化归思想在全国卷立体几何题中的应用研究

福建省石狮市第一中学 (362700)

莫伟昌

化归与转化思想,是高中课标所要求掌握的七大思想之一.实际上,不止在高中阶段,数学的公理化思想,本质就是化归转化思想.其重要性不言而喻.而在高考题中,一些问题通过转化,可使问题较容易地解决,特别是某些压轴题中,也只有使用化归思想方能解决.本文就化归思想在近年立体几何试题中的应用作一探究.

1.在三视图问题中的应用

从三视图的来源可知,每组三视图,都是该几何体在一个长方体内的投影.所以,三视图的还原,往往可以转化到相应的长方体来解决.

例1 (2014全国高考Ⅰ卷,理12)如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ).

图1 图2

分析：作为理科选择题的压轴题,直接靠想象就得到比较准确的直观图,是很困难的.但如果转化到一个正方体去分析,可以比较容易得到该几何体为三棱锥(图2),而且利用正方体中的垂直关系可以快速地算出相应的棱长,进而选出正确的答案C.当然,如何在正方体中,快速用排除法选出几何体的顶点,是需要训练的.

图3

如何转化到长方体内来做？需要学生在理解三视图的本质上，有意识地从化归转化的角度去思维．

2.在外接球问题上的应用

化归就是要转化到已解决的问题，那么外接球已解决的问题是什么？主要是，长方体和直三棱柱的外接球问题．长方体外接球的球心就是长方体的中心，即体对角线的中点．而直三棱柱的外接球球心，就是两底面外心连线的中点．

图4 图5

例4 (2010年全国高考大纲卷，理12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( ).

分析：若正面去做，比较难以找到入手点．但若能抓住AB=CD，这个关键条件，转化到长方体去分析，问题则迎刃而解．

小结：能转化到长方体来解决的外接球问题，有两类，一类是有线面垂直关系的；第二类就是有三对对边相等的．

3.在夹角问题中应用

两直线平行,则这两直线与同一直线或平面的夹角是相等的.所以直线与其他线或面的夹角,可以转化到其平行线来求.

例5 (2016全国高考Ⅰ卷,理11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( ).

图6

分析:由已知得,平面α是确定的,但显然比较难画出来,即便画出来,与另外两个平面的交线m和n也不好画.故而转化到找m和n的平行线来做.

如图6，易得平面A1BD

遇到难题时，懂得转化到其他已经解决的问题来做，这是意识的问题，通过较长时间的培养即可形成．而转化到何种问题来解，则是能力问题，它包含了问题本质的识别以及常用方法的应用这个两个过程，体现了数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养．该能力的提升，需要教师精心的选题、思路的启发和方法的提炼，也需要学生适量的练习、不停的感悟和不断的总结，缺一不可．