指向数学核心素养培育的教学“三重视”

【摘 要】高中阶段数学的学习包含这样三个方面：学习数学概念、学习数学解题、学习书面表达。这三个方面应该站在培育学生数学核心素养的角度去做，即重视概念的形成过程，帮助学生从“学会”到“会学”;重视解题的思路分析，帮助学生掌握思想方法;重视表达的规范要求，在精致表达中提升素养。坚持做好这三点，有助于培养学生的核心素养。

【关键词】概念学习;数学解题;数学表达

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）91-0031-04

【作者简介】徐永忠，江苏省兴化中学（江苏兴化，225700）教师，正高级教师，全国优秀教师，中国数学奥林匹克一级教练员。

目前，数学教学工作指向学生数学核心素养的培育已经是許多教师的共识。数学核心素养的培养不是一朝一夕完成的，必须通过每节课中的概念、例题与习题的深入研究而完成。如何培养学生的数学核心素养，下面谈一些笔者的看法。

一、重视概念的形成过程，帮助学生从“学会”到“会学”

数学概念是学好数学的基石，不重视数学概念的形成过程等于没有学数学。有不少教师不懂怎么教数学概念，还是采用“一个定义、三项注意，大量练习”的教学方式，教师不讲概念产生的背景，学生不经历概念的抽象概括过程，只是依靠大量的解题训练强化概念。这种生吞活剥式的学习导致学生没有真正弄懂概念的含义以及概念中所包含的思想方法。这种做法带来的弊端很多，其中之一是学生失去了学习的乐趣。本来学习是一件快乐的事情，由于采取“粗鲁”的教学方式，学生没有经历数学概念的形成过程，不能够开展有深度的思维活动，也就失去了学习的乐趣。进而其数学探究能力得不到培养，遇到新问题还是依赖记忆和模仿，面对新的概念或者稍微有点难度的问题往往束手无策。

当前一些靠“死訄”的学校获得了不错的成绩。不少学校的教师和学生误认为数学的学习就是接受一大堆数学知识应付高考。如果将数学学习仅仅作为升学的“敲门砖”，理解为“刷题”的数量和速度，那么这样的学习是很痛苦的。即使高考获得高分进入名校，在高校的学习也会遇到很大的问题。

南京大学朱富海教授一直关注大学教育和大学生的状况，时常困惑于学生暴露出来的问题，比如自学、主动探索和接受新知识等方面能力的欠缺。他认为，这些问题，固然有大学教育不足的因素，但主要还是在中小学教育中逐渐累积下来的，并且根深蒂固。朱富海教授说：“在10多年的大学教学生涯中，我看到很多大学生用中学的学习方式痛苦地学习大学课程。……原因何在？跟他们聊一聊就能发现问题：他们只会记忆定义和命题，并不会深入思考其中的内涵，他们已经习惯于在反复多次的学习后才能记住一个知识点，重复的次数不够多效果就会很差;遇到问题根本不会分析，不知道从何下手;课上尝试的引导对相当一部分学生来说是没有用的，因为探索不在他们的字典里。”[1]苏霍姆林斯基曾说：用记忆代替思考，用背诵代替鲜明的感知和观察，只会使学生变得愚蠢。

高中数学课程标准修订组负责人王尚志教授提出，从“学会”到“会学”。“会学”就是落实的行动，“会学数学”主要表现在：会提出问题，会数学阅读，会梳理知识，会表达反思等。他还指出：数学核心素养就是希望学生把数学最重要的东西变成自觉观念，落实在应用、学习中。[2]

例如在教“指数函数”这节内容时，要教学生学会研究函数的一般方法，就要通过问题情境，从特殊到一般归纳提炼出指数函数的概念;接着要明确研究方向，寻找研究方法，从个别函数入手画图象，运用数形结合思想方法归纳概括其性质;最后运用函数解决新问题。这样做就经历了数学问题解决的一般过程：创设情境、提出问题;分析转化、解决问题;运用巩固、内化迁移;回顾反思、拓展问题。

指数函数是学生进入高中阶段后研究的第一个新函数，是对前面所学函数的概念、要素、单调性、奇偶性的一次实际体验。当学生学会了研究指数函数过程和方法之后，达到“会学”的程度时，就能够对后续函数（对数函数、幂函数）进行自主探索，得到研究结论。这时数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养就得到提升。

“四基”“四能”只能通过“思维过程的教学”才能落实。这个“过程”是学生在教师的启发下积极主动地理解数学知识的思维过程，数学学科核心素养也只有在这样的过程中才能得以实现。

数学教学应该以数学知识的发生发展过程为载体，以恰时恰点的问题引导学生的思维活动，努力使学生经历研究一个数学对象的基本过程，在过程中培养数学思维、发展数学能力。

二、重视解题的思路分析，帮助学生掌握思想方法

解题教学在高中阶段占有较大的分量，从某种意义来说，高中数学教学的主体是解题教学，或者运用所学到的数学概念去解题;通过数学解题深化对数学概念的理解、拓展数学定理的运用等。所以在解题教学中要重视数学思想方法的渗透和提炼，让学生在解题中逐步掌握数学思想方法，这样能使学生站得高、看得远，增强举一反三的能力，减轻过重的学业负担。

具体来说，在教学中教师要引导学生经历解题思路的分析过程，而不是仅仅记住某些结论。即使某些结论在解题时作用比较大，教师也应该带着学生将这样的结论认真地证明一下，使学生明白其中的道理，这样学生在使用时就能够得心应手。

在解析几何中有不少结论，例如：一条直线与椭圆相交，则交点弦中点与对称中心连线的斜率和这条交线的斜率乘积是定值。解题时直接使用看起来比较方便，但是如果学生只是死记硬背这个结论就可能造成这样几种情况：第一，如果命题者考的知识点就是学生平时直接使用的结论，那么这个知识点的分数就拿不到了;第二，如果方程的形式变了，焦点在x轴上的方程改成焦点在y轴上的方程，这个时候，定值就可能搞错，以至于整个题目解错;第三，对于一些质量高一点的问题，常常会考结论背后的数学思想方法以及需要注意的地方，如“点差法”在双曲线中怎么使用，如果不注意相交的条件，就可能导致错误。所以一定要让学生经历解题的思维过程，学生才能真正掌握这些知识以及这些知识背后的数学思想方法。

数学教育家波利亚在他的著作《怎样解题》中提出解题的四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。每一个环节都很重要。我们往往看到的或者呈现出来的基本上都是第三个步骤。而第一个步骤和第四个步骤被忽略，其实解题思路的获得更多依赖第一个步骤。

对于填空题，并不是只要填个答案就万事大吉了。必须要弄清楚为什么是这个答案，应该像做解答题一样讲清楚其中的来龙去脉。例如，高三一轮复习，“三角函数”部分有这样一道题：设f（x）=a1sin2x+（a2-2）sinxcosx+cos2x（a12+a22≠0）。若无论x为何值，函数f（x）的图象总是一条直线，则a1·a2的值是    。

从学生的作业情况看，90%的學生用红笔填了一个答案“2”。问他们为什么是“2”，基本上没有人能够说出道理来。这个“2”源于参考答案，而参考答案没有提供详细的解答过程，学生很诚实，用红笔写出来。实际上要解决这道题必须要很熟悉数学概念，能准确理解问题。真正做到这两点，这道题就很容易解答了。

教学时，笔者问，对于“无论为何值，函数的图象总是一条直线”怎么理解？学生回答，函数形式是变量一次式或者是常数时，图象是直线。笔者接着提问，在这个问题中，可能是一次式吗？这是一个关于变量x的三角函数，将其转化为一个角的一个三角函数，当它的系数为0时，该函数可能为常数。理解这一点后，解答这一问题就不是什么难事了。

概念中蕴含着数学家的思维，它对学生学会思考的训练价值很大。概念是思维的细胞，概念清楚了，思维的基础就有了。将概念中蕴含的数学家思维展开，并用于训练学生，是提高学生数学能力的捷径，也是提高高考成绩的法宝。[3]

三、重视表达的规范要求，在精致表达中提升素养

现在很多学生忙于做作业，有些教师也抱着“为你好”的心态布置了不少的作业，认为只要反复训练，就能够“熟能生巧”，却不重视学生解题时的规范表达。实际上数学解题是有一定规范要求的。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。而有些学生只注重结论、忽视过程，还有些学生甚至随意杜撰数学符号和数学术语，导致问题解决出现不该有的失误。

对于学生规范表达习惯的培养，教师一定要给予重视。因为数学是讲理的，具有逻辑严谨性。表达能力有口头表达和书面表达，这两种表达方式各有优势，比较而言，口头表达往往有“滑过”的现象，书面表达则不同，必须经得住推敲，书面表达影响更大一些。江苏省特级教师冯卫东在《为“真学”而教》一书中说：“写作是最好的学习。囿于我的经验，想不出还有什么方法、途径比写作更能丰富个人的内涵，砥砺个人的思想，增长个人的智慧，提升个人的品位。”“没有写作也无以发生深度的学习：不管在哪种意义上，写作都是最好的学习。”[4]数学写作也是最好的数学学习方式之一。

数学写作水平是学生多种能力的体现。从开始将思考的问题、研究的结论等罗列出来到能够有条理地表达，需要下一番功夫。这主要由数学写作的特性所决定。

数学写作是数学思维能力的外在表现形式。一个人的数学思维能力如何，是通过口头交流与书面表达来呈现的。即使是口头交流，除了即兴发言（也要先打腹稿），正式的交流都需要先写出文稿来，可见书面表达是多么的重要。学生的数学思维能力（特别是逻辑推理能力）体现在数学写作上，就是要做到言而有据。

数学写作是需要来源的，也就是数学写作不可能凭空杜撰，必须和反思、探究、实践等创造性的思维活动相结合。这些动手、动脑的活动为数学写作提供了材料，而数学写作为呈现这些数学活动提供了平台。

数学写作能够改善学生的情感。数学写作一方面能够将中学生欲说的话表达出来，体现其学习的心理状态和学习能力，另一方面还能够起到情感宣泄、交流沟通等作用。有利于改善中学生的心理状态，培养积极的情感，提高他们学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力。

核心素养的培育倡导学科融合，“数学写作”的实验恰恰体现了这种融合。数学写作使学生学会了字斟句酌、学会了精致表达，核心素养潜移默化地得到了提升。数学写作是新课程落实培育学生数学核心素养的有力抓手。[5]

教师要循序渐进地培养学生的数学写作能力，可以指导学生写解题的思维过程，表达“怎么想到的”“为什么这么做”;可以写问题的不同解法，也就是一题多解，表达学生思维的不同角度;还可以指导学生开展数学实验或者数学建模活动，将过程记录下来;等等。

综上，教师需要认真设计教学流程，抓住合适的教学契机，布置恰当的实践活动，使学生在问题解决中反思、感悟，同时开展数学写作活动，在写作的过程中，学生就会不断反思、推敲，促进学科素养的生成。

【参考文献】

[1]朱富海.中小学阶段的家庭教育[J].教育研究与评论，2018（6）：5-10.

[2]王尚志，胡凤娟.基于数学核心素养的教学要点[J].上海课程教学研究，2017（4）：3-8.

[3]章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017：736.

[4]冯卫东.写作是最好的学习——以新著《为“真学”而教》为例[J].教育视界，2017（13）：47-50.

[5]徐永忠.基于培养数学核心素养的高中生数学写作的实践与思考[J].中学数学教学参考，2018（5）：64-68.