分体现了“毕业和选拔相匹配、传承与创新相融合、减负与增效相呼应”的命题特点，对初中数学教学起到了很好的导向作用.现将试卷中一道首创“代数新定义”题的命制过程与拓展整理成文，与同行分享.

一、构思，有的放矢

1.确定命题方向

力求通过构建一点的横、纵坐标之间的关系的“代数新定义”，形成一道集方程、函数（一次函数与反比例函数的交点问题）与内隐图形于一体的综合题，难度系数为0.3～0.4.着重考查方程与函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、几何直观、极限思想，突出考查代数推理能力、数学建模能力及利用几何图形来研究代数问题的能力.

2.形成命题思路

核心载体：点M（x，y）——定义x、y之间的数量关系——定直线，动曲线.

核心知识：以乘法公式、方程、一次函数、反比例函数与等腰三角形为核心知识.

核心素养：注重代数推理素养——先思后变，运算推理，把握规律，关注数学知识的联系与转化，考查函数眼光；注重几何直观素养——先画后算，数形结合，生成方法，关注学生思维的层次与迁移，考查建模能力.

二、破解，逆水行舟

1.找准起点，挖掘特征

如何构造x、y之间的关系，形成点M（x，y）的新定义？

命题组基于命题的指向性，逆向探求命题思路，以直线、双曲线的解析式为思考的起点，挖掘“y=kx+b，xy=k”的特征，来定义x、y之间的数量关系.

（1）不同变统一.

从“式”具有的特点出发思考：y=kx+b不具有轮换对称的特点，xy=k具有轮换对称的特点.

将“式”统一成都具有轮换对称的特点：x+y=b，xy=k.

（2）显性变隐性.

如何将x、y之间的显性函数关系变成隐性的关系？

由x+y=b，xy=k，容易联想到x2+y2.

变形：x2+y2=（x+y）2-2xy=b（x+y）-2k=bx+by-2k.

拆分：x2=by-k，y2=bx-k.

简化：当b=2，k=-t时，x2=2y+t，y2=2x+t.

（3）验算可行性.

x、y满足“x2=2y+t，y2=2x+t”是否可行？

验算：由x2=2y+t，y2=2x+t，得x2-y2=2（y-x），x2+y2=2（y+x）+2t.

需增加x≠y，可得x+y=-2.

由x2+y2=（x+y）2-2xy=2（y+x）+2t，得4-2xy=-4+2t.则xy=-t+4.

由x≠y，得（x-y）2＞0，即（x+y）2-4xy＞0.则（-2）2-4（-t+4）＞0.解得t＞3.

于是得到：若x、y满足“x2=2y+t，y2=2x+t，x≠y”，则隐含的是定直线x+y=-2，动曲线xy=-t+4.

从而形成新定义：点M（x，y），若x、y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”.例如，点（0，-2）和（-2，0）是“线点”.

2.把握视角，构建问题

如何依据新定义，构建考查的问题？

命题组立足考查的目的性，抓住定义具有判定与性质的双重性的视角进行命制，构建了“有梯度”的三个问题：（1）直接用定义判定已知点是否为“线点”；（2）从定义出发，利用代数的变形推理，发现定义中隐含的一些性质，如确定的一次函数y=-x-2和一个与t的取值有关的变化的反比例函数等；（3）综合运用定义的判定与隐含的性质，解决几何问题.

已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）两点中，点______是“线点”；

（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；

（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A、B，当|∠POQ-∠AOB|=30°时，直接写出t的值.

这道代数新定义题从命题的角度来说是一种创新，“从新定义的提出，到问题的设置”的命制过程凝聚了命题组全体成员的集体智慧，清晰呈现了阅读—理解—转化的模式，充分体现了“式”中思法、“图”中求道的味道，强化了代数推理变形的水平、几何联想推理的能力，是一道很好地考查“综合与实践”领域的创新试题.

从学生答题的角度来说也是一种创新.首先，有效考查了学生对新定义的现场阅读、运算与推理的学习能力，这是本题发现“定直线和变化的双曲线”的前提；其次，考查了学生对知识的联想、迁移与转化的处理能力，能否将已有认知体系中的直线和双曲线及时调用是分析的核心；再次，考查了学生对基本模型的构造、求异的创新能力，发现题目中隐藏的基本图形是求解的关键.

从引领课堂教学的角度来说更是一种创新.能较好地引领数学教师在日常教学与复习中，一要关注核心概念的限时阅读与理解，强化概念“双重性”内涵的形成过程；二要关注主干知识之间的关联与转化，强化迁移的意识与方法；三要关注建模的思想与变式，强化思维的深刻性与灵活性.

三、拓展，追本溯源

纵观命制过程，可以发现此类定义的构造“联想有源，构造有法”.可以无限构造出“定曲线，动直线”“动曲线，定直线”“动曲线，动直线”.

1.从轮换对称式构造x、y之间的关系

从x+y=b，xy=k联想构造.

由x+y=b，xy=k，得x2+y2=（x+y）2-2xy=b（x+y）-2k.

拆分：x2=by-k，y2=bx-k.

验算：由x2=by-k，y2=bx-k，得x2-y2=b（y-x），x2+y2=b（y+x）-2k.

需增加x≠y，可得x+y=-b.则x2+y2=-b2-2k.

由x2+y2=（x+y）2-2xy，得-b2-2k=b2-2xy.则xy=b2+k.

取值范围：由x≠y，得（x-y）2＞0.即（x+y）2-4xy＞0.则3b2+4k＜0.

于是可定义：若实数x、y满足x2=by-k，y2=bx-k，且x≠y，则称点M（x，y）为“线点”.

显然，特殊化可构造出不同的情形，当b确定，k变化时，则为“动曲线，定直线”.

2.从非轮换对称式构造x、y之间的关系

从ax+y=b，xy=k类比“1”的构造.

由ax+y=b，xy=k，得a2x2+y2=（ax+y）2-2axy=b（ax+y）-2ak.

拆分：a2x2=by-ak，y2=abx-ak.

验算：由a2x2=by-ak，y2=abx-ak，得a2x2-y2=b（y-ax），a2x2+y2=b（y+ax）-2ak.

需增加ax≠y，可得ax+y=-b.则a2x2+y2=-b2-2ak.

由a2x2+y2=（ax+y）2-2axy，得-b2-2ak=b2-2axy.则axy=b2+ak.

取值范围：由ax≠y，得（ax-y）2＞0.即（ax+y）2-4axy＞0.则b2-4（b2+ak）＞0.即3b2+4ak＜0.

于是仍可定义：若实数x、y满足a2x2=by-ak，y2=abxak，且ax≠y，则称点M（x，y）为“线点”.

显然，利用横、纵坐标之间的关系构建“新定义”是有规律可循的，教学中要从简单的“模仿”走向本质的“思考”，适度渗透“如何构想的方法”，不断强化多题归一、举一反三，培养思维的深刻性和灵活性，这样才能使学生从“机械操作”走向“理性思维”，从而有效突破“一遇陌生问题就一筹莫展”的软肋.

四、结束语

对于中考试题，一线教师的关注度很高，但很多教师对如何命题总感无所适从，其实命题并不神秘、并非难事.如本文中利用点的横、纵坐标之间的关系构建这类代数“新定义”题的命制规律往往是“式”中思法，“变”中求道.因此，在平时的教学中，一方面，要多积累，关注基本模型、通性通法、逆向推理与多解归一的水平，不断增进思维的深刻性；另一方面，要多思考，注重数学不同“学习领域”间关联、转化的能力，有效拓宽思维的空间.W