把握核心概念建构数学模型——《单价、数量和总价》教学与思考

鲍善军

【教学内容】

人教版四年级上册。

【教学过程】

一、谈话：直接引入

师：同学们，这节课我们一起要研究的是解决问题。

二、探究：解决问题

1．初步探究，感知购物问题中的数量关系。

出示例4（1）主题图：篮球每个80 元，买3 个要多少钱？

师：你能解决这个问题吗？

（学生独立尝试，教师巡视）

生：80×3=240（元），答：买3个要240 元。

师：回答很完整，这是一个非常好的学习习惯。

师：你是怎么想的？说说你的思考方法。

生：我是这样想的：每个篮球80 元，买了3 个，要求一共多少钱。就用每个篮球的价钱乘以买的个数，积就等于一共的钱数。

师：你们听明白了吗？谁能复述一遍？

【说明：选取教材中的问题情境，从学生已有的生活经验出发，感受“单价×数量=总价”的乘法背景，初步感知其中的含义。】

2．展开探究，理解生活情境中的数量关系。

师：刚才，我们解决3 个篮球的总钱数问题时，是用每个篮球的80 元乘以买了3 个。

师：那么，在我们日常生活中，用80×3 还能解决哪些问题？请自己编一道用80×3 解决的应用题。

根据学生回答，适时提醒，并有意识地分类板书：

（1）每组有80 人，3 组一共多少人？每组有3 人，80 组一共多少人？

（2）每个80 元，买3 个要多少钱？每个3 元，买80 个要多少钱？

（3）每小时行驶80 千米，3小时一共行驶多少千米？每分钟行驶3 千米，80 分钟一共行驶多少千米？

（4）每分钟生产80 个零件，3分钟生产多少个零件？每分钟生产3 个零件，80 分钟生产多少个零件？

……

师：看来，根据80×3 这个算式可以编出很多很多的应用题，如果老师让你们一直这样编下去，你们的感觉是？

生：（笑）太累了，而且写不完。

师：写不完，可以用什么来表示？

生：省略号。

统计学处理 采用Epidata 3.0建立数据库，SPSS 24.0进行数据整理与分析，知晓率组间比较的假设检验采用χ2检验、知晓率相关因素的多因素分析采用非条件Logistics回归分析，P<0.05为差异有统计学意义。定性访谈资料采用归纳总结的方法进行整理分析。

师：其实，我们还可以用数学的方法进行分类。

师：分类之前，我们一定要先确定好分类的什么？

生：先确定好分类的标准。

师：按照什么标准来分，这个很重要。否则，就容易分乱了。

生：我想这样分，用钱买东西的一类，行驶路程的一类，生产零件的一类。

师：你分类的标准是什么？

生：我也说不清楚，就是觉得可以这样来分。

生：我认为分类标准是生活中的问题情境，买东西的可以叫做购物问题，行驶路程的叫做……

生：我来补充，行驶路程的叫做行程问题，生产零件的叫做工作问题。

师：那么，第一种情况“每组有80 人，有3 组一共多少人？”就是乘法应用题的一般问题。

（板书：一般问题）

师：同桌交流，说一说自己编的应用题属于黑板上的哪一类问题？

【说明：通过编应用题，让学生明白“用80×3 还能解决哪些问题”，把“单价×数量=总价”置于乘法应用题的大背景中，在整体认知中进一步感知含义。】

3．深入探究，理解“单价、数量与总价”之间的关系。

师：在乘法应用题的一般问题中，每组80 人是指什么？3 组是指什么？用到了哪个常见的数量关系？

生：每组80 人是每份数，3组是份数，数量关系是：每份数×份数=总数。

师：那么，在乘法应用题的特殊问题中又有着怎样的数量关系呢？我们继续来研究。

出示例4（2）主题图：鱼每千克10 元，买4 千克要多少钱？

师：先想一想，这是属于哪一类问题？请独立解决。

（学生独立尝试，教师巡视）

生：这是购物问题。10 元是每千克鱼的价钱，4 是买了多少千克。10×4=40（元）。答：买4 千克鱼要40 元。

师：这两个问题中的数学信息有什么共同点？

生：都是购物问题。

生：都是已知每个商品或每千克商品的价钱和买了多少，求一共的钱数。

师：像这样，“每个篮球的价钱”“每千克鱼的价钱”都是指单位数量商品的价钱，叫做单价。什么叫做单价，我们一起读一读。

师：你能举例说明什么是单价吗？

（学生举例）

师：是的，这些都是指商品的单价。请同学们拿出数学书，看看封底，数学书的单价是多少？

生：是7.43 元。

师：每个篮球的价钱、每千克鱼的价钱，还有生活中每本书的价钱、每张桌子的价钱、每吨水的价钱、每套衣服的价钱等等，都是单位数量商品的价钱，也就是商品的单价。买了多少，叫做数量。一共用的钱数，叫做总价。

师：我们来找一找黑板上这些购物问题中的单价、数量与总价。

师：从上面的例子中，你们发现单价、数量与总价之间有着什么样的关系？你能用一个等式来表示吗？

生：单价×数量=总价。

师：单价、数量和总价三个数量之中，已知单价和数量，可以求出总价。那么，已知其他两个量，怎样求出第三个量？

生：已知单价和总价，求数量：总价÷单价=数量。

生：已知数量和总价，求单价：总价÷数量=单价。

师：同桌交流：选择屏幕上两道问题中的一个问题，改编成一道“求单价或数量”的应用题，一个说，另一个判断：已知什么和什么，求什么。

【说明：把握“单价”这一核心概念，在两个具体生活情境的比较中归纳并抽象出单价、数量和总价的含义，建构基本模型。再通过改编应用题，让学生进一步积累解决问题的经验，对数学模型建立完整的认知。】

三、应用：固学练习

1．解决问题，并说说：已知（ ）和（ ），求（ ）。

（1）每套校服120 元，买5 套要用多少钱？

（2）学校买了3 台同样的复读机，花了420 元，每台复读机多少元？

（3）小足球每个30 元，用75元可以买几个小足球？

2．知识关联，理解常见数量关系之间的联系。

师：刚才我们运用单价、数量和总价之间的关系解决了实际问题。那么，单价、数量和总价与一般问题的数量关系进行比较，你能用（ ）相当于（ ）来说一说吗？

生：单价相当于每份数，数量相当于份数，总价相当于总数。

生：我还知道单价相当于速度，数量相当于时间，总价相当于路程。

师：我们学习了一般的乘法问题，今后我们还会学习到其他的特殊问题，应用到更多的特殊数量关系，它们与一般的“每份数×份数=总数”这个数量关系都有着非常密切的联系。

【说明：应用模型解决实际问题之后，进行知识关联，沟通起常见数量关系之间的联系，并发现“单价×数量=总价”数量关系与乘法一般问题中的“每份数×份数=总数”本质相同，在整体认知中建立数学模型。】

四、回顾：总结提升

师：这节课，我们是怎样学习的？你有哪些收获或感受？

【课后反思】

郑毓信教授指出：“通过数学学会思维，并非是指想得更快、能够与众不同，而是指我们如何促使学生积极地进行思考，并逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”《单价、数量和总价》如果仅从问题解决的角度而言，即使课堂上不教学，学生照样可以解决问题。为此，笔者并没有照本宣科，简单处理，而是把握“单价”这一核心概念，将其置于乘法应用题的大背景中，结合学生以往的学习经验，寻找到更多的相似模型，由简到繁；再在观察比较众多生活情境问题之后，通过知识关联“（ ）相当于（ ）”，明白这些数量关系虽然名称不同，但关系本质相同，由繁到简，在深度学习中帮助学生提升经验，实现从“生活经验的理解”到“数学含义的理解”的过渡。

数学学习基于生活，又高于生活；课堂教学基于教材，却不能限于教材。让学生在整体认知中经历将生活中的具体问题抽象成数学模型的过程，并经历将抽象的数学模型应用于解决具体问题的过程，由此建立的模型化的数学思想方法，将会使学生印象深刻，也正是学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的关键能力。我们应当帮助学生构建这种学生需要的学习经历，让不可或缺的课堂学习更有意义、更有价值。