换热器管程流动诱发的管路横向振动特性计算*

苏 风 王跃方

（1.航空工业直升机设计研究所;2.大连理工大学;3.工业装备结构分析国家重点实验室）

0 引言

压缩机管壳式换热器是化工工艺过程离心压缩机的专用换热装置，用于在级间冷却压缩工质，降低其下一段（级）的进口温度，提高压缩效率[1]。从结构上看，冷却器内部装有大量的细长薄壁金属管。每根管子两端固定于管板上，中间用与壳体相连的折流板加以支撑，形成多跨结构。对于冷却工艺而言，提高换热效率要求尽量地增加管内流体的进口速度，但流速越高，流体对管子的冲击就越大，有可能诱发换热管的有害振动。事实上，换热管的传热强化与减振、抑振的两种需求是一对矛盾。此类问题也可出现在管内流体与管外流体进行热交换的其他设备上，成为设计人员必须解决的问题。

流动工质带来的换热管振动属于流致振动，按激励来源可分为由管子外部流场（壳程流场）诱发的振动和由管子内部流场（管程流场）诱发的振动两种形式。迄今为止，学术界对壳程流场导致的流致振动进行了大量研究，成果较为丰富并已进入工程实用[2-4]，设计人员有较大的把握避免换热管的激振。对于管程流场引起的内流激振问题，学术界虽已取得了一些成果，但它们大多针对输油管线、供水管等大型充液管道，面向压缩机换热器的细长、柔性管的研究为数很少。在理论方面，知名学者Paidoussis及其合作者对充液管道的流致振动研究做出了奠基性贡献[5]，通过对管道结构及流动的动力学建模，将管程流速与管道弯曲振动响应的稳定性联系起来，从而在本质上揭示内部流场的激振原理。后续代表性研究可见Blevins[6]、Paidoussis[7]、Naudascher[8]等的国外专著以及国内学者钱颂文等人的专著[9]。在换热管振动的建模和分析方法上，姚煜中用有限元方法推导出了考虑轴向、横向以及扭转振动的直管的流固耦合振动方程，对流体传输动力学进行研究[10]。针对管程流体，赖永星建立了内流激发下管的振动方程，定义了管内流离心力对固有频率影响的折减系数，讨论了管内流体对管束固有频率的影响[11]。刘敏珊等用传递矩阵法对列管式换热器的动态特性进行了研究，计算出了多跨管的固有频率以及振型，但未考虑流体的流速效应[12]。刘恒彤综述了输液管道振动的求解方法：Galerkin法、有限元法、DQ法、动力刚度传递矩阵法、精细积分传递矩阵法、模态分析法等[13]。

学术界为阐释管束激振原理开展的流固耦合分析是十分必要的。然而，全三维流固耦合分析需要把管程流体、壳程流体和管结构都进行离散化，在时域的每个时间点上进行流固两场间的双向迭代直到收敛[14-15]。实施这个过程要耗费大量的计算资源、计算时间和人力资源，如果考虑管子的非线性振动特征[16]，工作量还将增大。对于容器设计人员而言，基于流固耦合的分析效率很低，工程上难以承受。从提高设计效率的需求出发，本文基于多跨梁经典理论，采用传递矩阵法计算了换热管在管程流体作用下的横向振动自振频率，得到了使振动失稳的临界流速。结果表明，传递矩阵法的实施过程简便，分析精度达到了工程要求，可以在设计中得到使用。

1 换热管横向振动力学模型

换热管的两端固定在管板上，中间折流板的支撑相当于在管上加了多个简支支撑的约束，因此，可以将换热管简化为两端固定、中间简支的多跨梁。图1给出了其中一跨的管结构力学模型示意图。根据小变形弹性力学假设，管子的空间振动可以解耦为在横截面内沿oy和oz两个方向上的横向位移，它们的运动规律是相同的。不妨以oz方向上的位移w(x,t)为对象推导动力学方程。由振动力学理论，可以导出均质平面Euler-Bernoulli梁的自由振动微分方程[17]。

图1 单跨换热管力学模型Fig.1 Mechanical model of a single span heat exchange tube

其中，x是轴向坐标;t是时间;ws是换热管固体的横向位移;wf是同一位置处管程流体的横向位移;m1是流体的线密度;m2是换热管材料的线密度;E是管材料的弹性模量;I是管子的横截面惯性矩。对于流体而言，其基于Euler描述的加速度可以写成

其中v是管程流速。假设此流速不变，则式（1）变为

其中，w=wf=ws是横向振动位移。上式中各项分别对应着结构—流体受到的瞬时惯性力、离心力、科氏力和弹性恢复力，而振动的定解归结为非自伴算子系统的特征值问题。由于非自伴系统的能量没有守恒性，因此结构可以在一定条件下失稳，表现为振动从小幅周期运动发展成大幅振动响应。由此式还可看出，速度对离心力的影响最大，当速度值大到一定程度就会引起管道的失稳。科氏力由流体相对运动产生，与流速成正比，会使结构频率有所下降，但幅度不大，为了减轻工程计算难度，忽略此项得[5]

设分离变量后的位移解为

代入（4）后可得模态方程

其通解为Y=Acoshλx+Bsinhλx+Ccosλx+Dsinλx。对于单跨梁模型，设当x=0时模态空间内的位移、转角、弯矩和剪力分别为Y=Y0,θ=θ0,M=M0,Q=Q0，通过推导可得模态函数中的待定系数

由此确定了自由振动的模态位移和内力

式中

2 多跨换热管振动特性的传递矩阵解

本文采用实施过程较为简便的传递矩阵法求解换热管在管程流体激振下的动力学特性问题[18]。由（9）得到同一跨梁自左向右的状态传递关系，即场传递关系为：

其中上角标T表示向量的转置，

为场传递矩阵。对于多跨梁结构，记其第i跨梁的首节点编号为i，尾节点编号为i+1，则上述传递可写作

式中L和R分别代表同一个节点的左、右端面。对于第i跨梁，设由折流板或管板提供的支撑刚度系数为ki，一般取为108N/m。首节点i的右端面与其左端面的状态存在传递关系

为点传递矩阵。综合式（12）、（13），可得管结构自最左端到最右端的状态传递矩阵为

其中N代表节点总数。将（14）改写成一步递推公式

其中系数阵的每个元素都是待求自振频率ω的函数。对两端固定在管板上的换热管，边界条件为由此得到满足边界条件的频率方程，

上式是关于ω的非线性超越方程，可使用MATLAB语言编程，采用二分法迭代求出数值解。由于工程上只关心一阶自振频率，计算（16）的根的工作量远小用有限元法建模和求解的工作量。实际上，在工程设计时甚至可以不直接求解（16），而是利用MATLAB PLOT函数，通过观察f(ω2)在一定频率范围内的正负号变化，就可大致地预估换热管的一阶固有频率。

3 换热管自振频率及稳定性分析算例

以某原水加热器中的一根换热管为例，分析管程流动对管子横向振动的影响。分别对跨间距为1.2m，数量分别为单跨、两跨和三跨的换热管开展了自振频率分析。在算例中，换热管材料的线密度为0.377kg/m，管程流体的线密度为0.154kg/m，换热管的抗弯刚度为266Nm2。在流速为0的情况下，分别采用ABAQUS软件和传递矩阵法计算了横向振动自振频率。有限元计算采用的是附加质量法，即将流体质量等价为管材密度。在划分管子网格时使用了实体单元。

表1对比了用两种方法求出的换热管前五阶自振频率。可以看出，两种方法得到的解相差很小。由于传递矩阵法采用了经典梁理论，管子的弯曲变形服从平截面假定，与有限元法采用的实体单元相比更为“刚硬”，因此频率值偏大，这与表中的结果相吻合，说明传递矩阵法的计算精度满足要求。

表1 有限元方法与传递矩阵法的频率分析结果（单位：rad/s）Tab.1 Natural frequency solutions via the finite element method and transfer matrix method （unit：rad/s）

以下研究换热管因管程流体激振的频率变化，以及运动失稳问题。换热管的固有频率会随着管内流度v而变化，流速的增加会使结构的固有频率降低。当流速v增长到临界值时，结构的第一阶固有频率降低为0，这意味着管的横向振动是随时间发散的失稳运动。如果继续增加流速，则需改用非线性动力学理论，考虑几何非线性效应，研究薄壁换热管在失稳后的振动响应。不过，工程人员通常不允许换热管出现大位移、大转角运动，只要分析出线性振动失稳的临界值，并使管程流速远低于该值，就可以保证响应处于小振幅状态，避免有害振动的出现。

图2 换热管一阶固有频率随管程流速的变化Fig.2 Fundamental frequency of heat exchange tube with varying tube-side velocity

图2给出了换热管的一阶频率随管程流体流速的变化关系。从流速为0开始，使用前述的传递矩阵法分别计算了单跨、两跨和三跨换热管的一阶自振频率。可以看到，对于所有模型，结构的一阶自振频率均随流速增加而减小。三跨梁模型的临界失稳流速尽管是最小的，但也达到了133.7m/s。就这个特定的算例而言，可以认为管程流动对横向振动的贡献很小，不会使其失稳。在设计时，可以把流体简化为管材的附加质量，忽略流速对自振频率的影响。

4 结论

压缩机级间冷却器的换热管一般为细长、薄壁圆管，可能在内部管程流动的激励下发生危险横向振动，因此，在容器设计时应该校核因管程流速引起的自振频率，提高失稳临界流速。此类问题本质上属于结构—内流场间的相互作用，但为提高工程设计效率，不宜采用耗时、耗力的流固耦合分析技术。使用多跨梁模型的传递矩阵法，可以确定换热管在管程流体作用下的横向振动自振频率，预测失稳临界流速，方法的实施过程简便，易于编程，分析精度满足工程要求。对那些管径较小、刚度较大的换热管，其失稳临界流速往往很高，在设计时可以将管程流体等价为管材的附加质量，从而提高分析效率。