探究中显理性思维 直观下揭数学本质

任静 祝峰

摘 要：数学高考以素养为导向，强调理性思维的考查.在探究2019年天津卷第8题的过程中，可以表现出学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养，能感受数学的理性思维.本文利用几何直观揭示问题的数学本质后对其作不同变式，以发散思维锻炼问题解决能力.

关键词：试题赏析;试题探究;试题变式

作者簡介：任静（1986-），女，安徽濉溪人，本科，中学二级教师，研究方向：高中数学课堂教学;

祝峰（1974-），男，安徽濉溪人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学课堂教学.

1 问题提出

2016年，教育部考试中心开始高考评价体系的研究工作，明确了“立德树人，服务选材、引导教学”的核心功能，“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”的考查目标和“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求，即“一核四层四翼” [1][2].高考评价体系中确立学科素养为考查目标，标志着中国高考正实现从能力立意到素养导向的历史性转变[3].《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[4].这些数学核心素养既相互独立又相互交融，是一个有机整体，是数学课程目标、数学育人价值的集中体现.数学学科高考对课程标准中的数学核心素养进行抽象和概括，提出了高考数学的学科素养目标，包括理性思维、数学应用、数学探究、数学文化四个方面.与课程标准中的核心素养相比，高考数学的学科素养更符合教育测量规律，更具有高考特点，更利于实现高考的教育、评价和导向功能[5].

通过对具体高考试题的赏析、探究及变式，体会高考试题对课程目标和高考考查目标中的核心素养、学科素养的考查方式和重点，对强化高考备考复习的针对性，提高复习效率应有所帮助.本文以2019年天津卷理科第8题为例，在论证过程中体会对学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养等方面的考查要求;在借助几何直观揭示数学问题的本质后，对问题进行适当地变式，以期在教学中发散学生的数学思维，提升问题解决能力.

2 试题呈现

题目 （2019年天津卷理科第8题）已知a∈R，设函数f（x）=x2-2ax+2a，x≤1，x-alnx，x>1，若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（ ）.

A.[0，1]  B.[0，2]  C.[0，e]  D.[1，e]

3 试题欣赏

试题在函数情境下，以导数、函数性质、不等式知识为载体，在基础知识交汇处精心设计.不等式恒成立是常规题型，构思于分段函数之上，围绕高中数学内容，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用展开，独具匠心，别有一番新意.考生需整合自身基本活动经验，在分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想引领下，发现问题的关键、提出等价问题，作出认真分析，去除非本质因素，通过几何直观，才能最终接近并揭示问题的数学本质.

在素养导向视角下审视这道试题，对考生核心素养予以全面考查.数学抽象现于“特值检验”“构造等价问题模型”;几何直观下的“数形结合”;“分类讨论”中严密的逻辑推理;参数和变量混合处理过程的数学运算和数据分析，巧妙地把内隐于考生思维品质的数学素养外显于可视的解题行为中.

试题情境熟悉平和，条件简单清晰，表达言简意赅，构思巧妙，有效规避“题型”“套题”.在核心素养导向下，以能力立意，注重数学本质、通性通法、淡化解题技巧，在朴实中重“四基”，常规中考“四能”.此题在2019年高考数学试题中独树一帜，对高考备考有引领示范作用，亦是教学中提升学生核心素养的贴切范例和难得的素材.

4 试题探析

4.1 特值排除

解法1 若a=0，f（x）=x2，x≤1，x，x>1.此时不等式f（x）≥0在R上恒成立，排除D;

若a=e，当x≤1时，f（x）=x2-2ex+2e，注意到此时f（x）≥f（1）=1>0，不等式成立;

当x>1时，f（x）=x-elnx，f ′（x）=1-ex=x-ex，所以f（x）在（1，e）上单调递减，在[e，+∞）上单调递增.所以f（x）≥f（e）=e-e=0，故a=e时成立，排除A，B，故选择C.

评析 从应试的角度看，上述过程简便、快捷、准确，俗称“特值法”“排除法”.这是由客观题的形式所决定的一种探究过程，通过特例归纳，获得合情结论.这是数学抽象核心素养最朴素、最原始的表现，但并不是说“特例归纳，获得合情结论”是低能级的抽象素养表现，它是数学抽象的开始，是抽象素养的一种高水平的表现，是揭示复杂问题情境中数学本质的有效手段.相信命题团队在这个问题的设置上定有考查学生这方面抽象素养表现的考量.

4.2 分段讨论

f（x）≥0在R上恒成立等价于：“x≤1时，x2-2ax+2a≥0恒成立”且“x>1时，x-alnx≥0恒成立”，下面分别予以讨论.

4.2.1 x2-2ax+2a≥0在（-∞，1]上恒成立

思路1 二次函数模型

方法1 考查二次函数f（x）=x2-2ax+2a，x∈（-∞，1]，只需f（x）min≥0.

当a≥1时，f（x）min=f（1）=1>0，符合f（x）≥0;

当a<1时，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2a≥0，得0≤a≤2，故0≤a<1.

综上所述，a≥0.

评析 二次函数是高中数学最重要的一个函数，其与二次不等式、二次方程密切相关.二次不等式在x∈（-∞，1]恒成立转化为二次函数给定区间求最值问题，由于对称轴不确定，导致需分类说明.

思路2 分式函数模型

x=1时，不等式化为1≥0，此时a∈R.

x<1时，不等式等价于2a≥x2x-1，设g（x）=x2x-1，只需2a≥g（x）max.对于g（x）max的求解，可作如下不同考虑：

方法2 （利用基本不等式）g（x）=x2x-1=x2-2x+1+2x-2+1x-1=（x-1）+1x-1+2.

因为x-1<0，所以g（x）=（x-1）+1x-1+2≤-2 （x-1）×1x-1+2=0，当且仅当x=0时取等号.

所以g（x）max=0，即2a≥0，故a≥0.

方法3 （利用二次函数）当x=0时，g（x）=0;

当x≠0时，g（x）=11x-1x2，x∈（-∞，0）∪（0，1]，所以1x∈（-∞，0）∪[1，+∞）.

视1x-1x2为1x的二次函数，有1x-1x2∈（-∞，0]，故g（x）≤0，可见g（x）max=0，所以a≥0.

方法4 （利用導数）因为g′（x）=x（x-2）（x-1）2，所以g（x）在（-∞，0）单调递增，在[0，1）单调递减，所以g（x）max=g（0）=0，即a≥0.

方法5 （整体观察）注意到x2≥0，x-1<0，所以g（x）≤0，所以a≥0.

评析 把x视为变量，a视为参数，把参数和变量分离到不等号的两边，转化为2a≥x2x-1，俗称“参变分离”.把恒成立不等式问题转化到一个固定函数最值的求解，从而避开了分类讨论.对函数g（x）=x2x-1最值的求解，方法多样，如上所述.

4.2.2 x-alnx≥0在（1，+∞）上恒成立

方法1 （利用条件所给函数）只需f（x）min≥0，f（x）=x-alnx，x>1，则f ′（x）=1-ax=x-ax.

当a≤1时，因为f ′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）为增函数.所以f（x）>f（1）=1>0，即a≤1符合条件;

当a>1时，因为f（x）在（1，a）单调递减，在[a，+∞）单调递增.所以f（x）min=f（a）=a-alna≥0，解得1

综上所述，x>1时，x-alnx≥0恒成立，有a≤e.

方法2 （参变分离构造新函数）当x>1时，x-alnx≥0等价于a≤xlnx.

令φ（x）=xlnx，只需a≤φ（x）min.

而φ′（x）=lnx-1（lnx）2，可见，φ（x）在（1，e）上单调递减，在[e，+∞）单调递增，故φ（x）min=φ（e）=e.

所以a≤e.

方法3 （构造两个函数）原不等式等价于x≥alnx，x∈（1，+∞）恒成立，只需直线y=x在y=alnx的图象的上方.

当a≤0时，显然不等式成立;当a>0时，直线y=x与y=alnx的图象相切时（如图1），设切点为（x0，alnx0），此时x0=alnx0，ax0=1，解得a=e，所以a≤e.

综上所述，a∈[0，e]，选择C.

评析 不同视角下，有不同的解决思路.思路1参变混合求解，a与区间（-∞，1]的关系不确定，是导致讨论的原因.为避开讨论，思路2进行了参变分离，而思路3是基于几何直观考虑，给抽象的数学问题几何直观，以揭示问题的数学本质.

4.3 借助几何直观

解法3 对函数y=x2-2ax+2a，x∈（-∞，1]与y=x-alnx，x∈（1，+∞），在同一坐标系内，分别作出它们的图象.

对于函数y=x2-2ax+2a的作图需关注对称轴位置以及在y上的截距;对于函数y=x-alnx，x∈（1，+∞），则需通过导数确定其单调性并注意其极值的符号，通过对a的取值范围不同进行讨论，可得不同情形下，函数f（x）的简图（如图1-7，行文需要，具体讨论不再赘述），从函数f（x）简图可见，图2，3，4，5，6均符合条件，可见a∈[0，e]，选择C.

评析 直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养[4].直观想象是数学抽象或数学建模的基础.在复杂的情境中，通常需要通过直观想象对问题进行分析，探寻问题的本质，在通过数学抽象或通过数学建模将其转化为具体可解决的数学问题;在复杂的逻辑推理或数学运算中，也需要运用直观想象来理清逻辑推理或数学运算的思路，探寻逻辑推理或数学运算的方向和路径，将复杂问题简单化[6].分类讨论中展示的是严密的逻辑推理过程，通过分析参数a的不同范围取值对函数的影响，分别作出各种情形下的简图.把不等式f（x）≥0在R上恒成立直观化为函数图象不出现在x轴的下方，从各种情况下的图象可直观地遴选出符合条件的情形，达到了对问题本质揭示的目的.

5 试题变式

5.1 条件不变，改变设问方式

对题目条件中所列函数，可以提出以下问题：

变式1 已知a∈R，设函数f（x）=x2-2ax+2a，x≤1，x-alnx，x>1，解决以下问题：

（1）若函数f（x）在R上无零点，则a的取值范围为;

（2）若函数f（x）在R上有唯一零点，则a的取值范圍为;

（3）若存在x0∈R，使不等式f（x0）<0成立，则a的取值范围为;

（4）若关于x的方程f（x）=0在R上有两符号相异的根，则a的取值范围为;

（5）若关于x的方程f（x）=0在R上有两符号相同的根，则a的取值范围为.

5.2 改变函数的分段点位置

条件中所给函数以x=1为界分为两段，若改变函数的分段点，这个问题则是另一番情境，可以通过几何直观揭示函数本质特征后设置相类似的问题.

变式2 已知a∈R，设函数f（x）=x2-2ax+2a，x≤0，x-alnx，x>0，解决以下问题：

（1）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为;

（2）若关于x的不等式f（x）>0在R上恒成立，则a的取值范围为;

（3）若函数f（x）在R上有三个零点，则a的取值范围为;

（4）若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围为;

（5）若存在x0∈R，使不等式f（x0）<0成立，则a的取值范围为.

在不偏离条件函数的基础上，还可以对函数做多种不同的变式，比如函数可变式为f（x）=-x2+2ax-2a，x≤1，x-alnx-2，x>1，此时，亦可以先通过直观把握清楚函数的特征，再设计相关的变式问题，但需注意，有些问题已经没有意义了，比如关于x的不等式f（x）≥0在R上不可能恒成立.

6 结束语

高考的命题往往高屋建瓴，立意高，入口宽，落点低.作为数学教师，要善于思考，积极探究，了解试题的背景，挖掘试题的本质，才能居高临下的教学.特别是高考备考复习，要首先全面学习基础知识，不要存在任何侥幸心理，不要根据前一年试题盲目推断当年哪项内容不考、哪项内容必考.把握恰当的教学节奏，不能只灌输难题、反复刷题，应留给学生思考的时间和空间.教师应通过全面的复习教学，使学生了解知识发生、发展和应用的过程，掌握解决问题的工具;教师要教会学生发现知识间的有机联系，使学生能够综合运用知识灵活解决问题[7].教学过程应依据具体问题的特征，精心设计教学内容，培养学生素养.提高学生解决问题的能力，才是教学最重要的目的.

参考文献：

[1]姜钢.探索构建高考评价体系，全方位推进高考内容改革[J].教育革新，2016（10）：1.

[2]于涵.不忘初心 推进新高考改革 面向未来 构建现代化考试[J].中国高教研究，2018（03）：17-23.

[3]任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考，2018（13）：1.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[5]于涵，任子朝，陈昂，赵轩，李勇.新高考数学科考核目标与考查要求研究[J].课程·教材·教法，2018，38（06）：21-26.

[6]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

[7]任子朝，赵轩.突出基础性综合性，发挥区分选拔功能——2018年高考数学函数试题分析[J].中国考试，2018（11）：62-65.

（收稿日期：2019-09-05）