用正交变换法化二次型为标准形的简洁计算方法

杨威　高淑萍

【摘要】用正交变换法化二次型为标准形问题是线性代数的重要知识点，其计算非常烦琐.本文针对特殊二次型，给出了特征值快速求法、特征向量快速求法，并用待定系数法替换传统的施密特法实现向量的正交化.熟练掌握这些方法后，解决此类问题的时间将大大减少，提高了学习效率.

【关键词】二次型;特征值和特征向量;施密特正交化法

一、引 言

线性代数是高等学校理、工、农、经、管等专业的重要基础课程，它不仅是数学课程的基础，而且也是自然科学、工程技术和经济管理等领域应用广泛的数学工具.线性代数概念抽象且计算烦琐，给刚入学的大学生带来很大的学习压力.本文针对特殊的二次型，给出了一个用正交变换法化二次型为标准形的简洁计算方法.

用正交变换法化二次型为标准形问题考查了学生“求行列式”“解方程组”“求特征值特征向量”“矩阵相似对角化”及“二次型”等知识点，该问题贯穿了线性代数的所有知识，所以它成为线性代数的常考题型，甚至是必考题型.

六、结 论

本文通过三道例题介绍了三种简洁的计算方法，需要注意以下问题.

第一，“特征值的快速求法”要求矩阵A的结构为：主对角线全为a，其余元素全为b.该方法能进一步推广出“行列式的快速求法”.

第二，“特征向量快速求法”首先要求矩阵A是n阶实对称阵，其次要求矩阵A有一个n-1重特征值和一个1重特征值.该方法不需要任何计算，可以直接写出答案.

第三，“待定系数正交化法”是求单个齐次线性方程正交基础解系的一個方法，该方法与施密特法计算结果一致.因篇幅有限，本文只介绍了三元齐次方程组的情况.

当熟练掌握以上方法后，针对特殊二次型，即可快速解决“用正交变换法化二次型为标准形”问题，大大提高了学习效率.

【参考文献】

[1]杨威.线性代数名师笔记[M].西安：西安电子科技大学出版社，2014：198-215.

[2]杨威.线性代数辅导讲义[M].北京：电子工业出版社，2011：174-181.