数学学习错误的教育意蕴及其分类应对（上）

山东淄博师范高等专科学校 张良朋

一

真正的数学学习，就其实际发生的过程而言，实质上是一种正确与错误相互交织、交互共进的活动。因此，从启动学习活动到最终学习成功绝非一个一蹴而就、一帆风顺的简单过程，其间正确与错误的想法和做法往往是彼此杂糅在一起，甚至会产生激烈的对抗，因而学习的进程常常表现为错与对之间的相互博弈，更多的时候需要学习者在辨识正确与错误中“摸着石头过河”。学生不仅要会品尝学习成功带来的愉悦，还要妥善应对学习错误可能带来的危机和转机。一句话，没有学习错误的学习活动是不真实、不完整、不完善的。

学生之间的差异是客观存在的。课堂教学中经常会出现有一部分学生学习成功了，另一部分学生却还深陷学习错误的泥淖。

当下一个十分普遍的事实是，要求学生在课堂上公开谈论错误是件很难且很不受欢迎的事。当学生出错时，他常常觉得自己是个失败者，是在丢人现眼。我们的调研一再表明，当学生出现学习性错误时，从其内心来讲，很不情愿将之公之于众作为“靶子”供大家指指点点，尽管这很可能使出错者本人和其他同学都深受教益。即使是教师也未必持有正确的学习错误观，他们常常视学生的学习错误为恶化教学生态、阻碍教学质量提升的洪水猛兽，因而在教学中千方百计地躲着它，不想与之发生任何关联，对犯错学生则往往报以冷嘲热讽、批评、抱怨等负面情绪——错误，常常被一些教师视作教与学的敌人，而非通向教学成功路途上的合作伙伴。

显然，无论对教师还是学生而言，都很有必要重新认识数学学习错误的教育意蕴。

二

数学学习错误的教育意蕴，至少有如下几种表现：

第一，学习错误引发的问题，往往对学生探索新知具有启发作用。

学习错误表现虽然与预期的学习目标不符，但它能触发学生深刻的反思活动，使他们的认识由混沌走向有序，由浅层走向深层，由表象走向本质，启发他们做出新的探索。现代著名科学家卡尔·波普尔认为，产生错误或者发现错误，对科学研究不是坏事而是好事，因为它是科学发展的必要前提；只有发现错误才能消除错误，从而才能提高理论的逼真度，促进科学的发展。他写道：“当认识到了它们，我们自己的错误便提供暗淡的红光，帮助我们在黑暗的洞穴中摸索出路。”波普尔进一步指出，真理与错误是不可分地联系着的，科学只能在不断清除错误中前进。为此，他提出了一个著名的口号：“从错误中学习。”所谓“吃一堑，长一智”，阐述的正是这个道理。

第二，学习错误为学生提供了进一步探究新知所需的重要材料和学习信息。

学生初步学习获得的结果是错误的，并不表明它所依据的材料本身也是不可靠的，相反这些材料可能具有特殊的学习价值。换言之，学生前期学习时所选择的错误路径或获得的不正确结果，归根结底都是对正确事实的不正确观念或错误使用引起的。通过分析学习错误的外部诱因和内在症结，学生就会从已有的材料中挖掘出更具本质意义的结论或方法，明确区分哪些是合理因素，哪些是不合理因素，哪些是关键因素，哪些是次要因素，不仅有助于认知发展，而且能提升多方面的学习素质。如在学习“三角形的内角和”时，有学生提出：“我们以前是通过把长方形沿着对角线一分为二的办法，得到直角三角形的内角和是360度÷2＝180度。那么，把一个等腰三角形沿着它的高一分为二，小的直角三角形的内角和应该是180度÷2＝90度。”尽管学生通过类比推演得出的小三角形内角和的结论是错误的，但是，他的这一错误反映了部分学生真实的思维运行状态，这为后面深入研讨“三角形的内角和”提供了十分难得的辨析材料和发展信息。

第三，学习错误可以刺激学生主动变换学习角度，从而向真知逼近。

恩格斯早就说过：“要明确地懂得理论，最好的道路就是从本身的错误当中、从亲身经历的痛苦体验中去学习。”在进行学习时，一旦发现“此路不通”，往往意味着必须另辟蹊径。顺向思考行不通，可以试试逆向思考；单纯逻辑分析行不通，可以试试数形结合；分析的思路行不通，可以试试综合的思路……通过变换学习角度，有助于学生迅速找到学习的突破口，打开学习成功的新局面。恰如大哲学家维特根斯坦曾指出的：“人们一定是从错误开始,然后由此转向真理……要让人相信真理,仅仅说出真理是不够的，人们还必须找到从错误到真理的道路。”哲学家黑格尔说得更为精辟：“错误本身乃是达到真理的一个必然环节。”学习错误的刺激功效常常能诱发独特的认识方法论价值，从而启发学习者更富成效地找到学习的突破口和崭新的进阶路径。

第四，学习错误可以促进学生整体学习素养的提高。

学生出现学习错误，原因是多方面的，有的是因为知识的缺乏，有的是能力还不够强，有的是心理素质比较薄弱，等等。从学生暴露的学习错误中能够发现他们在整体学习素养上的某些弱项，有意识地利用学习错误来有针对性地培养相关素质，正是学习错误蕴含的一个重要教育价值。也就是说，学习错误为我们的教学提供了十分重要的发展信息。比如：学生出现错误之后，往往都会出现负面情绪，产生挫败感。但是，只要教师引导得当，学习错误反而会成为培养学生积极乐观、迎难而上态度的契机。学习错误，可能正好意味着学生的发展出现了新的生长点。一直以来，不少教师都一厢情愿地为学生铺平学习道路，在学生出错之前，打好预防针，小心翼翼地保护着学生们免受学习错误的困扰。教师或家长把自己的经验告诉学生，想更好地防患于未然，然而那仅仅是一种间接经验，并不是他们亲自在实践历练中获得的经验，这样的间接经验在应对真实的实践时往往极其脆弱，不堪一击。家长的替代，表面上是帮助了孩子，迅速见到了成效，实际上是剥夺了他们在实践中获得应对错误的宝贵经验的良好机会。微软创始人比尔·盖茨坚持这样的用人原则：“我喜欢雇用犯过错的人，这表示他们能冒险。人们处理错误的方法，同时也表现出他们会如何因应改变。”被尊为“现代管理学之父”的彼得·德鲁克与比尔·盖茨的观点不谋而合：“我永远不会提拔一个从不犯错误，特别是从不犯大错误的人担任最高层的工作。”学生整体素养的有效发展不仅是由于要对抗自己内部的错误性，同时也是依靠克服自己内部的错误性加以实现的。

第五，学习错误还原了学生学习活动的真实性和复杂性。

从正确出发沿着正确的路径采取正确的方法获得新的正确——总是正确地学习，只是某些人不切实际的一厢情愿，并不符合学生的学习实情。学生经常是带着“错误认知”进入学习状态的，他们带着各种各样源自经验的成见投入到学习中，其中不乏错误的想法。如比德韦尔所说，传统的数学课堂让学生们觉得“数学乃是一切都已发现好了的”，这种严格控制下的数学教学，实际上是教师利用某种“技巧”掩藏或过滤掉了学生的学习错误，这导致学生经历的学习过程十分顺畅，看似十分成功，但实际上只能使学生的学习“踏着虚幻的舞步”，慢慢滑向学习失败的深渊。暴露、分析学生的错误表现，有助于教师全面地、有针对性地深度洞察学生学习活动的真实性和复杂性，尽可能科学地引导学生学习活动的发生发展机制，进而有效解决学生中间潜藏的学习问题，促进学生高质量地开展学习活动。

第六，学习错误触发的警醒意义让学生具备更为持久和深入的发展力量。

学习错误的出现，增加了学习活动的活力和丰富性。我们知道，错误常常与某种深刻复杂的情绪体验和认知活动体验有机地关联在一起，其所触发的警醒意义常常会使犯错者本人历久难忘，长时间地保持着对某种错误的敏感度与免疫力。正如心理学家盖耶所说：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误,就将错过最富有成效的学习时刻。”

三

根据学生在数学学习活动中所犯错误的表现形式，我们把数学学习错误分为三大类：知识性错误，认知性错误，情意性错误。

（一）知识性错误及其教学应对

知识性错误属于学习准备性错误，主要是指学生在学习准备阶段因尚不具备完成学习活动所需的必要知识和熟练技能而引发的错误，从形态上分析属于结果性错误。

知识性错误主要涵盖概念性错误和技能性错误两种类型。比如：在教学“长方形面积的计算”时，由于学生把长方形面积和周长的概念混淆，尽管他们非常积极地投入到探究活动中，无奈常常偏离学习的主攻方向，做的大多都是无用功，白白浪费了学习时间。再如：在学习“异分母分数加减法”时，如果学生对同分母分数加减法、通分、约分等必备技能掌握得还不够熟练，那么在探索新题目“=”的算理和算法时，就会不断出现令人意想不到的低级错误频繁干扰正常的学习活动。

应对知识性错误，前提是科学调研学生基础知识和基本技能的掌握情况，理清知识性错误的具体类型和成因，据此进行查漏补缺。具体的应对方法有：

第一，通过课前的复习作业或课堂上的复习旧知环节化解学生的知识性错误，为学生在新知学习中进行知识、方法的有效迁移做好准备。

第二，通过适时建立和及时查阅《学生学习错误记录档案》来化解学生的知识性错误，这样做把改错的主动权交给了学生，依靠学生自己的力量化解遇到的困难，能有效化解知识性错误给师生带来的种种困扰。

第三，通过组织针对基本概念、基本技能、常用规则的记忆和掌握等类型的学习基本功比赛，有助于学生在富含激励的竞争性氛围中积极主动地打牢学习根基。

第四，化解学生的知识性错误要不断回归到意义源头上。学生出现知识性错误，并不仅仅是一个记忆不够牢固的问题，单靠机械死记正确答案并不能真正解决问题。学生不能真正理解知识所承载的意义，可能是错误发生的更深层次的原因。教师应该引导学生从根源（意义理解）上寻找症结并做出改变。维特根斯坦有言：“洞见或透识隐藏于深处的棘手问题是艰难的，因为如果只是把握这一棘手问题的表层，它就会维持原状，仍然得不到解决。因此，必须把它‘连根拔起’，使它彻底地暴露出来，这就要求我们开始以一种新的方式来思考。”

第五，通过拓展学习途径化解学生的知识性错误。化解学生的知识性错误，有时需要一个多次“遇见”的过程。教师可以有意识地引导学生通过不同的学习路径展开复习，如课内外穿插复习、“课前快答3分钟”、有问有答小游戏等，随着学生学习路径的不断拓展，学生与某些知识会因不断“相遇”而渐渐熟悉，从而熟练地掌握这些知识。

（未完待续）