矩阵对角化的案例教学

詹环　罗俊芝　李慧珍

【摘要】矩阵对角化在求解微分方程组、曲面的标准形以及动力系统中有着非常广泛的应用.选取贴近生活的案例引入矩阵对角化的概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，建立并求解防御支出模型.采用探究式教学方法，可以激发学生的学习兴趣，提高学生数学建模应用能力.

【关键词】矩阵;对角化;案例

矩阵的对角化是矩阵运算的重要方法，它在电路网络、振动理论及控制论等应用领域被广泛地应用.当前矩阵对角化教学中存在的问题是教材中的矩阵对角化概念方法经过高度的抽象脱离了相似对角化产生的背景，学生容易感到枯燥、困难，不利于培养学生的探索精神.选取现实生活的热点作为矩阵对角化案例，通过学生的自主思维探究讨论达到拓展学生知识，培养学生解决问题能力的目的.

一、创设情境，引入案例

军备竞赛是指和平时期国家之间为了应对未来可能发生的战争在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛，是一种预防式的军事对抗.激烈军备竞赛必须选择在必要的时候进行，没有必要的激烈军备竞赛会延缓自身经济的发展，一定程度上引发不必要的敌意.裁减军备的行动必须是在有利于自身国家整体战略的前提之下进行的，需要保留的力量要足以对潜在敌人形成足够威慑又能够通过时间作用转移潜在敌人的矛头，以换取自身的更大生存空间，防御支出模型可以为军备竞赛提供一定的参考依据.

例1 考虑甲、乙、丙之间的军备竞赛，防御支出率是指国家在时刻t的防御支出变化量.定义甲、乙、丙之间的防御支出与时间t（以年为单位）的关系分别为x1（t），x2（t），x3（t）.试建立防御支出模型.

分析 乙、丙军备越大，出于安全的考虑，甲的防御支出增加得越快，则国家的防御支出的变化量与其他国家的防御支出成正比.其次，在一定的财政收入下，军费增加会挤占其他产业的需求，甲的防御支出越多，经济对军备的制约越大，军费的增加变慢，所以国家的防御支出率与已支出的防御费用成反比，防御支出模型为一个常系数微分方程组.

四、小 結

矩阵对角化不仅可以简化矩阵运算，化二次型为标准形，还可以用来求解线性常系数微分方程组.为了使学生能够更好地理解矩阵对角化的概念，本文从一个军事案例入手引出矩阵对角化的概念，引导学生运用所学概念解决问题，在运用中巩固概念，使学习过程成为探究过程.从而激发学生兴趣，拓展学生思维，培养学生的创新能力.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M]北京：高等教育出版社，2007：123-124.

[2]陈怀琛，龚杰民.线性代数实践及MATLAB入门[M]北京：电子工业出版社，2005：935-936.