恰当孕育 合理生长 提升素养*——《函数的奇偶性》教学思考

宋秀云

(江苏省新海高级中学 222006)

1 问题提出

自《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)提出数学核心素养后，广大高中数学教师都能认识到培养、提升学生数学核心素养的重要意义，在教学中积极学习、研究、实施，探索提升学生数学核心素养的有效途径.但由于对数学核心素养的理解多停留在理念与概念层面上，在教学中难以深入落实，甚至于出现标签化倾向.怎样解决这个问题？让素养培养落地，《课标》提出了很好的教学建议： 教师 “要结合特定教学任务，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点.”教学任务的落实既要立足学科整体考虑，也要分解到具体的课堂教学中，一节节连续的课构成学科整体.笔者结合“函数奇偶性”第1节课教学设计，探索课堂教学中如何恰当孕育、合理生长，提升学生数学核心素养.

2 教学设计

2．1 课题引入

引例函数是刻画变量之间关系的数学模型，函数图象直观又形象的表示了函数的变化情况，请同学们观察下列两个函数图象，它们的单调区间分别是什么？

追问1为什么(0,+∞)是函数f(x)=x2的单调增区间？

追问2你能用符号语言来刻画“随着x的增大，f(x)也随之增大”吗？

追问3请同学们换一个角度再来观察图象，这些函数图象还具有其他特征吗？

追问4同学们观察出了这两个函数的图象具有对称性，那这个函数的图象呢？

(展示函数f(x)=x2,x∈[-1,0.99]图象)我们放大图象，看看有没有什么新的发现？

追问5仅凭观察来判断函数的对称性准确吗？那如何准确的刻画函数图象的对称性呢？

2.2 概念建构

问题1如何判定函数f(x)=x2图象关于y轴对称？

预设：y=x2↔图象关于y轴对称↔(x,y)与(-x,y)在图象上↔任意x∈R,f(-x)=f(x).

问题2如何判定函数y=f(x)图象关于y轴对称？

预设：偶函数↔图象关于y轴对称↔(x,y)与(-x,y)在图象上↔任意x∈A,f(-x)=f(x).

问题3你能给出偶函数的定义吗？

预设：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，若对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x)，则称函数y=f(x)是偶函数.

设计意图教师引导学生回顾对称的本质，要说明函数f(x)=x2图象关于y轴对称，只需说明将f(x)=x2图象沿y轴折叠，图象左右两侧完全重合，图象的对称即为点的对称，由点的对称出发，再过渡到点在函数图象上，进而得出偶函数的定义.这种由形到数，数形结合的过程是函数性质形式化的典型过程.研究过程中由特殊点到一般点，由特殊函数到一般函数，体现了由特殊到一般的思想.

问题4如何判定函数y=f(x)图象关于原点对称？

预设：奇函数↔图象关于原点对称↔(x,y)与(-x,-y)在图象上↔任意x∈A,f(-x)=-f(x).

问题5你能给出奇函数的定义吗？

预设：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，若对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x)，则称函数y=f(x)是奇函数.

设计意图放手让学生独立运用研究偶函数的方法类比研究奇函数，让学生再一次感悟在数形结合的思想指导下研究函数性质的方法，加深对概念本质的理解.

追问6有了函数奇偶性的定义，你对奇函数、偶函数是怎么理解的呢？

设计意图得出了函数奇偶性的定义，不急于给出例题，而是让学生说说对定义的理解，强调从数和形两个方面来描述函数的奇偶性，加深对定义的认识.

2.3 数学运用

例题判断函数f(x)是否为偶函数或奇函数：f(x)=5x.

变式1：f(x)=5|x|；

变式2:f(x)=5x2,x∈[-1,2]；

变式3：f(x)=5(x-1)2.

设计意图在例题的基础上，改变函数形式或是定义域，顺势写出相关熟悉的函数，旨在让学生理解定义，运用定义，规范解题步骤.重点讲解变式3，意在体现三种不同的角度处理问题，即图象法，反例法，定义法，让学生体会任意与存在的关系.

追问7你能将判断函数奇偶性的步骤总结一下吗？

拓展：函数f(x)=x3+5x图象具有怎样的特征？

设计意图拓展题是对教材例7进行处理，改变了教材直接判定的方式，由于例题及变式都是学生熟悉的图象，函数f(x)=x3+5x的图象学生并不熟悉，通过设问图象特征，在运用奇偶性的定义的过程中深化对定义的理解.

思考：对于函数f(x)=x3+5x，你能否通过添加项，使它仍然是奇函数吗？既不是奇函数又不是偶函数呢？偶函数？既是奇函数又是偶函数？

设计意图通过例题的解决，体现了学生对定义的理解，通过设问开放性问题，让学生发散思维，通过添加项，构造不同的函数，达到深度学习的目的，体现了学生的创造性.

2.4 回顾小结

1.说一说奇函数、偶函数的异同；

2.若偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，你能判断它在(-∞,0)上的单调性吗？

设计意图让学生比较奇函数与偶函数的异同，在比较中反映学生对定义的理解；小结2承接拓展题，即让学生感受函数奇偶性在研究问题中的作用.

3 教学思考

在数学教学过程中要培养、提升学生数学核心素养，首先要对具体的教学任务进行分析，厘清具体任务所承载的核心素养；第二，要寻找恰当的孕育点，使核心素养有生长的沃土；第三，要设计合理生长的路径，使核心素养得到有效提升.

3.1 分析教学任务，厘清核心素养

新课标提出重点培养学生六大核心素养“数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析”，“六个核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体.”在具体教学任务与教学内容中，六个核心素养不是均等分布的，有主次和水平的区别.教学过程中，首先要对所教学的内容与任务进行细致的分析，厘清该任务所承载的主要核心素养以及核心素养的水平要求.

在“函数奇偶性”内容中，所承载的主要核心素养为直观想象、数学抽象、逻辑推理.对于数学抽象、逻辑推理两个素养在其他内容与任务中都有承载，而直观想象这个素养在高中起始阶段学习内容中，承载不多，因此，我们把它列为本节课的最主要核心素养，而且以第三水平要求来体现.整个教学设计，围绕提升直观想象为主，辅以提升数学抽象、逻辑推理两个素养，而把数学运算、数学建模、数据分析作为次要的核心素养.

3.2 创设合适情境，孕育核心素养

“基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学本质，创设适合的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养.”创设教学情境是课堂教学的关键环节，情境引发学生学习.教师应根据数学学科核心素养的培养目标(包括核心素养类型和水平等级)来选择教学素材，创设教学情境，激发学习兴趣，孕育核心素养.

(1)课题引入自然迁移，引发学习.对于函数的奇偶性这节课，在课题引入方面常见的做法是先借助生活中的实物观察其对称性，再到数学中的几何图形、函数图象的对称性展开研究.这样的引入形象直观，更适合于初次接触图形特征判断的低年级学生，对于已经在小学和初中接触过图形对称性判断的高一学生略显简单.教材中函数的奇偶性作为函数的基本性质之一是在学习了函数的单调性之后学习的又一性质，本节课是培养学生借助图象、直观想象，抽象出函数奇偶性的定义，其教学难点是用数学符号语言刻画函数图象的对称性.而在前面的学习中，学生已经掌握了函数单调性的研究方法：用任意x1,x2来刻画“y随x的增大(减少)”即从“数”的角度刻画函数“形”的特征.这一学习经验对于帮助学生思考、寻找刻画函数图象的对称性的方法有很大借鉴价值.从学生的学情、本节课在教材中的位置及本节课所承载的学科核心素养三个角度考虑，本节课的引入属于复习引入，从问题出发，先请学生借助函数图象解决熟悉的二次函数、反比例函数的单调区间并回忆单调性的刻画方法；再请学生换一个角度再来观察函数的图象，思考函数图象还具有哪些其他特征？通过谈话式的追问，制造认知冲突，学生思维受阻，真切感受到用数量关系刻画函数图象对称的必要性，培养其探究精神，自然引出本节课要研究的对象，引发学习.这样的数学情境设计与数学知识相连，与学生认知起点吻合，体现了教学的整体、连贯性，有助于学生发现问题，情境中提出的问题及问题的有效互动能够使学生的知识与能力自然迁移，有利于思维能力发展，促进核心素养的形成与发展.

(2)概念建构基于学生，自然生长.教育心理学认为概念教学的核心是“概括”，是将数学概念中凝结的数学家的思维活动打开，教学中可以借助若干典型实例，引导学生分析其属性、抽象其共同的、本质的属性，通过比较、概括、归纳等思维活动获取概念.亲历数学概念的发现、概括过程对于学生的学习能力的提升有非常重要的作用.本节课从学生的最近发展区出发设计思维活动：首先提出如何判断具体函数图象关于y轴对称，引导学生能在借助初中所学知识通过图形折叠判断是否重合的基础上，注意到图象的对称即为点的对称.先从点的对称出发(如点(x0,y0)关于y轴的对称点是(-x0,y0))，再过渡到点在函数图象上y0如何用x0表示.然而怎样验证点？如何完成所有点的验证？是概念建构过程中需要突破的瓶颈.在学生思维受阻处停留，让学生充分思考、尝试、交流，最终发现可以借鉴函数单调性定义中的方法来解决，即用“任意”来刻画所有；接着将问题一般化，思考如何判断函数y=f(x)的图象是否关于y轴对称，从特殊到一般、从数到形、再从形到数，学生在此过程中真正感受理解函数关于y轴对称的数学本质，学生学会用数量关系刻画函数图象的对称性，此时偶函数的定义水到渠成.对于如何判断函数y=f(x)的图象关于原点对称及奇函数的定义学生通过类比不难得到，从而函数奇偶性的概念自然生长.

3.3 提出合适问题，生长核心素养

“在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想方法解决问题.在问题的解决过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.”本节课将直观想象列为主要提升的核心素养，要求达到：借助图象，通过直观想象提出数学问题，并能对数学问题进行直观表达，在交流过程中理解问题本质及其数学联系.

(1)设计层次清晰的问题串，帮助学生养成严密的逻辑表达习惯.在数学教学中，数学问题是引发学生思维与探索活动的导向.恰当的设问能把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地联系起来，使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构.课堂中的问题就是要研究的核心内容，本节课要解决的三个核心问题为：①如何判定函数f(x)=x2图象关于y轴对称？②如何判定函数y=f(x)图象关于y轴对称？③你能给出偶函数的定义吗？从具体问题入手，由特殊到一般逐步展开，层层深入，体现了建构概念过程的三个层次.为解决这三个核心问题，教学中顺应学生的思维发展，通过教师追问、学生质疑等形式又产生了若干个小问题串，学生在解决每个小问题的过程中，进行系列、连续的思维活动，思维不断向前推进，学习过程有序、有效，充分完成了奇偶性概念的探究、建构过程.层次清晰的问题串使得概念建构过程更关注思维的系统性与逻辑的连贯性，体现了核心概念教学的育人价值.

(2)设计基于任务的驱动性问题，帮助学生理解问题本质.问题是学生思维的源泉，更是思维的动力.教学中教师的任务是将对核心概念的理解转化为高水平的驱动性问题，学生在解决问题的过程中深度思考、提升能力、生长素养.在数学运用环节，课本例题6是判断函数的奇偶性，所判断的函数类型为二次函数、一次函数、含有绝对值的一次函数三种类型，且例题所给函数的定义域均为R，例题的解答都是借助于定义判断的.笔者在教学中将课本例题进行重整，以变式的形式，从判断熟悉的一次函数f(x)=5x是否为偶函数或奇函数的问题出发，对函数形式、定义域进行改变逐步提出新的相关问题：判断函数f(x)=5|x|；f(x)=5x2,x∈[-1,2]；f(x)=5(x-1)2的奇偶性.在此基础上还可以提出问题：具有奇偶性的函数，其定义域有怎样的特点？在问题的驱动下，学生主动思考，相互交流，从不同角度感受定义法、图象法、反例法的作用，加深对概念的理解，提升解决问题能力.考虑到课本例题7依然是判断三次函数的奇偶性，虽然此题不能直接用图象法判断，但与例题6类似，若直接呈现，略显单调，学生解题停留在模仿层次.于是将例题7改为：函数f(x)=x3+5x图象具有怎样的特征？并对问题进行拓展：对于函数f(x)=x3+5x，你能否通过添加项，使它仍然是奇函数吗？既不是奇函数又不是偶函数呢？偶函数？既是奇函数又是偶函数？问题呈现形式的改变，提高了对学生思维层次的要求，对于不熟悉的函数如何研究其图象的特征？引导学生从解析式的角度借助于“数”去思考如：单调性、奇偶性、最值等等，并在此基础上从形的角度刻画图象特征，掌握研究函数的一般路径.问题的拓展，学生能自己通过改变函数的结构形式，构造出新的奇函数或偶函数，说明学生真正理解了概念，能自觉使用概念，理解问题本质，走向深度学习，提升学生逻辑推理等综合素养.