命题须谨慎，探究显身手——从一道数列模拟题谈起

☉江苏省宿迁中学 张保安

每年各地的高考数学模拟题中，都会出现一批构思新颖、亮点十足的原创题，此类问题往往很好地体现了“源于课本、高于课本、稳中求变、应用创新”的原则，以现行教材为依据，从知识层面、能力层面、素养层面等方面切入，力求求实、求变、求新、求活，知识全面，亮点频出.同时，也有一些模拟题由于种种原因，考虑不全面，出现不严谨、不科学的情况.

一、问题呈现

【问题】（2019年无锡高三教学质量检测）已知数列{an}满足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（）.

A.a5≤4a2-3a1B.a2+a7≤a3+a6

C.3（a7-a6）≥a6-a3D.a2+a3≥a6+a7

本题设置巧妙，题意新颖，简洁明了，以数列递推关系式为问题背景，同时很好地综合、交汇与融合了函数、不等式等相关知识，是一个非常不错的原创题.同时其又具备了函数中类似的关系式，为利用函数的凹凸性来处理问题指明方向，也为进一步的规律总结、变式拓展提供条件.

二、解法剖析

思维方法1：结合条件中递推数列的性质，通过数列不等式的转化，列出一系列对应的数列不等式，再利用不等式的相关性质加以综合处理，并逐项进行分析，进而得到正确的结论.

解析1：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），可得anan-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

则知a7-a6≥a6-a5≥a5-a4≥a4-a3≥a3-a2≥a2-a1.

（1）结合不等式的性质可得（a5-a4）+（a4-a3）+（a3-a2）≥3（a2-a1），

即a5-a2≥3（a2-a1），亦即a5≥4a2-3a1，故选项A错误；

（2）由以上不等式可知a7-a6≥a3-a2，

则有a2+a7≥a3+a6，故选项B错误；

（3）由以上不等式可得3（a7-a6）≥（a6-a5）+（a5-a4）+（a4-a3），即3（a7-a6）≥a6-a3，故选项C正确；

故选择答案：C.

思维方法2：（函数凹凸性法）结合条件中递推数列的性质，有效地联想起函数的凹凸性，并借助函数性质，合理构造特殊数列an=n2，利用函数的基本性质以及数列的递推关系式来逐项分析与判断.

解析2：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），可得anan-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

联想函数的凹凸性，可设an=n2，其满足以上条件，那么

（1）a5-（4a2-3a1）=52-（4×22-3×12）=12＞0，则选项A错误；

（2）（a2+a7）-（a3+a6）=（22+72）-（32+62）=8＞0，则选项B错误；

（3）3（a7-a6）-（a6-a3）=3×（72-62）-（62-32）=12＞0，则选项C正确；

（4）（a2+a3）-（a6+a7）=（22+32）-（62+72）=-72＜0，则选项D错误；

故选择答案：C.

点评：解析1从不等式的基本性质入手，结合数列的递推关系式加以合理转化与应用，只是选项D无法借助不等式的基本性质来推理与分析；解析2从函数的凹凸性入手，构造特殊数列，通过特殊化思维来处理，简单易操作.

三、结论总结

通过以上问题及其相应的解析过程，进一步加以归纳总结，可得到以下两个具有一般性的结论：

【结论1】已知数列{an}满足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），若m-n=p-q＞0（m，n，p，q∈N*，且m＞p），

则有am-an≥ap-aq.

证明：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），

可得an-an-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

则知an-an-1≥an-1-an-2≥…≥a3-a2≥a2-a1.

假定m-n=p-q=s＞0，

则s∈N*，

则知am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）

≥（ap-ap-1）+（ap-1-ap-2）+…+（aq+1-aq）=ap-aq，其中共有s个括号相加，

所以am-an≥ap-aq成立.

总结：类似于函数，可定义如下：若数列{an}满足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则称数列{an}为下凹数列.下凹数列所具备的以上性质可以简单归纳为：“下凹数列——下标差相同，大下标差大”.

【结论2】已知数列{an}满足2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），若m-n=p-q＞0（m，n，p，q∈N*，且m＞p），

则有am-an≤ap-aq.

证明：由于2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），

可得an-an-1≥an+1-an（n∈N*，n≥2），

则知an-an-1≤an-1-an-2≤…≤a3-a2≤a2-a1.

假定m-n=p-q=s＞0，

则s∈N*，

则知am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）

≤（ap-ap-1）+（ap-1-ap-2）+…+（aq+1-aq）

=ap-aq，其中共有s个括号相加，

所以am-an≤ap-aq成立.

总结：类似于函数，可定义如下：若数列{an}满足2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则称数列{an}为上凸数列.上凸数列所具备的以上性质可以简单归纳为：“上凸数列——下标差相同，大下标差小”.

四、问题商榷

以上问题在解析2中通过特殊数列an=n2来处理，很好地达到正确判断的目的.而根据题目条件“2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2）”，其实还可以构造更为特殊的数列来分析与判断.

以常数列an=1为例，其满足题目条件（恰好取得等号），此时选项A中有a5=4a2-3a1，选项B中有a2+a7=a3+a6，选项C中有3（a7-a6）=a6-a3，选项D中有a2+a3=a6+a7，那么选项A、B、C、D均正确.

以特殊数列an=n为例，其也满足题目条件（恰好取得等号），此时选项A中有a5=4a2-3a1，选项B中有a2+a7=a3+a6，选项C中有3（a7-a6）=a6-a3，选项D中有a2+a3＜a6+a7，那么选项A、B、C均正确.

通过以上两个特殊数列的选择，可知这与原问题的设置相矛盾.由此可以确定原问题的命题不够严谨，建议加以适当修改.

五、完善改进

改进1：去掉题目的“等号”条件与各选项中的“等号”条件，形成严格的“数列单调性”，可得到以下变式：

【变式1】已知数列{an}满足2an＜an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（ ）.

A.a5＜4a2-3a1B.a2+a7＜a3+a6

C.3（a7-a6）＞a6-a3D.a2+a3＞a6+a7

通过这样的改进，对应不等式中不包括等号，使得数列的单调性更明显.具体的解析过程直接参考原问题的解析即可.

改进2：完善题目条件中的语言叙述，使得满足条件的任意数列{an}都有选项中的一个不等式成立，可得到以下变式：

【变式2】已知数列{an}满足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），对于满足条件的任意数列{an}，都有（ ）.

A.a5≤4a2-3a1B.a2+a7≤a3+a6

C.3（a7-a6）≥a6-a3D.a2+a3≥a6+a7

通过这样的改进，使得相应的不等式对任意满足条件的数列都成立，这样就可以有效地避免特殊数列条件下不等式成立而影响对正确答案的判断的情况的发生.具体的解析过程直接参考原问题的解析过程即可.

六、反思拓展

其实，对于数学试卷的命题来说，关键是要通过数学问题来充分考查学生对数学的基础知识、数学思想和方法的掌握情况，借此引导学生注重对数学能力的应用.特别是在一些数学综合问题的命制中，强调试题的层次性，并要合理调控好综合度，不要盲目地加大综合度.越是综合度大、交汇性强的问题，越容易出现不严谨、不科学等方面的问题.同时对于综合问题，强调采用“常技常法”来破解即可达到目的，而不是盲目地追求怪异方法、偏门偏科的内容，坚持多角度、多层次地考查.

在解题过程中，不能只满足于获得正确答案和“常技常法”，要总结解题的方法与经验教训，主动对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再反思、再总结，对已形成的数学思想、方法和知识等从另一个角度以另一种方式进行再认识、再提升，进而以求得新的深入认识，或提出疑问作为新的思考起点.W