平面向量奔驰定理与三角形四心的应用

（四川省德阳中学校 四川德阳 618000）

奔驰定理：

已知O 是 ∆ABC内的一点， ∆BOC , ∆AOC,∆AOB 的面积分别为

图1

图2

如图2延长OA与BC边相交于点D则

有此定理可得三角形四心向量式

三角形“四心”的相关向量问题与“重心”有关的向量问题

A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心

2.知△ABC 中，G是重心，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

解：由奔驰定理可知：

5 6a = 4 0b =3 5c， 不妨设a=5k ,b =7k,c =8k，由余弦定理可得：B=6 0o

●与“垂心”有关的向量问题

3.已知O是平面上一定点，A，BC是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心

●与“内心”有关的向量问题

4.已知O 是平面上一定点，A，BC是平面上不共线的三个点，动点P 满足

则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（ ）.

A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心

●与“外心”有关的向量问题

5.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）。

A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心

●四心的相互关系

1.设△ABC 的外心为O，则点H为△ABC 的垂心的充要条件是

2.设△ABC 的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是

3.设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），