时标上一类二阶非线性动态方程振动性的新准则

覃桂茳，杨甲山

(梧州学院 大数据与软件工程学院 广西高校行业软件技术重点实验室, 广西 梧州 543002)

众所周知, 时标上的理论是Stefan Hilger于1988年在其博士论文中首次提出的, 其目的有两个: 一是为了统一离散分析和连续分析的理论, 将差分方程和微分方程的很多研究统一到同一种框架下进行; 二是弥补了差分方程与微分方程之间的不足. 该理论提出后引起了学术界的广泛兴趣和高度重视[1-20]. 时标上动态方程的有关理论在自然科学及社会科学的许多领域都有着非常广泛的应用, 如在自动控制技术、生物种群动力学、伺服力学、物理学(特别是核物理)、神经网络和生态领域、信息领域、经济领域等, 并能解决许多不同领域里差分方程及微分方程不能解决的实际问题. 近年来, 对时标上动态方程的振动和非振动等定性理论的研究已有一些结果,见文献[1-6, 9-20].论文考虑时标上一类非常广泛的二阶Emden-Fowler型中立型变时滞泛函动态方程

[a(t)φ1(yΔ(t))]Δ+f(t,φ2(x(δ(t))))=0，t∈T

(1)

由于作者感兴趣的是当t→∞时方程(1)解的振动性, 所以假设supT=∞, 设t0∈T且t0≥0， 定义时标区间[t0,∞)T=[t0,∞)∩T. 关于方程(1)的特殊情形, 已有文献做过讨论[1-2]. Saker[3]讨论了当α>1为正奇数之商时方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xα(t)=0

的振动性, 但其结果对0<α≤1时不适用. 而Han等[4]和Hassan[5]解决了这个问题并改进了Agarwal和Saker等的结果. 之后,Saker等[6]研究了当α和β均为正奇数之商时方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xβ(δ(t))=0

的振动性,获得了该方程振动的一些充分条件.同样, Güvenilir等[10]研究了当α和β均为正奇数之商时方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xβ(τ(t))=0

的振动性,获得了上述方程振动的一些新准则,推广并改进了已知的一些结果.但注意到当α和β均为任意正实数时却没有方程的振动结果.作者研究的是更为一般的泛函动态方程(1)的振动性, 改善了对方程的条件限制, 拓广了α和β的取值范围, 得到了方程(1)的一些振动准则,并同时得到了现有文献中相应的条件不满足时方程(1)的新振动准则, 推广并改进了一些已有的结果.

1 几个引理

论文主要结论的证明需要用到如下几个引理.

引理1[7]设函数x(t)是Δ可微的且最终为正或最终为负, 则

(2)

引理3[7]若A,B为非负实数, 则当λ>1时,λABλ-1-Aλ≤(λ-1)Bλ， 等号成立当且仅当A=B.

引理4[8](时标上的Hölder不等式) 设a,b∈T且a

2 方程的振动准则

定理1若存在一个正的单调非减且Δ可微的函数ξ(t)， 使得

(3)

其中:常数k如引理2所定义, 函数

(4)

其中：c1>0,c2>0为某常数. 则方程(1)在[t0,∞)T上是振动的.

证明反证法. 设x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一个非振动解,不失一般性,设x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0 (t∈[t1,∞)T，t1∈[t0,∞)T)(当x(t)为最终负解时类似可证), 则y(t)>0， 并且由方程(1), 可得

[a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)]Δ≤-q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=-q(t)(x(δ(t)))β<0，

(5)

所以a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)是严格单调减少的且最终定号, 断言yΔ(t)>0(t∈[t1,∞)T). 若不然, 则∃t2∈[t1,+∞)T，使得yΔ(t2)<0. 因此由(5)式,得a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)≤a(t2)|yΔ(t2)|α-1yΔ(t2)=-M(t∈[t2,∞)T),其中：M=-a(t2)|yΔ(t2)|α-1yΔ(t2)=a(t2)|yΔ(t2)|α-1[-yΔ(t2)]>0，M为常数.

[1-p(t)]y(t)≤x(t).

(6)

现考虑Riccati变换

(7)

则w(t)>0(t∈[t1,∞)T), 注意到(5)、(6)式, 由上式,当t∈[t1,∞)T时, 有

(8)

由(2)式, 可得

(9)

于是由(8)式, 并注意到(9)式, 当0<β≤1时, 有

当β>1时, 同样有

利用a(t)(yΔ(t))α(t∈[t1,∞)T)的单调减少性, 可得

于是, 当t∈[t1,∞)T时,有

(10)

根据α,β的取值范围,分下列3种情形:

(i) 当β>α时, 由yΔ(t)>0，y(t)>0知, 存在常数c>0，使得yσ(t)≥y(t)≥c>0(t∈[t1,∞)T), 进一步,有(yσ(t))(β-α)/α≥c(β-α)/α=c1.

(ii) 当β=α时, 显然(yσ(t))(β-α)/α=1.

(iii) 当β<α时, 由于a(t)(yΔ(t))α≤a(t1)(yΔ(t1))α=b(t∈[t1,∞)T), 所以yΔ(t)≤b1/αa-1/α(t)(t∈[t1,∞)T),此式两边从t1到t(t∈[t1,∞)T)积分, 得

于是存在充分大的T∈[t1,∞)T及常数b1>0， 使得y(t)≤b1η-1(t)(t∈[T,∞)T), 因此, 当t∈[T,∞)T时,(yσ(t))(β-α)/α≥c2(ησ(t))(α-β)/α(c2=b1(β-α)/α).

综合以上3种情形及(4)式的第2个式子, 由(10)式, 得

(11)

另一方面, 由(9)式可得

yΔΔ(t)≤0.

(12)

事实上, 当α>1时, 由(9)式知, [(y(t))α]Δ≥α(y(t))α-1yΔ(t)， 所以 [(yΔ(t))α]Δ≥α(yΔ(t))α-1yΔΔ(t)，于是

[a(t)(yΔ(t))α]Δ=aΔ(t)(yΔ(t))α+a(σ(t))[(yΔ(t))α]Δ≥

aΔ(t)(yΔ(t))α+αa(σ(t))(yΔ(t))α-1yΔΔ(t)，

注意到aΔ(t)≥0， 容易看出yΔΔ(t)≤0.

当0<α≤1时, 由(9)式得[(y(t))α]Δ≥α(y(σ(t)))α-1yΔ(t)， 同样可得(12)式.

(13)

将(13)式代入(11)式, 得

(14)

在引理3中, 取λ=(α+1)/α， 且

及

代入引理3中的不等式, 并整理, 得

将上式代入(14)式, 得

上式意味着

(15)

这与(3)式矛盾, 定理1证毕.

定理2若存在一个正的单调非减且Δ可微的函数ξ(t)以及常数m≥1， 使得对充分大的T≥t0， 有

(16)

其中:函数γ1(t)及常数k的定义如定理1，则方程(1)在[t0,∞)T上是振动的.

证明同定理1的证明, 可得(14)式,于是由(14)式及时标上的分部积分法, 并注意到[(t-s)m]Δs≤-m(t-σ(s))m-1(t≥σ(s),m≥1), 得

(17)

将上式代入(17)式, 得

即

上式取上极限, 即得与(16)式矛盾, 定理2证毕.

注1若定理1中的条件(3)不成立或者定理2中的条件(16)不成立(其他文献亦有类似的条件, 如文献[11]中的条件(4.1)或(4.8)、文献[12]中的条件(4)或(9)、文献[13]中的条件(8)或(9)、文献[14]中的条件(3.1)与(3.12)或(3.16)等), 则有如下的振动准则.

定理3若存在函数ζ(t)∈Crd(T,R)及一个正的单调非减且Δ可微的函数ξ(t)， 使得对充分大的T≥t0，当u≥T≥t0时, 有

(18)

(19)

并且函数ζ(u)满足

(20)

证明同定理1的证明, 可得(14)和(15)两式, 于是由(15)式, 当t≥u≥T≥t0时,有

考虑到(19)式, 于是, 当u≥T时, 有

(21)

同时, 将(14)式两边积分, 可得

利用(21)式, 由上式可得

(22)

其中：M0=w(T)-ζ(T)是常数. 至此, 可以断言

(23)

于是由(22)式, 得

(24)

故对充分大的正整数n， 有

因此, 对ε∈(0,1)和充分大的正整数n， 容易得到

(25)

另一方面, 利用引理4(即Hölder不等式), 可得

分别利用(25)和(18)式, 由上式进一步可得

这就与(24)式矛盾,所以(23)式是成立的. 于是, 注意到(21)式的第一个式子及(23)式, 得

这与(20)式矛盾,定理3证毕.

结合定理2, 利用与定理3类似的方法, 就可得到如下的定理.

定理4若存在函数ζ(t)∈Crd(T,R)及一个正的单调非减且Δ可微的函数ξ(t)以及常数m≥1， 使得对充分大的T≥t0， 当u≥T≥t0时, 有

(26)

(27)

并且函数ζ(u)满足

(28)

例考虑动态方程

(29)

显然, 这是二阶非线性差分方程:a(t)=t2/5，p(t)=1/2，q(t)=t-11/10，τ(t)=δ(t)=t/2且α=β=1的情形. 容易验证

为了简单, 现取ξ(t)=1， 注意到当t≥2时,有

所以, (18)～(20)式显然均满足, 于是, 由定理3知, 方程(29)是振动的.

注2由于

这就意味着论文定理1的条件(3)不满足(可以验证定理2的条件(16)也不满足), 因此定理1、2不能用于方程(29). 同时, 现有文献如[1-6,9-19]中定理的相应条件也均不满足, 所以这些文献中的结果均不能用于方程(29).

论文针对时标上一类非常广泛的二阶Emden-Fowler型中立型变时滞动态方程, 利用时标上的有关理论和一些分析技巧, 结合时标上的Hölder不等式, 给出了该方程振动的若干充分条件, 当T=N和T=R时得到相应的差分方程和微分方程振动的有关结论, 推广并改进了现有文献中的一些结果.