高中数学排列组合解题技巧指导

山东省莘县实验高级中学 王沛贤

作为高中数学的重点知识模块，排列组合问题是高中阶段与实际生活联系最紧密的知识点，但是在具体的解题过程中，仍然要求学生具有一定的抽象性思维。我们在教学的过程中应注意对学生技巧、思路方面的指导，提升学生解题效率。

一、全方位发展学生的数学思维能力

高中数学教育的基本目标之一就是培养学生的思维能力，不断挖掘学生的数学学习能力。一般情况下，具有较强数学能力的学生也会具备较强的数学思维方式优化能力，因此，发展学生的数学思维能力是提升高中生数学成绩的关键之处。每个具体的高中数学问题往往都可以归纳到某一种题型当中，教师可以带领学生将各种题型构建成一个数学模型，在这个数学模型的框架里面将具体的数学问题一一解决。为了有效提升学生的数学思维能力，教师应该在教学过程中有意识地强调思维能力的重要性，着重培养学生的数学能力。

例1 在某场篮球比赛中，一共有12名队员参赛，其中有5名是主力球员，要求主教练从这12名队员中挑选出5名队员首发上场，但是选出的5名队员中至少包括4名主力球员，同时要求主力队员甲和非主力队员乙不能同时作为首发队员上场，那么一共有多少种选择方法？

上述问题明显是需要进行分类的题型，要求学生在做题过程中分类时不重复，也不出现遗漏。学生进行分类的时候应该围绕主力队员甲展开，那么布阵方式可以分成两种：第一种：主力队员甲一定上场，则：（1）上场5名主力队员，有种上场方式；（2）上场4名主力队员和1名非主力队员，有种上场方式。第二种：主力队员甲不上场，剩下的四名主力队员就要全部首发，然后从7名非主力队员中挑选一个人上场，有种上场方式。最后，根据分类加法原理得：共有+·+=32种选择方式。

二、有意识地训练学生的数学思考方式

作为数学基础知识的重要组成部分，排列和组合问题在生活中的应用十分广泛，是学生在今后学习概率统计等知识的重要理论基础。逻辑推理能力是学生学习数学的重要能力之一，排列组合问题中涉及了映射、集合、方程、分类以及等价转换等多种数学思想，可以在一定程度上锻炼学生的数学逻辑推理能力，有效训练学生的数学思考能力。排列组合问题的题型多种多样，具有较强的应用性，学生在具体的做题过程中可以在一定程度上体会到数学思想方式的奇妙之处，教师可以及时从旁进行引导，循序渐进地培养学生独立思考数学问题的能力，同时激发学生学习数学问题的兴趣，让学生在学习过程中体会到学习数学知识的乐趣。

例2 一层楼梯共有10级，某人一步可以上一级或二级，如果这个人用八步走完这10级楼梯，一共有多少种走法？

这一问题是一个生活实际问题，解决起来有一定的困难，要求学生具备一定的等价转化思想，学会将复杂的问题转化成几个简单的小问题进行解决。上述问题可以转化为：把10级楼梯分成8组，每组一级或二级，可能的分法有多少种？可以先每组一级，再将剩下的两级分到这八组中的任意两组，那么就一共有=28种分法。

三、阶段性探索学生的心理发展规律

高中阶段是学生心理走向成熟的重要过程。每个人的心理发展都是由低水平逐渐向高水平发展的，连续性和有序性是学生心理发展的主要特点，在这一发展过程中，教师应该在教学过程中及时了解学生的心理特征，循序渐进地给予学生适当的数学思维方法引导，帮助学生不断地由具体思维过渡到抽象思维。除此之外，教师需要根据学生的心理发展状况，将数学知识的讲解和数学心理体系联系起来，合理地指导学生开展教学活动，激发学生学习数学知识的兴趣，进而逐渐构建起完善的数学知识结构。一般情况下，分类加法原理、分步乘法原理是解决有序排列组合问题。而对于无序的组合问题，常常会采用捆绑、插孔等技巧，这类问题相对复杂，学生可能会在学习中遇到困难，甚至会打击自信心。教师应该加强这方面的训练，帮助学生完善知识体系。

例3 初一（2）班要从6名运动员中选出4名代表班级参加4×100米接力，要求甲队员和乙队员都不跑第3棒，那么一共有多少种参赛策略？

高中阶段的学生遇到的排列组合问题往往存在一定难度，学生在解决过程中可能会遇到一些困难。教师应该在帮助学生夯实基础的同时培养学生的数学能力，只有这样，才能使其在遇到新情境问题的时候及时采取灵活的方式进行应对，进而真正实现学生解决问题能力的显著提升。