几何体的外接球问题

吴清清

今年是福建省使用全国卷的第三年，综合这几年的全国卷与福建卷的对比来看，还是有些差异的.其中立体几何在全国卷中比较稳定，基本是“两小一大”，一道大题基本是考查平行垂直空间角，一般第一步用传统解法，第二步用空间向量解法.小题一般有关三视图、组合体问题等.其中球与其他组合体的接切问题是全国卷与之前福建卷的一大区别，之前福建卷基本没有相关问题，而全国卷侧重考查.为了与高考接轨，在每年福建省九地市的模拟卷的都出现了球的接切问题，这类问题主要考查学生作图直观想象的能力，但是这类题型学生得分率往往都不高.下面就几何体的外接球问题进行分类归纳，总结共性，提供通解通法.

1模型法

总结 能够放在长方体模型中的几何体比较常见的有：①共顶点的三棱互相垂直及其等价情况;②面对角线构成的三棱锥，实际上组合体的顶点只要能够看成长方体中不在同一平面上的顶点组合，则组合体的外接球问题就可以联想长方体模型.

2直接法

直接找外接球球心位置在空间多面体作过各面外心的面的垂线上.

分析 直接分别过面MNCB、面AMN的外心作垂线交点即球心.

分析 把该三棱锥补成正三棱柱，球心在过正三棱柱底面中心的垂线上，再列方程求解确定.

总结 一般多面体的外接球关键在于找球心，球心通过两条垂线相交确定，或一条垂线再结合球心的顶点距离相等，利用勾股定理列方程求解.

3空间向量法

自从高二学习了空间向量法解决立体几何问题后，大部分学生该题的得分率明显提高，从对直观想象能力要求高转化为建立空间直角坐标系后对运算能力要求高，学生还是比较擅长后者.对外接球问题没有思路时可以考虑用空間向量法.

总结空间直角坐标系的出现降低了对学生空间想象能力的要求，解开了对一些学生来说看着图形不知所云的局面，对大部分学生来说都可以入手，不过对学生的运算能力的要求大大提高，同时对整张试卷来说解题速度也要求提高.在运算能力不出现错误和时间够的情况下，用向量法解题大大提高了此类题目的得分率.

立体几何问题本来就是学生比较怕的一大问题，而几何体的外接球问题又涉及到组合体问题，对直观想象的能力要求更高.通过用熟悉的长方体模型，提供一般的通解通法给学生解题思路，结合空间向量的应用弥补直观想象能力的不足，对参加2018年高考的考生应有所帮助.