《二项式定理》经典题型品味

■山东省肥城市泰西中学 尚振褀

高考对于二项式定理主要围绕“求展开式满足条件的特定项或系数和”等展开，凸显“等价转化”、“整体思维”、“分类与整合”、“通项法”和“赋值法”等思想和方法的具体应用。

题型1——“通项分析法”求特定项或特定项的系数

例1的展开式中x5的系数是-80，则实数a=____。

解析：由特定项的系数求参数，系逆向思维问题，先写出展开项的通项公式，再参照指数和项系数列方程求解。

品味：由(a+b)n(n∈N*)型求二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，先准确写出通项再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解；求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析求解。

题型2——用“系数配对法”解决多项式乘法展开式的项

例2的展开式中的常数项是____。

解析的展开式的通项是因此的展开式中的常数项是

品味：多项式乘以二项式中求某项的系数，通用是系数配对法，即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xr-k的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加，得到xr项的系数。依据多项式乘法用分类整合思想和通项公式来求解。

题型3——求二项式系数的最值

例3设m 为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a=7b，则m=_____。

解析：(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为

题型4——求展开式系数的最值

例4已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992。(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项

解析：令x=1，则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n，又展开式中二项式系数和为2n，所以22n-2n=992，解得n=5。

(1)因为n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以T3=

品味：二项式系数最大的项与系数最大的项是不同的，二项式系数最大的项也即找中间一项或两项；展开式中系数最大的项是通过解不等式组确定r的值。

题型5——赋值法求二项展开式的系数和

例5在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_____。

解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为2n，所以2n=256，所以n=8。

所以二项式展开式的通项为Tr+1=

令=0，得r=2，所以T3=112。

品味：二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b 赋值可得到这种赋值法的应用很广泛。

题型6——赋值法求二项式的系数和

例6设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则n=。

解析：令x=1，得M=4n，N=2n，MN=4n-2n=240。

令t=2n，则t2-t-240=(t-16)(t+15)=0，故t=16=24，即n=4。

品味：赋值法，要根据二项展开式的结构特征灵活赋值，特别注意“求展开式系数和”与“求二项式系数和”的区别。令x=1得展开式的各项系数和，而二项式系数和为2n。

题型7——赋值法求部分项的系数和

例7(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_____。

解析：记(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项系数之和为A，偶数次幂项系数之和为B，则(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为aA+B。

用赋值法，令x=1，A+B=(1+1)4=24；令x=-1，A-B=(1-1)4=0，则A=32，得a=3。

品味：求部分项的系数和，通常需要二次赋值，若f(x)=(1+mx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…偶数项系数之和为a1+

题型8——用二项式定理解决整除与余数问题

例8设a∈Z，且0≤a＜13，若512012+a 能被13整除，则a=( )。

A.0 B.1 C.11 D.12

解析：由于51=52-1，所以512012=(52

又由于52能被13整除，所以只需a+1能被13整除即可。

又0≤a＜13且a∈Z，所以a=12。

品味：求余数或证明整除，先依据除数凑配，然后利用二项式定理展开，最后证明、计算。关键是对被除式进行合理变形，把它写成恰当的二项式形式，使其展开后的某些项都含有除式的因式，进而求余数或证明整除。