“两问”《常见数量关系》的教与学

范祥富 吴健敏

【摘要】“数学学习基于生活，高于生活。”因此，数学教学应对一些常见的数学关系进行适时的提炼与归纳。在数量关系的学习上，苏教版实验教材没有单列成一节新课来呈现，只在练习题中由教师引导学生抽象概括。修订版教材在整数四则运算教学的结束阶段安排常见的数量关系的学习内容。这样的编排既符合《标准（2011）》的新要求，又为学生研究数量关系提供了更丰富的材料，增加了经历体验数量关系提炼、归纳与应用的机会，是非常及时合理的。

【关键词】数量关系 单价 数量 总价 速度 时间 路程

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）33-0166-02

一、教学设计及实录

1.教学内容

苏教版数学四（下）第28～29页例2、例3和“练一练”，练习五5～11题。

2.教学目标

（1）使学生经历从现实问题中抽象出数量关系的过程，掌握“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”等常见的数量关系，能应用这些数量关系解决一些实际问题。

（2）使学生在解决问题的过程中，适时对这些数量关系进行抽象概括，建构形式化的数学知识，发展学生用数学的眼光观察日常生活现象的意识和能力，发展数学思维。

（3）使学生在参与学习活动的过程中，获得学习成功的体验，提高学习的兴趣，培养良好的学习习惯。

3.教学重点、难点

理解并掌握常见的数量关系

4.教学准备

多媒体课件

5.教学过程

探索交流，学习常见的数量关系。

（1）教学例2

1）谈话导入

师：在我们的生活中会遇到很多的实际问题，今天的研究就从购物开始（出示例题情境图）。

2）整理条件

师：情境图中告诉我们商品的单价和数量分别是多少？

生1：钢笔的单价是每支12元，数量是4支；练习本的单价是每本3元；数量是5本。

3）认识复合单位

师：钢笔的单价每支12元可以表示成12元/支，怎么读呢？

生（看课件齐读）：12元每支。

师： 12元/支什么意思？

生2：就是每支钢笔的单价是12元。

师：你会像这样把练习本的单价写一写吗？请写在练习本上。与老师课件相同的，请用规范的坐姿告诉我。怎么读呢？

生3：3元每本。

4）学习单价、数量、总价之间的数量关系。

师：既然知道了商品的单价和数量，你会先填写商品的单价和购买的数量，再分别求出总价吗？请独立完成教材28页的表格。

师：谁来回答？

生4：钢笔单价是12元每支，数量是4支，总价是48元；练习本的单价3元每本，数量是5本，总价是15元。

师：请同学们用“数学智慧眼”来观察这个表格，钢笔和练习本告诉我们的已知条件是不是相同？问题呢？

生5：都告诉我们單价和数量，都要求总价（板书：单价、数量、总价）

师：再想想，你们刚才在求总价时都用什么方法？

生：都用乘法

师：单价、数量、总价之间有什么关系？你能用一个式子来表示吗？

生6：单价×数量=总价（完善板书）

师：此处应该有掌声。他能用一个式子来表示这三者量之间的关系。真好！

师：如果已知总价和单价可以求什么，怎样求？如果已知总价和数量可以求什么，怎样求？

生8：总价÷单价=数量 总价÷数量=单价

师：你能举一个生活中的例子吗？

生9：我用10元钱买同样的练习本，每本2元，可以买几本？我用10元钱买了5本同样的练习本，每本几元？

师：同意吗？

【说明：教学常见数量关系的意义不仅在于让学生记住“单价、数量、总价”这一组数量之间的关系，了解复合单位的表示方法。更在于引导学生经历从解决具体问题的过程中抽象、概括出其共同的、本质的数量关系，并用单价×数量=总价这一关系表示出来。教学时教师不仅为学生呈现了两道例题，还让学生举生活中的例子，并把教学的着力点放在引导学生比较同一类数量关系的相同点上，使学生切实经历抽象与概括的过程，在这一过程中初步感悟一些基本的数学思想，积累相应的数学活动经验。】

（2）教学例3

认识速度。

师：请一位同学来当新闻播报员，播报一下这两条信息。（出示例3情境图）

生1：一列和谐号列车每小时行260千米；李冬骑自行车每分行200米。

师：每小时行260千米，每分行200米。这样的量也可以像单价那样用复合单位来表示，你会吗？

生2：260千米/时；200米/分

师：260千米/时，200米/分。分别表示什么？

生3：260千米/时表示列车每小时行260千米；200米/分表示李冬骑自行车每分行200米。

师：像这样的量还有：声音在空气中的传播速度是340米/秒；小明的步行速度大约是60米/分；小轿车此时的速度是100千米/时；这段高速公路的限速是120千米/时

师：刚才这些每秒行多少米、每分行多少米、每时行多少千米等，单位时间内行驶的路程，人们把它叫做什么？

生4：速度（板书）

师：和速度有关的量是什么？

生：时间和路程（板书）

师：这三者量之间又有怎样的关系呢？

生5：速度×时间=路程（板书：速度×时间=路程？）

师：是不是这样呢？我们举几个例子来证明一下。请你先填写和谐号列车与李冬骑自行车的速度，再分别求出行驶的路程（29页的表格）

生6：列车的路程是260×3=780（千米） 自行车的路程是200×8=1600（千米）

师：通过刚才的两个例子我们验证了速度、时间、路程三者量之间的关系。已知路程和速度，可以求什么，怎样求？已知路程和时间呢？

生7：已知路程和速度，可以求时间，路程÷速度=时间。

生8：已知路程和时间呢，可以求速度，路程÷时间=速度。

师：你们会举例说明吗？

【说明：由于速度的概念比较抽象，教师在引导学生理解“速度”的含义时，不仅结合教材具体的例子，还提供声音的速度、小学生的步行速度、小轿车的速度、高速公路的限速等帮助学生理解。告诉学生速度是表示单位时间内行驶的路程，可以用每时、每分或每秒行的路程来表示。揭示“路程、速度、时间”三者量的关系时，教师结合具体的实例，引导学生在填表、分析、比较、讨论等活动中去概括，使学生经历由具体到抽象的学习过程。为了深化对数量关系的理解，教师让学生举符合这一关系的例子，由抽象再回到具体中。

教材将数量关系归纳为“总价=单价×数量、路程=速度×时间”，根据题中已知条件和问题之间的关系，学生提炼归纳得出“单价×数量=总价、速度×时间=路程”是“水到渠成、顺理成章”。】

二、教后反思

“数学学习基于生活，高于生活。数学学习不仅仅是解决生活问题，更主要是基于现实问题的解决过程，从中习得数学知识与技能，体会数学思想方法的应用，积累数学学习的基本活动经验，最终形成良好的数学素养”。因此，数学教学应对一些常见的数学关系进行适时的提炼与归纳。在数量关系的学习上，实验教材没有单列成一节新课来呈现，只在四年级下册第一单元《三位数乘两位数》教师用书的“旁注”中提醒教师引导学生抽象概括。

与实验版教材相比，修订版教材明显加大的力度，在整数四则运算教学的结束阶段安排常见的数量关系的学习内容，引导学生对已經掌握的数量关系进行抽象概括，进而从更抽象的层面上去理解所学知识，既是培养学生分析和解决问题的能力、提高数学思维水平的需要，也是学生进一步学习和生活的需要。除了“单价、数量、总价；速度、时间、路程”数量关系的学习外，还在习题中出现“工作效率、工作时间、工作总量”这三者量之间的关系让学生感知。这样的编排既符合《标准（2011）》的新要求，又为学生研究数量关系提供了更丰富的材料，增加了经历体验数量关系提炼、归纳与应用的机会，是非常及时合理的。但是，笔者在教学过程中有两个疑惑，借此提出与教材编辑老师和同行商榷。

一问：教材为什么要将数量关系式归纳为“总价=单价×数量；路程=速度×时间”这种表现形式？

在教学单价、数量和总价，速度、时间和路程的关系时，教材分别呈现了两道已知单价和数量求总价、已知速度和时间求路程的问题。依据解决实际问题列出的算式，体会单价、数量和总价，速度、时间和路程的关系，根据已知与未知间的关系，学生很容易提炼归纳出：“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”这样的数量关系。教材为什么要概括成：

难道是因为：（1）为了与《标准（2011）》表达方式相一致？《标准（2011）》在〈课程内容〉第二学段中提到“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。”笔者认为如果是这个目的，大可不必。因为“由因导果”远比“执果溯因”更适合学生的思维。（2）为了方便学生推理已知总价和单价求数量、已知总价和数量求单价；或者已知路程和时间求速度、已知路程和速度求时间？笔者认为如果是为了推理相应的另两个数量关系式，有两条线索。一条是通过解决实际问题来得出（就像教学实录中让学生举例）。另一条是根据除法与乘法的内在联系来推理（已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数。即：积÷一个乘数=另一个乘数），从这个角度出发也应该是“单价×数量=总价、速度×时间=路程”这种表现形式更适合学生。

二问：教材为什么不给这6个量下定义？

把实际问题里的具体数量抽象成单价、数量、总价或者速度、时间、路程等

概念。这是形成常见数量关系十分重要一步。如果不抽象出或者不理解这些概念，就难以形成概括的数量关系。在这六个量中“数量”“时间”学生容易题解和识别，而“单价”“速度”等概念却较难形成。教材通过举例来讲述：

单价每支12元可以写成“12元/支”，元/支读作元每支。

每小时260千米、每分200米是速度。

虽说这些联系实例的讲述有助于学生形成概念，但这些实例学生并不陌生，在以往的学习中早有接触，多数有经验的教师在前面的教学中已结合实例向学生指明。而用规范的语言来描述概念有助于学生理解概念的内涵与外延，特别是在整数四则运算教学的结束阶段来学习常见的数量关系，更有必要让学生切实掌握清晰的概念。人教版是这样编排的：

这样的编排是不是更有利于学生的后续学习？

以上两问谨是笔者的拙见，若有不妥之处，肯请教材编辑老师、同行多多指教。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.

[2]义务教育教科书教师教学用书（苏教版四年级下册数学）.

[3]义务教育教科书教师教学用书（人教版四年级上册数学）.