非绝热和乐量子计算新进展

薛正远，陈 涛

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

量子计算是基于量子力学规律调控量子信息单元进行计算的一种新型计算模型.相对传统的经典计算，量子计算能更有效解决一些经典计算机难以解决的问题[1]，但它在理论和应用上均面临很大挑战，尤其是量子信息处理过程.一方面，量子体系与环境间不可避免的相互作用导致量子系统的退相干，使计算要求的量子系统相干性无法保持；另一方面，大规模量子计算的实现需要纠正量子程序执行过程中产生的错误.因此，通用量子计算要求实现高保真度的完备量子门组合.

为解决以上量子计算存在的问题，实现高保真度的量子操控，一系列基于阿贝尔[2]和非阿贝尔[3]几何相位的量子计算方案[4-10]相继被提出.由于几何相位具有仅依赖过程整体的性质，基于几何相位的量子操作就能天然避免一些局域噪声的影响.但是，早期的几何量子计算方案是基于绝热演化获得的几何相位来实现量子门的，为满足绝热条件，系统将长时间与环境相互作用，会带来较大的退相干，同时绝热操控的门速度也十分缓慢.为克服这一困难，研究人员提出了基于阿贝尔[11-15]和非阿贝尔相位[16-22]的非绝热几何量子计算，实现了快速的高保真度的量子门.这一方案在多种量子体系中得到了实验验证，如超导线路体系、NMR体系及金刚石电子自旋(金刚石色心)体系等[23-39].

为突破当前几何量子计算物理实现中一些局限，在超导线路体系中实现非绝热和乐量子计算方案已成为研究热点.超导线路体系具有易集成、操作快等优点，是最有希望实现量子信息处理的体系之一，因此如何在这样一种简便体系中实现非绝热和乐量子计算成为关键.此外，超导线路体系易集成为二维晶格结构，具有支持大规模量子计算的优势，因而提供了一种实现非绝热和乐量子计算的有效途径.

笔者简要综述非绝热和乐量子计算方案在理论和实验方面的新进展.论文内容安排如下：第1节介绍几何相位的一般构建方法.第2节详细介绍基于非阿贝尔相位下非绝热和乐量子计算方案的理论及其物理实现.第3节介绍可优化的非绝热和乐量子计算.第4节是全文的总结和该方向后续工作[40]的展望.

1 几何相位的一般构建方法

|ψm(t)〉=U(t)|ψm(0)〉，

其中

(1)

|ψm(τ)〉=|νm(τ)〉=|νm(0)〉=|ψm(0)〉.

(2)

需要注意的是，由于|νm(t)〉不满要足薛定谔方程，因此以上边界条件总是可以满足.|ψm(t)〉由{|νm(t)〉}展开为

(3)

其中：ckm(t)是一个含时的系数矩阵元，且ckm(0)=δkm.τ时刻，有

因此，在满足循环演化条件的时刻，演化算符的矩阵元为ckm(τ).

下面分析此时系统哈密顿量的形式.对式(3)两边求导可得

代入薛定谔方程后可得

Hlk(t)=〈νl(t)|H(t)|νk(t)〉=exp[ifl(t)-ifk(t)]〈ψl(t)|H(t)|ψk(t)〉=

通过计算可得

(4)

ckm(t)=δkmcmm(t),cmm(t)=exp(ifm(t)).

(5)

因此，演化算符最终的形式为

(6)

其中：fm(τ)为演化过程产生的总相位.在以{|ψm(t)〉}为演化态的几何量子计算中，为使得到的相位为纯几何相位，要求

(7)

任意时刻均成立.此条件的物理含义是所有演化态在演化过程中不发生相互跃迁，即满足平行输运条件.值得注意的是，在绝热过程中，此条件要求哈密顿量随时间变化必须非常缓慢[2].最终目的是得到对角化的有效哈密顿，且使fm(τ)是纯几何相位.

综上所述，构建{|ψm(t)〉}为演化态的非绝热几何相位量子门，需满足式(2),(7)，它们分别对应循环演化条件和平行输运条件.当然，也可选择{|νm(t)〉}作为演化态构造几何相位[40]，通过选择{|νm(t)〉}的形式，可放松条件(7)的约束，使哈密顿量具有更大的灵活性.

2 非绝热和乐量子计算方案

2.1 非绝热和乐量子门

在最近的非绝热演化方案[16]中，式(7)的平行输运条件是可以通过对系统哈密顿量的结构和参数的限制来达到的.具体来说，考虑一个3能级体系，如图1(a)所示，体系的3个裸态能级分别为|0〉，|1〉和|e〉，它们的能量分别为w0，w1和we，|0〉和|1〉可分别通过频率为ν0，ν1的激光激发使其激发跃迁至|e〉.此情况下，这3个能级形成一个Λ型3能级结构.在相互作用绘景中，忽略高频震荡项，体系和激光相互作用的哈密顿量可表示为

H(t)=Δ0|0〉〈0|+Δ1|1〉〈1|+Ω(t)(ω0|e〉〈0|+ω1|e〉〈1|+H.c.)，

其中：Δk=2πνk-wek，wek=we-wk(k=1,2),Δk的大小随νk的变化而变化；ω0和ω1为激光参数，描述|0〉→|e〉和|1〉→|e〉跃迁的相对强度和相位，且|ω0|2+|ω1|2=1.哈密顿量的打开和关闭可通过实数耦合强度Ω(t)的调整实现.

图1 文献[16]中用于实现非绝热和乐单比特量子门的能级图

若采用Δk=0的双光子共振过程，则哈密顿量可简化为

H(1)(t)=Ω(t)(ω0|e〉〈0|+ω1|e〉〈1|+H.c.)=Ω(t)|e〉〈b|+H.c..

(8)

(9)

满足以上条件后，演化算符在基矢{|e〉,|b〉,|d〉}下可写为

易知，演化态|b〉获得了一个π的几何相位.演化算符在计算基矢{|0〉,|1〉,|e〉}下可表示为

(10)

将U(τ)截取至计算子空间{|0〉,|1〉}，可得和乐单比特门

(11)

其中：n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)为3维实空间中的一个单位矢量，σ=(σx,σy,σz)为作用在|0〉和|1〉上的泡利算符.连续进行两个不同路径的周期演化，不同演化路径对应的单位矢量分别为n和m，则式(11)可进一步表达为

U(1)(C)=U(1)(Cm)U(1)(Cn)=n·m-iσ·(n×m)，

(12)

其为一个SU(2)变换.通过选择合适的单位矢量n和m，所有的单比特门均可通过这种非绝热的几何方法得到.从上可知，要通过两个循环才能得到一个任意的和乐单比特量子门，这是此方案的另一局限性所在.

要实现通用的量子计算，除了单比特门，还需要非平庸的两比特门.接下来，说明如何得到非绝热的两比特和乐量子门.

考虑一个有一系列束缚的离子体系，其中每个离子均有一个如上文所述的Λ型3能级结构.当对其中的一对离子分别施加频率为±(ν±δ)和±(ν∓δ)的激光激发时，|0〉→|e〉和|1〉→|e〉的跃迁就在两个离子间同时进行.非对角的激发态|e0〉，|0e〉，|e1〉，|1e〉可通过两束激光的Rabi频率|Ω0|和|Ω1|远远小于ν来进行有效的抑制.两个离子在Lamb-Dicke近似下的有效哈密顿量为

其中：η为Lamb-Dicke参数，且η2≪1；σ0(φ)=eiφ|e〉〈0|+H.c.；σ1(-φ)=e-iφ|e〉〈0|+H.c..

为了使以上哈密顿量可解，在选择激光脉冲的参数时，要求参量φ，及Ω0与Ω1的比值均不含时.σ0(φ)和σ1(-φ)展开后，哈密顿领H(2)可写为

(13)

其中

因为H0和H1是对易的，因此演化一个π的脉冲周期后，可得

U(2)(C)=cosθ|00〉〈00|+sinθe-iφ|00〉〈11|+

sinθeiφ|11〉〈00|-cosθ|11〉〈11|+|01〉〈01|+|10〉〈10|.

(14)

因此，通过选择适当的参数可实现两比特纠缠门.例如，当θ=0，φ=0时，可以实现非平庸的两比特控制相位门.

2.2 非共振单圈非绝热和乐量子门

上文提到的是利用共振的激光脉冲在Λ型3能级体系中实现通用的非绝热和乐量子门，这种方法通常需要通过两个循环去实现一个任意的和乐单比特量子门.实际上，这需要两束连续的任意波形的激光脉冲来实现两个循环衔接.这种方法一个显而易见的缺点就是暴露在环境中的时间加倍了，会引起多种误差，如退相干的影响就会因为循环的增多而增大为两倍.为此研究人员尝试减少循环的次数，提高抵抗外界噪声的能力，其中一个方法是在Λ型3能级中利用失谐的激光脉冲在单循环的情况下实现量子门[18]，另一个方法是在Λ型3能级中利用共振的多脉冲激光在单循环的情况下实现量子门[19].

考虑一个Λ型3能级体系，这个体系的3个裸态能级分别为|0〉，|1〉和|e〉，它们的能量分别为w0，w1和we.|j〉→|e〉跃迁通过激光Ej(t)=εjgjcosνjt驱动，其中εj为极化值，gj为激光脉冲的包络函数，νj为振荡频率.将|0〉，|1〉作为逻辑比特态，|e〉作为辅助态.图2为文献[18]中的体系能级结构和激光场分布.

图2 文献[18]中的体系能级结构和激光场分布

失谐量Δj=νj-wej=Δ，相互作用哈密顿可写为

(15)

其中：耦合强度Ωj=gj(t)〈e|μ·εj|j〉.

设定|j〉→|e〉跃迁通过方波激光脉冲实现，其参数设定为

Ω0(t)=Ωcosαcosγ，Ω1(t)=Ωeiβsinαcosγ，Δ=-2Ωsinγ.

(16)

当Ω用矢量形式[Δ/2,Ω0(t),Ω1(t)]代替时，有效哈密顿量可写为

Heff=Ωsinγ(|e〉〈e|+|b〉〈b|)+Ω[cosγ(|b〉〈e|+|e〉〈b|)+sinγ(|e〉〈e|-|b〉〈b|)]，

(17)

其中：|b〉=cosα|0〉+eiβsinα|1〉.

值得注意的是，Δ和Ωj均是由激光的频率和振幅决定的，所以除了方波，对其他脉冲波形很难做到两束激光和失谐量三者的含时变化是同步的，这是此方案的局限之一.取映射|e〉〈e|+|b〉〈b|→I，|b〉〈e|+|e〉〈b|→σx，|e〉〈e|-|b〉〈b|→σz，可将有效哈密顿量表示为Heff=ΩsinγI+Ω(cosγσx+sinγσy).接下来计算演化算符U(t)=e-iHefft.

当演化周期T=π/Ω时，演化算符在计算基矢{|e〉,|b〉,|d〉}下可写为

(18)

其中：φ=πsinγ+π.当截取逻辑子空间至{|0〉,|1〉}，演化算符U(t)可写为

(19)

通过验证发现

成立，即满足非绝热和乐量子门构建所需要的周期性条件和平行输运条件，因此，非共振单圈方案得到的演化矩阵U(t)在{|0〉,|1〉}张成的子空间上是一个和乐矩阵.

2.3 共振单圈非绝热和乐量子门

2.2节中介绍的在Λ型3能级中利用失谐的激光脉冲在单循环实现单比特量子门的方法，解决了多次循环构建通用和乐量子门带来的问题.但是，这种失谐单圈方案存在自身的不足，其一是激光脉冲只能使用方波，这消除了通过优化脉冲波形来得到较强鲁棒性的可能性；其二是旋转角度小、脉冲短和激光场振幅小均导致门操作的不稳定，这大大降低了构建的和乐量子门的鲁棒性.因此，文献[19]为解决以上非共振单圈方案带来的问题，提出了共振单圈多脉冲方案，此方案将循环分成多个分段来进行.

考虑一个Λ型3能级体系(见图1)，这个体系的3个裸态能级分别为|0〉，|1〉和|e〉，它们的能量分别为w0，w1和we，|0〉和|1〉可分别通过频率为ν0，ν1的激光跃迁至|e〉.

在旋转坐标系下，描述体系和激光的相互作用的哈密顿量为

H(t)=Δ0|0〉〈0|+Δ1|1〉〈1|+Ω(t)(ω0|e〉〈0|+ω1|e〉〈1|+H.c.)，

其中：Δk=2πνk-wek，wek=we-wk；ω0和ω1描述|0〉→|e〉和|1〉→|e〉跃迁的相对强度和相位，且|ω0|2+|ω1|2=1.哈密顿量的打开和关闭可通过Ω(t)来实现.在旋波近似下，忽略了高频的震荡项.

H(t)=Ω(t)(|e〉〈b|+|b〉〈e|)≡Ω(t)H，

(20)

其中：H=|e〉〈b|+|b〉〈e|.哈密顿量H(t)的形式表明体系演化的动力学过程可视为|b〉和|e〉间以Ω(t)的频率做Rabi振荡.接下来，讨论如何在Λ型3能级体系中实现共振单圈多脉冲方案.

图3 文献[19]中的3能级体系单圈多脉冲方案示意图

以下介绍和乐单圈多脉冲方案单比特量子门的构建.

路径划分的流程为:

(1) 路径的第1个分段路径开始于目标子空间{|b〉,|d〉}(等价于{|0〉,|1〉})，且由零失谐(共振)的哈密顿量H1(t)=Ω(t)(|e〉〈b|+|b〉〈e|)驱动.

(2) 第n个分段路径的起点为第n-1个分段路径的终点，其中n=2,3,…,L.

(3) 驱动系统沿每一个分段路径演化的共振哈密顿量为

Hn(t)=Ωn(t)[|ψn;e(0)〉〈ψn;b(0)|+|ψn;b(0)〉〈ψn;e(0)|]≡Ωn(t)Hn(t)，

(21)

其中

|ψn;k(0)〉=Vn|ψn-1;k(0)〉，k=b,d.

(22)

Un(an,0)=e-ianHn=|ψn;d(0)〉〈ψn;d(0)|+cosan[I-|ψn;d(0)〉〈ψn;d(0)|]-

isinan[|ψn;e(0)〉〈ψn;b(0)|+|ψn;b(0)〉〈ψn;e(0)|].

(23)

因此，Hn(t)为Λ型3能级体系的哈密顿量，且哈密顿量在所有分段路径对应子空间的演化均为纯几何的.和乐矩阵可表示为

U(C1×C2×…×CL)=UL(aL,0)UL-1(aL-1,0)…U1(a1,0)P(0)，

(24)

其中：P(0)∈{|b〉,|d〉}≡{|0〉,|1〉}.通过选择激光参数，可使(C1×C2×…×CL)形成一个完整的周期回路，U(C1×C2×…×CL)是作用在子空间{|0〉,|1〉}上的一个幺正算符.

下面通过L=2的路径特例说明任意和乐量子门的构建.起点为|ψ1;e(0)〉=|e〉，|ψ1;b(0)〉=|b〉和|ψ1;d(0)〉=|d〉，计算子空间由基矢{|b〉,|d〉}张成.当演化时间算符满足a1=π/2时，有

U1(π/2,0)=|d〉〈d|-i(|e〉〈b|+|b〉〈e|)

(25)

及

|ψ1;e(π/2)〉=U1(π/2,0)|e〉=-i|b〉，

|ψ1;b(π/2)〉=U1(π/2,0)|b〉=-i|e〉，

|ψ1;d(π/2)〉=U1(π/2,0)|d〉=|d〉.

通过选择第2个分段路径C2起点的状态为|ψ2;k(0)〉，使分段路径C2的终点与分段路径C1的起点重合及C1×C2构成一个周期回路.选取

|ψ2;e(0)〉=V2|ψ1;e(π/2)〉=-i|b〉，

|ψ2;b(0)〉=V2|ψ1;b(π/2)〉=-ieiη|e〉，

|ψ2;d(0)〉=V2|ψ1;d(π/2)〉=-ieiη|d〉，

其中

V2=|ψ1;e(π/2)〉〈ψ1;e(π/2)|+eiη|ψ1;b(π/2)〉〈ψ1;b(π/2)|+

e-iη|ψ1;d(π/2)〉〈ψ1;d(π/2)|=|b〉〈b|+eiη|e〉〈e|+e-iη|d〉〈d|.

(26)

在第2个分段路径上激光脉冲驱动的对应哈密顿量可写为

H2(t)=Ω2(t)(e-iη|b〉〈e|+eiη|e〉〈b|).

(27)

演化时间满足a2=π/2时，有

U2(π/2,0)=|d〉〈d|-i(e-iη|b〉〈e|+eiη|e〉〈b|).

(28)

对比亮态的表达式，可知哈密顿量H2(t)的结构变化等效于两束激光的参数ωp同时多了相同的相移η，即ωp→eiηωp.在周期回路C1×C2上，时间演化算符U1(π/2,0)和U2(π/2,0)依次作用，最终的演化算符为

U(C1×C2)=U2(π/2,0)U1(π/2,0)P(0)，

(29)

其中：U(C1×C2)是幺正的，且其在计算基矢{|b〉,|d〉}下可表示为

(30)

其中：相因子exp[i(π-η)/2]是全局相位，可以忽略.算符exp[-i(π-η)n·σ/2]为绕矢量n旋转π-η角度的门操作，可实现任意的和乐量子门.

基于和乐量子门U(C1×C2)，选择不同的相移η和激光参数n可实现任意的单比特变换.文献[19]中避免了非绝热和乐量子计算早期方案的不足，降低了因暴露时间长而产生的误差，保留了脉冲波形和周期选择的灵活性.与文献[18]的失谐方案相比，文献[19]方案的量子门维持了原始方案[16]，即只要求两个耦合脉冲的波形是同步的.在L=2的方案中，两对脉冲同时拥有π/2的脉冲面积，这对两个路径分段能在Grassmann流行中构成一个周期回路极其重要.旋转角π-η独立于脉冲持续的时间，因此小角度限制问题是可以解决的，且不会违反旋波近似.因此，共振单圈和乐单比特量子门克服了失谐方案的困难，且保留了文献[16]方案的优点.

2.4 超导系统中非绝热和乐量子计算的实现

该节详细阐述基于超导线路的普适非绝热和乐量子计算的实现[22].由于具有良好的可测量和可扩展性，超导量子线路被视为实现量子计算的一个有前途的平台.最近研究表明超导transmon比特的高能级有较长的相干时间，这就意味着transmon比特可作为稳定的多能级量子体系.然而，transmon比特只具有弱非谐性，通过传输线谐振腔与transmon比特间的色散耦合实现的比特间相互作用将导致频谱拥挤.关于该节讨论的非绝热和乐量子计算，由于非平庸的两比特和乐量子门需要复杂的比特间相互作用，其实验实现仍是一个严峻的挑战.

如图4所示，改变与transmon比特共振耦合的两个微波场的振幅和相位差，可实现通用的单比特和乐量子门，其中的单比特量子门采用2.3节提到的共振单圈多脉冲方案构建.此外，非平庸的两比特量子门是通过传输线谐振腔与两个比特分别耦合、微波场驱动比特来实现的.文献[41]提出有效共振可调的传输线谐振腔与比特耦合方案， 其中3个耦合的量子体系同样视为单激发子空间中的3能级体系，因此与单比特和乐量子门构建过程类似，非平庸的两比特和乐量子门的构建也可通过相同的过程实现.另外，文献[22]提出的方案容易拓展为2维晶格体系，可用于拓展的量子计算.

(a):两束微波场与transmon比特三个能级的共振耦合；(b):单比特门的几何演化；(c):非平庸的两比特门中的耦合；(d):两个量子比特与传输线谐振器的等效耦合；(e):方案的可扩展性示意图，其中原圈表示transmon比特、单键表示传输线谐振器.图4 文献[22]中量子门实现的相关模型示意图

2.4.1 任意的和乐单比特门

图4中，量子比特为transmon比特，其可视为具有非谐性质的谐振子，相应的哈密顿量为

(31)

HI=HI0+Hosc=Ω0e(t)eiφ0|g〉〈e|+Ω1e(t)eiφ0|f〉〈e|+H.c.+

Ω0e(t)eiφ0eiαt|g〉〈e|+Ω1e(t)eiφ0eiαt|f〉〈e|+H.c.，

(32)

其中：ωeg=f0，ωfe=f1.Hosc为引起振荡的相互作用项，通过忽略频率为2f0，2f1，f0+f1高频振荡项，体系哈密顿量有效形式可写为

H1=Ω0e(t)eiφ0|g〉〈e|+Ω1e(t)eiφ0|f〉〈e|+H.c.=

(33)

(34)

式(34)描述的是绕轴n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)做γ/2角度的旋转，通过选择不同(θ,φ)，可构建出任意的单比特量子门.哈密顿量驱动演化空间实现完整的路径循环(见图4 (b))，其演化路径的立体角正是对应的几何相位.需要强调的是，文献[22]提出方案中的Ω(t)是波形可任意调节的脉冲，为分析单比特门的整体性能，综合考虑所有误差，用主方程计算，计算结果表明可得到保真度很高的门.

文献[22]中的方案已在超导实验中得到验证[38].简化的实验装置如图5(a)所示，其中两对transmon比特分别与对应的两个微波腔耦合，这两个微波腔分别用于实验信息读出和存储.如图5(b)所示，实验过程为：初态制备、微波驱动的量子门的构建、测量结果的读出，最终在比特Q1中实现和乐门.

图5 文献[38]中的实验装置(a)及实验过程(b)

图6 为文献[38]中的量子过程层析结果.分析图6 (a)，(b)可知，φ=0时不同参数(θ,γ)下量子门的平均保真度Funatt=0.994.由图6(c)可知，门操作I,X,-iY,Z的保真度分别达到0.997，0.996，0.996，0.996(考虑补充误差后对应的结果分别为0.976，0.980，0.963，0.988).

(a):单比特和乐量子门无衰减χ矩阵的保真度；(b):矩阵的迹随参数θ和γ变化的结果；(c):基础操作门的量子层析结果.图6 文献[38]中的量子过程层析结果

文献[38]中采用了随机基准(RB)度量门方法，此方法不依赖高精度的态制备和测量技术.图7为 RB测量步骤及其对应结果.通过选取参数(θ,γ,φ)，得到最终的单比特和乐门的平均保真度为0.996，和乐门Xπ，Xπ/2，H，Zπ的RB测量的结果分别为0.998，0.996，0.997，0.995.此结果与量子过程层析及理论数值模拟的结果几乎一致，表明超导系统中和乐门构建方案具有可行性.

图7 文献[38]中RB测量步骤(a)及其对应结果(b)

2.4.2 非平庸的和乐两比特门

考虑两个比特分别与非线性传输线谐振器耦合，其非谐性大小与比特的非谐性相当.图4 (c)中，传输线谐振器和微波场分别耦合诱导|g〉↔|e〉和|f〉↔|e〉，所对应的能级差频率分别为ωge和ωfe.非线性传输线谐振器及微波场与第i个比特的耦合强度分别为gi和Ωi，且对应频率分别为ωc和ωi.另外，这两种耦合构成双光子共振，即：ωc-ωge=ωfe-ωi=Δ>α.当Δ≫{gi,Ωi}时，通过调节驱动场频率(Ωi)实现AC Stark位移[22]的消除，最终相互作用体系的哈密顿量可写为

(35)

在单激发子空间S1=span{|f0g〉,|g0f〉,〈g1g|}中，相互作用哈密顿量可改写为

(36)

(37)

其为非平庸的和乐两比特量子门.

下面讨论两比特门的性能.取Δ=2π×1 GHz，gi=2π×65 MHz，运算可得等效耦合强度随时间变化的表达式为

(38)

其中：T=40 ns，g0≅2π×11.8 MHz.当ϑ=π/2，诱导得到的两比特门是交换型(SWAP-like)两比特门.如图8所示，当初态为|fg〉时，门的保真度为F2=0.994.需要强调的是，文献[22]中的模拟是严格按原始哈密顿量进行的，换句话说，哈密顿量包括由强微波驱动产生的高阶效应，如非共振跃迁至transmon高阶能级上的泄露.文献[22]中方案的缺点为：由于脉冲的振幅是含时的，这将导致AC Stark位移项也是含时的，但这可通过调节脉冲频率ωi进行补偿.此外，目前的方案可将transmon比特和传输线谐振器以交错的矩形拓展为一个2维的平面网格(见图4 (d)).

图8 文献[22]中的态的布居和门的动力学保真度

2.5 噪声抑制

实际量子计算的完成需要纠错方案(如表面纠错码[42-43])，以精确获取量子计算的结果.和乐量子计算因其几何特性带来的抗噪优势而备受关注，近期在不同物理系统中均得到了实现，但实验设备的不完善及实验操作的精度不高会大大降低量子门的性能.文献[44]认为系统误差(耦合强度误差)会导致和乐门的保真度低于动力学门的保真度.针对这个问题，可通过额外的优化控制来增强几何鲁棒性，以及通过调控计算基矢的路径来完成额外的演化周期次数，从而降低系统误差[15,20].

实验中的物理系统不可避免与周围的环境产生相互作用，退相干效应产生的耗散成为获得高保真量子门的最大阻碍.鉴于此，基于无退相干子空间编码[45-47]的和乐量子计算方案[48-51]被提出，以抑制环境造成的集体退相干、增强和乐量子门的鲁棒性.

3 可优化的非绝热和乐量子计算

为完成和乐量子门的构建，平行输运条件需要时刻满足，以剔除演化过程中产生的动力学相位.为每时每刻严格达到这一条件，不同能级的耦合脉冲必须是同步的，这使和乐量子门对系统噪声非常敏感，大大降低了和乐量子门的鲁棒性.为解决这一问题，需放宽此条件.文献[40]给出了放松脉冲形状限制的方案，为实现优化的非绝热和乐量子计算提供了可能.

下面是文献[40]方案的介绍.寻找一组辅助基矢{|νk(t)〉}，保证有效哈密顿量Heff(t)是对角的，也就是在l≠m时，满足〈μm(0)|Heff(t)|μl(0)〉=0.演化算符可写为

(39)

(40)

对于每一个k均成立，则得到的幺正演化算符一定是纯几何的.最终的幺正演化算符可写为

(41)

因此，通过辅助基矢{|νk(t)〉}的选择，可放松平行输运条件的限制，通过额外控制优化，可增强方案的鲁棒性.

只有当系统的哈密顿量H(t)和由辅助基矢{|νk(t)〉}构成的投影算符Πk(t)≡|νk(t)〉〈νk(t)|满足Von-Neumann方程

(42)

时，矩阵才能对角化.非绝热和乐量子计算和文献[40]中方案的主要不同在于：非绝热和乐量子计算要求平行输运条件在任意时刻的所有演化均成立，而文献[40]方案中的可优化的非绝热和乐量子计算仅要求式(40)成立.限制条件的减少，使其可以和许多的优化方案结合，以得到更高鲁棒性的量子门[40].

4 总结和展望

笔者对非绝热和乐量子计算的最新进展进行了概述，介绍了量子门的一般形式及其在超导系统中的物理实现，详细阐述了和乐量子计算领域的理论及其实验实现的进展.后续和乐量子计算，不仅要实现高保真度的通用量子门，还要探索和乐量子计算与参数可调的优化方案相结合，提升抵御环境噪声及实验误差的鲁棒性，为量子计算的实现奠定坚实基础.