直接带回流线供电方式的牵引网综合载流能力计算研究

邓云川，刘志刚，黄 可，宋小翠，成 业

(1．西南交通大学电气工程学院， 四川成都 610031；2. 中铁二院工程集团有限责任公司电化院， 四川成都 610031)

电能传输系统载流能力实质上是系统承受热负荷的能力，也称耐热稳定性或热负荷容量[1]。列车通过牵引供电系统获取电能时牵引网载流能力是评价牵引供电系统供电能力的重要指标。同时，计算牵引网载流能力需要首先获取牵引网导体载流量，而载流量的确定对牵引供电系统导体截面的选择也提供了参考[2-3]。

20世纪70年代末，DUNLOP等给出了输电电荷载荷能力定义。文献[4]给出热、电压降和稳定极限时输电线路最大载荷能力。线路载流能力分析的关键步骤是导体载流量和温度计算[1]，其中，结合设计规范[5]，输电线路导体允许载流量的计算公式往往以热平衡方程给出[1,6-7]。在此基础上不少学者开展了大量研究，如针对单根导体的计及允许温度交流电阻计算[6]、针对整体输电线路实时环境量测下载流量表达[8]等。也有一些学者对牵引供电系统载流能力进行分析，传统方法只考虑牵引网传输导体自阻抗和各传输导体间互阻抗对电流分配系数的影响[9-10]，文献[3]在此基础上，提出了考虑回流电路影响时接触网载流能力的计算方法，并在涉及电流分配系数的回路计算中以大地作为参考导体构建各传输导体和各回流导体与大地构成的回路。由于大地是牵引电流回流的重要通路，文献[3]在计算中对大地回流的电流分配系数进行了假设。

综上，已有文献多针对电力架空导体的载流量计算开展分析。即使部分文献开展了牵引网载流能力分析计算，也大多停留在传输导体局部电路的分析基础上，仅文献[3]考虑了回流导体的影响，并以大地作为参考导体构建回路，以此为基础进行计算。然而，实际牵引网导体由于结构、材质、运行环境等与电力架空导体差别较大，不能完全照搬电力架空导体载流量计算方法。此外，牵引供电系统是以接触线和承力索作为传输导体，回流线、钢轨、大地等作为回流导体构成的多导体传输系统，计算牵引网综合载流能力时仅考虑传输导体，忽略回流导体的影响会带来计算误差。而在考虑回流导体影响时，在涉及电流分配系数的回路计算中若按传统方法以大地作为参考导体构建回路[3]导致难以单独得出作为参考导体的大地的准确电流分配系数。由于大地是牵引电流回流的重要通路，其电流分配系数对准确分析回流导体对整个牵引网系统影响至关重要。因此，本文提供了一种应用于电气化铁路、带回流线直接供电方式的牵引网综合载流能力计算方法，相应流程如图1所示。该方法结合牵引网导体实际，基于热平衡方程计算牵引网各导体载流量；根据牵引网系统各导体空间位置关系、基础电气参数等，考虑了牵引网中传输导体和回流导体构成的实际回路，计及了各回路自感和互感的相互影响，利用多导体传输系统回路法得到牵引网各导体载流能力，进而获得牵引网综合载流能力。

1 牵引网单导体载流量有效计算方法

导体载流量是指按相关标准、规程、规范确定的导体最高工作温度下承载电流的大小。导体载流量和温度的关系主要由热平衡方程描述。热平衡方程包括焦耳热量dPJ、太阳辐射热量dPin、内存储热量dPS、对流换热热量dPout和对外热辐射dPout1。

dPJ+dPin-dPS-dPout-dPout1=0

( 1 )

当式( 1 )满足时，温度达到一个稳定值[11-13]。

焦耳热量dPJ是交流电流流过导体时导体交流电阻产生的有功功率消耗，其表达式[6-7]为

dPJ=I2e20[1+αR(θ-20)](l/A)dt

( 2 )

式中：I为导体电流；θ为导体温度；e20为导体在20℃时的电阻率；A为导体截面积；αR为导体温度系数；l为导体长度。

太阳辐射热量dPin表达式为

dPin=dεpsolsinδdt

( 3 )

式中：pso为太阳辐射密度；ε为太阳吸收系数；d为导体直径；δ为太阳偏角，计算中可按90°考虑[12]。其中，不同表面和不同材质ε也不同，见表1。

表1 不同表面和材质下的太阳吸收系数ε

表1(续)

导体内存储热量dPS表达式为

dPS=ctdθ=cGdθ=crAldθ

( 4 )

式中：ct为导体热容量；c为导体材料比热；r为导体质量密度；A为接触壁面面积；dθ为温度变化微分量[12]。其中，与牵引网导体材料相关的铜和铝比热c分别为390、880 J/(kg·K)，密度分别为8 900、2 700 kg/m3[11]。

对流换热热量dPout是流体与固体表面直接接触时所产生的热传递，可以表示为

dPout=αrA(θ-θair)dt

( 5 )

式中：A为与流体接触壁面面积，且A=Ul，U为导体外径周长，l为导体长度；θ为壁面温度；θair为流体平均温度；αr为对流换热系数，且αr=(Nu·λ)/lw，λ为空气特定热传导率，lw为导体滑移接触长度(lw=0.5U)，Nu为努塞尔数。

Nu=0.17Retr0.62

( 6 )

式中：Retr为综合自由和强迫对流情况下的雷诺数，取值范围103

( 7 )

式中：Ref范围为5×102

( 8 )

( 9 )

式中：Gr为格拉斯霍夫数；Pr为普朗特数，其中μ是计算Pr的一个中间值，表征液体黏性的内摩擦系数；vair为导体周围空气速率；vni为空气运动黏度。Gr可以表示为

(10)

式中：g为重力加速度；a为体积膨胀系数。

(11)

空气中，不同温度T与dPout计算相关的参数数值见表2。其中，t为定性温度，且t=(θ+θair) /2。

对于对流换热热量dPout，上述计算方法主要参考并分析了文献[7,11-13]相关内容，鉴于本节所述方法综合考虑了传热学理论、电气化铁路导体特征等因素，后文计算均按此方法开展。

表2 不同温度T下的对流换热热量dPout计算相关的参数值

基于斯蒂芬-玻尔兹曼定律，由于通常壁面温度T近似等于流体平均温度Tair，热辐射热量dPout1计算式为

(12)

式中：σ为斯蒂芬-玻尔兹曼常数，其值为5.67×10-8W/(m2·K4)；h为物体表面黑度，几种常用材料的物体表面黑度见表3。根据德国高铁设计经验，接触线下部表面可认为是光亮的，顶部被氧化和污染，相应辐射率上部为0.93，下部为0.24，磨耗10%的接触线，上下部比值为0.79/0.21。因此dPout1可表示为

(13)

表3 几种常用材料的物体表面黑度

2 计及牵引网单导体载流量的计算

将dPJ、dPin、dPS、dPout、dPout1计算式分别代入式( 1 )所示热平衡方程中，可得

(14)

基于式(14)，可得持续时间下电流I在牵引网导体产生的温升、导体正常载流量和导体短路载流量。

2.1 导体温升计算

对式(14)关于t求导，并就求导所得方程进行求解，设θ1、θ2为记录时间内导体起止温度，即t=0时θ=θ1，t=+∞时θ=θ2，可得

(15)

式中

(16)

基于式(15)、式(16)，可得持续时间内负荷电流I加载在导体上产生的温升。假设环境温度40℃、风速0.5 m/s、太阳辐射密度1 000 W/m2，CTS-150导线和JTM-120绞线在不同I和t下温升曲线如图2所示。

图2 两种接触线在不同电流和电流持续时间下温升曲线

2.2 导体正常载流量计算

将导体允许最高温度设为θlim，并考虑单位长度导体处于稳定状态，即dθ/dt=0。代入热平衡方程，可推导牵引网单导体正常载流量计算式为

(17)

图3 不同温度下各种导体的载流量

基于式(17)，按导体温升假设条件推导不同θlim值对应的各种导体载流量，如图3所示。其中，导体型号a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2、e1、e2、f1、f2、g1、g2分别为CTA-120、CTA-150、CTM-120、CTM-150、CTMH-120、CTMH-150、CTS-120、CTS-150、JT-95、JT-120、JTM-95、JTM-120、JTMH-95、JTMH-120。将图3所示结果与文献[14-15]中不同型号的电气化铁道接触线和绞线载流量标准进行比较，发现数值接近，可以验证本文所述牵引网单导体正常载流量计算方法的有效性。

2.3 导体短路载流量计算

短路情况下，导体电流瞬间可达正常工作电流的几十倍，导体产生的焦耳热量急剧增加，可能导致导体被熔化，形成严重事故。文献[16-17]在对导体允许短路载流量分析中，做了如下假设：不考虑导体集肤效应；导体电阻与温度成线性关系；导体单位热耗恒定；温升过程是绝热的。根据上述假设，可以认为在整个极短短路过程中，导体产生热量将全部用于提升自身温度。此时热平衡方程只计及焦耳热量dPJ和存储热量dPS，其方程为

(18)

通过转换，可得

(19)

对式(19)两侧关于t和θ积分，可得

(20)

式中：tk为短路持续时间；θlim为导体允许极限温度，指导体可能熔化温度，远高于导体正常载流量的允许温度；θa为短路前导体温度。

图4 两种接触线在不同短路持续时间下短路载流能力

式(20)中，关于导体允许极限温度θlim如文献[17]所规定的，电解铜接触线的θlim为175 ℃，铜银、铜镁合金接触线的θlim为200 ℃，青铜导体的θlim可达300 ℃。基于式(20)，可得CTS-150导体和JTM-120绞线在不同短路持续时间下的短路载流能力曲线，如图4所示。

3 牵引网综合载流能力计算

基于上述分析可得牵引网n个导体各自的载流量Ii(i=1, 2,…,n)，基于多导体回路理论计算各导体电流分配系数ki，并代入式(21)，得到对应各导体的牵引网载流能力Iki。

(21)

取对应各导体的牵引网载流能力的最小值I=min{Iki}(i=1,2,…,n)，可得牵引网综合载流能力。

3.1 导体电流分配系数的获取

以单线带回流线直接供电方式的牵引网系统为例，基于传输导体回路思想求解各导体电流分配系数ki的计算过程见下文。

图5为带回流线直供方式牵引网各导体的布置。牵引网导体网络由与列车受电弓接触的T线(包括接触线JW和承力索CW)、钢轨R以及与R相联系的大地E和回流线NW组成。其中，T线与牵引变压器正极性端子连接，R、E、NW线等相互连接并与牵引变压器负极性端子(接地端子)连接。从传输和回流的角度可将导体T线(包括接触线JW和承力索CW)划分为传输导体，其他导体划分为回流导体。传输导体与回流导体间两两构成8条回路，见表4。

图5 常规的计及带回流线直供方式单线牵引网各导体布置

表4 计及带回流线直接供电方式的单线牵引网回路编号

结合表4，根据各回路电压降与回路磁链关系，可得当电源为正弦激励时各回路电压降、回路电感和各回路电流间的关系为

(22)

式中：lij(i=1, 2, …, 8；j=1, 2, …, 8)为8条回路对应的自感和两两间的互感，构成矩阵即回路电感矩阵；ΔUi对应各回路电压降(i=1, 2, …, 8)；Ii为各回路电流(i=1, 2, …, 8)；ω为角频率。

牵引网众多导体长度较长且平行，各回路可视为并联，即各回路电压降相等，因此，可以假设各回路电压降为某一值，从而根据式(22)得到在该电压降下的各回路电流，进而得到各回路的电流分配系数khi。此外，假设导体JW、CW、R1、R2、NW、E的电流分别为I11、I12、I01、I02、I03、I04，结合图4，其与各回路电流I1、I2、I3、I4、I5、I6、I7、I8的关系见式(23)，代入各回路电流分配系数khi即可获得各导体电流分配系数ki。

(23)

根据上述推导，要获得各导体电流分配系数ki必须求取各回路自感和两两间互感lij(i=1, 2, …, 8；j=1, 2, …, 8)。对于基于多导体回路法的单位长度自电感和互电感推导中，回路可分为两类：导体与导体构成的架空导体回路(表4中回路1、回路2、回路3、回路5、回路6和回路7)和导体与大地构成的大地回流回路(表4中回路4和回路8)。对于前者，采用基本的回路阻抗公式进行计算[18]，结合图6，式(24)为与回路1相关的自感和与其他回路间的互感计算公式。

(24)

式中：l11为回路1的自感；l1j为回路1与架空导体回路j(j=2、3、5、6、7)相交联的互感；μ为磁导率；ω为角频率。

针对以大地作为回流通道的回路(即回路4和回路8)而言，电气化铁道阻抗计算中Carson公式是普遍使用的方法。假设大地上方有名为i、j的两导体均以大地作为回流回路(如图7所示)，它们的自电感li、lj和互电感lij计算公式为

(25)

(26)

图6 带回流线直供单线牵引网传输回流架空导体示意图

图8 架空回流回路与大地回流回路间互感计算示意图

对于大地回流回路与架空回流回路间的互感计算(回路4、8分别与回路1、2、3、5、6、7间互感)，以图8为例说明其计算方法。假设传输导体i和回流导体k构成一架空回流回路，传输导体j与大地构成大地回流回路。架空导体回路i-k与传输导体j的大地回流回路间互感li-k, j计算式为

(27)

式中：Di为导体i到导体j对应的等值地回线深度点j′间距离；Dk为导体k到导体j对应的等值地回线深度点j′间距离；djk为导体j到导体k间距离；dij为导体i到导体j间距离。由于等值地回线深度Dg通常远大于牵引网导体离地高度和牵引网导体之间的距离，即Di≈Dk≈Dg，因此，对于式(27)有

(28)

根据式(24)～式(28)计算得到各回路自感和两两间互感lij(i=1, 2, …, 8；j=1, 2, …,8)，进而求出各导体电流分配系数ki。

3.2 单线牵引供电系统载流能力计算

对于带回流线直接供电方式，由于构成回流回路导体较多，而传输回路仅有接触线和承力索，故按照传输回路各导体(接触线JW和承力索CW)计算综合载流能力即可。表5为计及带回流线直接供电方式的单线牵引供电系统各导体电气参数。基于上述方法求得各回路电流分配系数、传输导体CW与JW电流分配系数和牵引网综合载流能力见表6。其中，根据文献[14]和文献[15]，JW和CW最高工作温度取95 ℃。根据表6，计算所得的钢轨、回流线和大地回流分配系数分别为0.396、0.322和0.282。结合高速铁路牵引供电系统各回流导体电流分配指标研究和相关实测、仿真结果[3, 19-21]，钢轨、回流线和大地回流分配系数均在合理范围内。

表5 常规的计及带回流线直供方式的单线牵引供电系统各导体电气参数

表6 计及单线直供带回流线牵引供电方式的计算结果

3.3 复线牵引供电系统载流能力计算

采用3.1节所述方法对带回流线直供方式复线牵引网开展计算。复线牵引网一般采用上下行分开、末端并联和全并联3种供电方式。其中， 当上行和下行分开供电时对载流能力的要求最高，因此，本文对上下行采用分开供电时的复线牵引供电系统综合载流能力开展计算。

常规的带回流线直供方式下复线牵引网导体布置如图9所示，其由完全对称相等的上行和下行系统构成。其中上行和下行承力索(CW1与CW2)、接触线(JW1与JW2)构成传输导体；钢轨(R1、R2、R3与R4)、回流线(NW1与NW2)和大地(E)构成回流导体。传输线和回流线间两两构成回路。结合表7所示的供电系统各导体电气参数，对牵引网综合载流量进行计算。计算分为两种工况：一种是不考虑上下行牵引网互感影响的情况，即假设仅在上行或下行存在负荷；另一种计及了上下行牵引网互感影响，即假设上行和下行同时存在相同负荷。对于前者，由于只有一个方向存在负荷，另一个方向的传输导体没有电流流通，不会参与回路的构建。因此，只有一个方向的传输导体会与复线所有回流导体两两构建回路，根据图9，共形成14阶的回路电感矩阵。对于后者，上下行的传输导体与回路导体间均参与回路的构建，根据图9，共形成28阶的回路电感矩阵。基于此，根据表7所示的图9中各导体电气参数，根据本文所述方法计算得到两种工况下各回路电流分配系数、各传输导体电流分配系数和牵引供电系统综合载流能力分别见表8、表9。需要说明的是，上下行同时存在相同负荷时，前14个回路与后14个回路完全对称，上行和下行的电流分配系数完全相同。

图9 常规的计及带回流线直供方式复线牵引网各导体布置

根据表8，仅在上行或下行存在负荷情况下钢轨回流总比例为0.480 2，回流线回流总比例为0.359 5，大地回流总比例为0.160 3。根据表9，上行或下行同时存在负荷情况下钢轨回流总比例为0.407 3，回流线回流总比例为0.400 7，大地回流总比例为0.192。结合高速铁路牵引供电系统各回流导体电流分配指标研究和相关实测、仿真结果[3, 19-21]，钢轨、回流线和大地的回流分配系数均在合理范围内。

表7 常规的计及带回流线直供方式的复线牵引供电系统各导体电气参数

表8 仅在上行或下行存在负荷情况下的复线牵引网综合载流量计算结果

表9 上行和下行同时存在负荷情况下的复线牵引网综合载流量计算结果

4 结束语

牵引网综合载流能力是评价牵引供电系统供电能力的重要指标。基于热平衡方程，本文结合牵引网导体具体情况，通过理论分析得到方程相关焦耳热量、太阳辐射热量、内储存热量、对流换热热量和热辐射热量的有效计算方法，并将其带入用于计算输电线路导体允许载流量的热平衡方程，进而获得牵引网各导体载流量。通过不同型号电气化铁道铜和铜合金接触线、铜和铜合金绞线载流量标准验证了本文所述牵引网单导体正常载流量计算方法的有效性。基于多导体传输系统回路法推导了牵引网各导体电流分配系数，进而获得整个带回流线直供方式的牵引网综合载流能力。将该方法用于带回流线直接供电方式单线和复线牵引供电系统实际线路的综合载流能力计算，计算结果表明钢轨、回流线和大地的回流分配系数均在合理范围内，验证了本文所述方法的有效性。本文提出的方法在计算牵引网导体载流量时结合牵引供电系统实际，推导牵引网各导体载流能力时考虑了牵引网中传输导体和回流导体构成的实际回路，计及了各回路自感与互感的相互影响，得到准确的、作为参考导体的大地电流分配系数。