多光子催化叠加相干态及其Wigner函数

李恒梅，肖进，袁洪春，王震

(1.常州工学院数理与化工学院，江苏 常州 213032； 2.常州工学院电气与光电工程学院，江苏 常州 213032)

非高斯量子态在连续变量的量子信息处理中扮演着重要的角色，对解释量子物理的基本原理也起到重要作用。一般地，非高斯态的非经典性是通过一些具体的量子统计特点体现出来的，如压缩特性、亚泊松光子统计、Wigner函数等[1]。其中，Wigner函数的负值特征被看作是光场的非经典特性的一个重要标志[2]。于是，利用Wigner函数的负值特征可以很好地讨论量子态的非经典性质。为了获得更多的非高斯量子态，人们提出了诸多方法，如对高斯态进行光子扣除或增加操作，通过增加(扣除)光子也可以使一些量子态得到较深程度的压缩，从而改善量子态的非经典性质[3]。研究表明：一般情况下，不同的非高斯操作会得到不同量子态，展现不同的非经典特性或纠缠特点。

利用分束器结合条件测量的非高斯操作被认为是实验上有效可行的操作方式，是实现连续变量量子信息处理中多重任务的一个至关重要的工具[4]。由此人们提出了许多巧妙的方案，理论上和实验上已经制备出了一系列的量子态。其中，Lvovsky等[5]将相干态和单光子Fock态输入光学分束器，在其中的一个输出端进行单光子Fock态的条件测量，从而获得单光子催化相干态。后来，Bartley等[6]利用量子催化的手段制备出一系列有非经典效应的多光子量子态。江西师范大学的胡利云教授小组研究了多光子催化相干态的非经典性[7]，利用多光子量子催化方式改善双模压缩真空态[8]和双模纠缠相干态[9]的纠缠特性。本文根据上述量子催化的思想，主要研究多光子催化叠加相干态，即将叠加相干态和单光子Fock态输入光学分束器，在其中的一个输出端进行单光子Fock态的条件测量，从而获得单光子催化叠加相干态。此外，利用相干态表象下的Wigner函数，重构多光子催化叠加相干态的Wigner函数，它包含了该量子态在整个相空间演化过程总的全部信息。

1 多光子催化叠加相干态

多光子催化叠加相干态过程就是将叠加相干态φ〉in=Na(α〉+ei χ-α〉) (Nα=(2+2e-2|α|2cosχ)-1/2，为归一化常数)和多光子Fock态m〉输入光学分束器BS，在其中的一个输出端进行多光子m〉态测量，从而获得多光子催化叠加相干态φ〉out，如图1所示。

图1 基于光学分束器的量子催化过程示意图

根据量子催化的思想，多光子催化叠加相干态可表示为

φ〉out=Nm,αb〈mB(θ)m〉b(α〉+ei χ-α〉)

(1)

式中:Nm,α为归一化常数，即探测m光子数的成功概率;B(θ)=exp [θ(a+b-ab+)]是分束器算符，相应的反射率与透射率分别为r=sinθ与t=cosθ。

为了得到φ〉out的具体形式，首先计算出ξ〉≡b〈mB(θ)m〉bα〉的具体形式。根据分束器的变化关系

(2)

以及相干态的Fock形式

α〉=e-|α|2/2eαa+0〉

(3)

和Fock态的相干态表达式

(4)

最后得到

(5)

考虑到双变量厄米多项式Hm,m(x,y)的母函数形式以及与拉盖尔多项式Lm(xy)关系式[10]，

(-1)mm!Lm(xy)

(6)

式(5)简化为

κmLm(ηa+)αθ〉

(7)

式中：κm=tme-|α|2sin2θ/2=cosmθe-|α|2sin2θ/2；η=αr2/t=αcosθtan2θ；αθ=αt=αcosθ。因此，多光子催化叠加相干态可表示为

φ〉out=Δm,α[Lm(ηa+)αθ〉+ei χLm(-ηa+)-αθ〉]

(8)

式中，Δm,α≡Nm,ακm。

从式(8)可以看出，多光子催化叠加相干态就是拉盖尔多项式激发叠加相干态。当χ为0和π时，φ〉out分别变为多光子催化偶相干态和多光子催化奇相干态。此外，当cosθ=1时，即分束器的透射系数为1时，μ=0，式(8)变成为输入态。对于零光子催化情况，即m=0，则输出态变为

φ〉out→Δ0,α(αcosθ〉+ei χ-αcosθ〉)

(9)

表明零光子催化可以实现叠加相干态的振幅衰减过程。

2 多光子催化叠加相干态的归一化系数

多光子催化叠加相干态的归一化系数对后面讨论其Wigner函数非常重要，这里先求出归一化系数Nm,α的具体表达式。

根据归一化条件与式(8)，有

(10)

式中,

Q1=〈αθLm(η*a)Lm(ηa+)αθ〉

(11)

Q2=〈αθLm(η*a)Lm(-ηa+)-αθ〉

(12)

(13)

再利用拉盖尔多项式Lm(x)的求和表达式

(14)

以及双变量厄米多项式积分公式[7]

(15)

Q1的具体表达式为

(16)

同样地，可以求出Q2的具体表达式为

(17)

3 多光子催化叠加相干态的Wigner函数

Wigner函数的部分负值性是量子态的高非经典性的一个主要标志。在相干态表象下，单模量子态ρ的Wigner函数W(z)[11]定义为

(18)

将式(8)代入式(18)就得到多光子催化叠加相干态的Wigner函数表达式

(19)

这里推导过程与求解过程式(11)类似，其中

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，βθ+=αθ+2β，βθ-=αθ-2β。当m=0时，式(19)退化成零光子催化叠加相干态Wigner函数。

根据式(17)，我们在图2和图3中分别给出了多光子偶相干态和奇相干态的Wigner函数在相空间对应于不同探测光子数m和分束器透射系数T=cos2θ的图形。从图2与图3可以看出多光子催化偶相干态都具有向上的主峰，而多光子催化奇相干态都具有向下的主峰。此外，图2、3还显示了Wigner函数的非高斯性，且随着探测光子数m的增加，Wigner函数呈现多峰结构，其负值区域在逐渐增大，这是态具有非经典特性的一个依据。图2(a)与3(a)分别给出了零光子催化偶、奇相干态的Wigner函数，这实际上是偶、奇相干态的振幅衰减过程。在两组(c)和(d)中给出了不同分束器的透射系数对Wigner函数的影响，随着透射系数的减小，Wigner函数的峰值逐渐增大，且负值区域越来越明显。

(a)α=1+i,θ=π/6,m=0

(b)α=1+i,θ=π/6,m=1

(c)α=1+i,θ=π/6,m=2

(d)α=1+i,θ=π/3,m=2图2多光子催化偶相干态(χ=0)的Wigner函数图形

(a)α=1+i,θ=π/6,m=0

(b)α=1+i,θ=π/6,m=1

(c)α=1+i,θ=π/6,m=2

(d)α=1+i,θ=π/3,m=2图3多光子催化奇相干态(χ=π)的Wigner函数图形

4 结论

本文利用分束器与条件测量操作，给出了多光子催化叠加相干态的具体形式，包括多光子催化奇偶相干态，并导出了其归一化系数的具体表达式。研究表明该态就是拉盖尔多项式激发叠加相干态。此外，利用相干态表象下的Wigner函数，重构了多光子催化叠加相干态的Wigner函数，并根据Wigner函数讨论在相空间中随不同探测光子数和分束器透射系数的变化关系。结果表明随着探测光子数的增加或透射系数的减小，Wigner函数的负值区域在逐渐增大，呈现出更高的非经典特性。