一类两体非X-型量子态的量子失谐

张传彬，周建明，胡晓莉

(江汉大学数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056)

0 引言

其中px|y为已知随机变量Y=y的条件下，随机变量X=x的条件概率.经典交互信息的另一种表达形式：

J(X,Y)=H(X)-H(X|Y)，

其中H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y).

在量子信息理论中，两体量子态ρab的量子交互信息可以表示为：

I(ρab)=S(ρa)+S(ρb)-S(ρab)

(1)

其中ρa=trb(ρab)为两体量子态ρab在b空间上的偏迹；S(ρ)=-ρlog2ρ为冯·诺依曼熵，是经典信息中香农熵在量子信息中的推广.

(2)

其中概率pk=tr(I⊗Bk)ρ(I⊗Bk),k=1,2.关于冯·诺依曼测量的条件信息被定义为：

I(ρ|{Bk})=S(ρa)-S(ρ|{Bk})

(3)

C(ρ)=sup{Bk}I(ρ|{Bk})

(4)

那么量子失谐被定义为：

Q(ρ)=I(ρ)-C(ρ)

(5)

关于两体X-型量子态的量子失谐，目前已经研究得比较深入.Luo等在2008年给出了X-型量子态量子失谐的解析解[2]；Jing N等给出了一般X-型量子态量子失谐的解析解[3]，但对非X-型量子态的研究较少[4].笔者考虑两体非X-型量子态的量子失谐，在两体X-型量子态[5]的基础上，扩充其研究.

1 两体非X-型量子态的量子失谐

本文中考虑下列两体非X-型量子态ρ的量子失谐，其ρ由下式给出：

(6)

其中I为2×2的单位矩阵，σ1,σ2,σ3为Pauli矩阵，都是2×2的自旋复矩阵，s1,s2,s3,c∈R.由于任意一个两体量子态都可通过酉变换落于Bloch球面上，因此我们不妨限制si,c∈[-1,1]，i=1,2,3量子态ρ的4个特征值为：

众所周知，密度算子ρ应满足：①ρ的迹为1；②ρ为半正定算子.因此，特征值应满足如下条件：

(7)

(8)

因此，ρ的量子交互信息为：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

由于V+σiV落在三维单位球面上，因此我们可引入新变量z1,z2,z3，且

(15)

令θ=s1z1+s2z2+s3z3，则θ∈[-1,1].由(3)式、(4)式可得ρ的经典关联为：

(16)

(17)

最后，由(5)式可得ρ的量子失谐为：

(18)

定理对于(6)式中的两体非X-态ρ，其量子失谐为：

(19)

首先，求出G(θ)对θ的导数，有：

1) 当θ=0时，G′(0)=1>0；

2) 当θ>0时，(1+θ)2(1-θ)2-c2(1-θ)2>(1+θ)2(1-θ)2-c2(1+θ)2，有G′(θ)>0

因此G(θ)在θ∈[0,1]上为增函数,易知，G(θ)max=G(θmax).

最后将G(θ)max代入(18)式可得量子态ρ的量子失谐为(19)式.

2 两个实例

图1 例2中G(θ)的图

例1考虑一种特殊情况，当s1=s2=s3=0，c′=-c时，两体非X-型量子态ρ退化成Werner态：

(20)

在这种情况下，ρ的量子失谐为：

(21)

例2令s1=0.1，s2=0.2，s3=0.2，c=0.3，此时两体非X-型量子态ρ为：

其特征值为：λ1=0.4，λ2=0.342 705，λ3=0.25，λ4=0.007 294 9；图1中，给出了G(θ)关于θ的函数图像，从图中可以看出G(θ)随着θ变化而变化的曲线图形由定理可知Q(ρ)=0.611 1.

3 结论

量子失谐是两体量子态的重要量子关联之一，对任意的两体量子态不是很容易求其解析解.本文中在考虑两体非X-态的量子失谐时，发现其运算规律，求出其最优解析解，扩展了两体X-态的量子失谐问题.一般的两体量子态含有9个参数，而由于这样的量子态的特征值表达式过于复杂，导致本文中并没有解决所有两体量子态的量子失谐问题.事实上，从理论上说，带参数的四阶方阵的特征值总有其根式表达式，我们希望能找到参数之间的某种关系，使其特征值能得以化简，从而计算出更一般的两体量子态的量子失谐.