GeoGebra：辅助函数教学的利器

司业佳

[摘 要] 对基本概念理解不准确、对图像变化规律不明晰、对函数模型应用不敏感是学生学习函数的惯性困境.高中教师在教学实践中应当立足于函数的整体性，使用GeoGebra辅助教学，化解学生函数学习中的惯性困境，弥补传统函数教学的效果缺位，涵育学生的数学核心素养.

[关键词] 核心素养；信息技术；函数；GeoGebra

函数是刻画现实世界变化规律的基本数学模型，是解决实际问题的重要工具.学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养在函数的学习中有效创生. 但在教学实践中，学生学习函数存在诸多惯性困境. 例如，由于初高中函数的概念跨度很大，学生对函数的概念理解不准确；函数图像变换过于抽象，学生对图像变化规律不明晰；对函数模型应用不敏感……

造成这种惯性困境的诱因在于教师没有把握好函数教学的整体性，学生在局部的、零散的学习中，自然难以全面地掌握.信息技术与数学课程的深度融合是培育数学核心素养的有效路径，如果有效地运用现代教学技术，以培育数学核心素养为教学主线，引导学生在变量间的依赖关系中数学地抽象出对应关系（数学抽象素养）、借助图像的直观刻画函数的性质（直观想象素养）、用模型搭建现实问题与函数的桥梁（数学建模素养）……函数的内容就成为整体的、联系的主题，现有的教学困境将逐个击破.

GeoGebra作为结合几何、代数、微积分的动态软件，不仅具有几何画板、超级画板的所有功能，还兼具“集合”“函数”“图表”等功能，容易操作. 教师可以利用GeoGebra这些特性，将其作为函数教学的利器，能够突破教学困境，使数学核心素养在函数教学中“落地生根”. 笔者结合函数教学中的教学困境，分析GeoGebra辅助函数教学的施力域.

GeoGebra使函数的概念教学更形象

初中将函数定义为变量间的依赖关系，高中将其定义为变量间的对应关系.对应关系对学生来说是很抽象的. 教师可以先列举学生熟悉的案例，再利用GeoGebra，通过用对应关系来刻画函数，并揭示两种定义的差异，感悟函数进一步抽象的必要性，提升学生数学抽象的核心素养.

案例1：用“箭头图”表示函数变量的对应关系.

（1）情境：我国常通过调查往年人口来分析其变化趋势.现有1954—1999年每5年的人口数（百万），让学生说出人口变化情况.

（2）分析：学生可能回答“人口数随年份的增加而增加”. 教师可进一步提问“具体的变化关系”引导学生用集合语言来阐述，用“箭头图”（如图1）揭示年份与人口数的对应关系.

（3）成效：用学生熟悉的情境导入，用集合语言和对应关系刻画函数，理解抽象的函数概念，提升数学抽象的核心素养.

GeoGebra使函数的图像教学更明晰

函数图像的学习中处处蕴含着直观想象的核心素养. 教师要避免把函数的图像和性质当成两个分离的部分，要把握二者的关系，可借助GeoGebra将传统教学说不清道不明的图像及其动态变化过程生动地呈现在学生面前，用形的直观进一步研究函数单调性、奇偶性、周期性等性质. 此外，函数图像的学习还建立了形与数的联系，进一步体现数形结合的思想.

案例2：用单位圆的对称性推导三角函数的诱导公式.

（1）情境：角的终边除了重合，还可能有其他特殊的关系，如关于x轴/y轴/原点对称、相差90°等. 对于这些终边有特殊关系的角的同一三角函数，我们能否发现它们的关系？

（2）分析：学生常会混淆三角函数的几个诱导公式，这说明学生并没有真正理解.因此，教师应当通过改善教学帮助学生理解.从三角函数的定义不难发现，三角函数与单位圆有密切的关系.事实上，诱导公式也可由单位圆的对称性推出. 以“α与-α的诱导公式”为例，教师用GeoGebra在单位圆中作一个任意角α的终边（如图2），通过对称变换作-α的终边，演示α的动态变化，让学生猜想α与-α的三角函数的关系，教师再加以总结.

（3）成效：用单位圆的对称性推导三角函数诱导公式，提升逻辑推理的核心素养. 学生使用公式时也会再次想象这一推导过程，提升直观想象的核心素养.

案例3：研究函数y=Asin（ωx+φ）的图像.

（1）情境：许多实际问题中常遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函数，那它的图像是怎样的呢？

（2）分析：对于多变量问题，学生已经掌握了控制变量的活动经验.这里可以先设置ω，A均为1并保持不变，通过移动滑竿改变φ的值（如图3），让学生观察并找出规律，再分别改变ω，A的值重复上述过程.

（3）成效：用粉笔画函数图像并不精确，且难以呈现动态过程. GeoGebra软件克服了这些困难，让图像真正动起来. 教师还可以让学生操作，增加学习兴趣.在图像随参数改变而变化的过程中，让学生猜想变化的规律，提升学生逻辑推理与直观想象的核心素养.

GeoGebra使函数的应用教学更生动

掌握函数的概念、图像及性质后，还要用函数解决问题.如用函数的零点判断方程根的个数；用二分法求方程近似解；用三角函数模型刻画简谐振动、交变电流的周期变化；用指数函数模型刻画三角钢琴的轮廓曲线；用二次函数模型刻画抛物运动的规律.

案例4：澳洲“谈兔色变”现象：兔子的指数爆炸繁殖.

（1）情境：英国人把一些兔子带到了澳洲，但没想到兔子的繁殖速度特别快，以至于破坏了澳洲的生态平衡，导致澳洲人“谈兔色变”. 研究发现，“从一对初生的兔子开始，第1个月到第12个月兔子的对数满足斐波那契增长：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…”，这可近似为指数增长的数列：y≈0.447214×1.61803n. 请同学们根据这个公式计算y刚超过10000时n的值n0，然后把底数换为0.6，计算n0对应的y的近似值（可用计算工具）；再借助GeoGebra，比较指数、对数、幂函数的增长速度.

（2）分析：先通过数学运算初步体会这个情境中指数函数的“爆炸性”增长；再选取更一般的指数、对数、幂函数，如y=3x，y=log2x，y=x1.5，用GeoGebra画出它们的图像（如图4），比较三者的增长速度，进一步体会指数函数的“爆炸性”增长.

（3）成效：用函数解决现实问题，体现数学建模的核心素养. 从形的角度猜想指数函数的“爆炸”增长，从数的角度通过运算加以验证，数形结合，提升逻辑推理的核心素养. 用软件画函数图像，为学生比较函数的增长速度提供直观，提升直观想象的核心素养.

总结

用GeoGebra辅助函数教学，为师生交流、生生交流、人机交流搭建平台，激发学生的学习兴趣，让学生主动地参与学习. 用GeoGebra绘制箭头图，让学生用集合语言和对应关系理解抽象的函数概念，提升数学抽象的核心素养. 通过绘制精确的函数图像、设置滑竿进行图像变换，将传统教学说不清道不明的图像动态呈现在学生面前，为研究函数的性质建立形的直观，提升直观想象的核心素养.同时还用它的计算功能验证学生的猜想，提升逻辑推理的核心素养.此外，GeoGebra建立了形与数之间的关系，有利于函數教学整体性的把握.