小议特征根法的证明和运用

☉江苏省扬州市新华中学 马世明

已知数列递推公式求通项有不少方法，其中构造法是深受竞赛数学和高考数学命题人的青睐.对于一阶线性递推数列，我们的构造相对而言是比较简单的，多数以构造等比为主要手段，并辅之以整体思想的使用，稍显复杂的问题也可以通过简单的代数变形转换为上述问题.竞赛数学中的难题是以二阶线性递推数列或分式递推数列为主，此时构造相对一阶而言，难度大大升高，一般性的方式主要是以不动点原理进行构造求解.多数讲座只讲特征根的使用和记忆，却不怎么告诉学生特征根的使用原理，对于学生来说，这样的学习是“囫囵吞枣”，不长久的.因此本文将二阶线性递推数列的一般性原理进行了分析，旨在培养学生“知其然又知其所以然”的探索精神.

一、二阶线性递推数列特征根证明

定理 对二阶齐次线性递归数列{an}，已知其前两项为a1，a2，且an=pan-1+qan-2（n≥3），若其特征方程t2-pt-q=0的两根为α，β，证明：

（1）当α≠β时，an=Aαn+Bβn，其中A，B由n=1，n=2上述方程唯一确定；

（2）当α=β时，an=（A+Bn）αn，其中A，B由n=1，n=2上述方程唯一确定.

证明：（1）其中p+q=1时，由p+q=1，得p=1-q，代入递归式，整理得an-an-1=-q（an-1-an-2），可得{an-an-1}（n≥2）是一个以a2-a1为首项，以-q为公比的等比数列，易知

（2）当p+q≠1时，受（1）型处理方法的启示，不妨设原递归数列能表示为an-αan-1=β（an-1-αan-2）（n≥3），整理得an=（α+β）an-1-αβan-2与原递归式比较系数，得可见α，β是二次方程t2-pt-q=0（*）的两根（实虚均可）.

联立①②两式解得

但实际上A，B可由n=1，n=2及④式方程唯一确定.

（ii）若t2-pt-q=0有两相同实根α=β，则③式可改写成an=a2（αn-2+αn-3β+…+αβn-3+βn-2）+a1（αn-3+αn-4β+…+αβn-4+βn-3）.

又α=β，得an=a2（n-1）αn-2-a1（n-2）αn-1.

同理，可简化为an=（A+Bn）αn，其中但实际上A，B可由n=1，n=2及④式方程唯一确定.证毕.

注：应用这一定理，特征根方程法就成为了求二阶齐次线性递归数列的一种通法.

二、运用

例1已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*），求数列{an}的通项an.

解析：其特征方程为x2=3x-2，解得x1=1，x2=2.

所以an=1+2n-1.

例2已知数列{an}满足a1=1，a2=2，4an+2=4an+1-a（nn∈N*），求数列{an}的通项an.

解析：其特征方程为4x2=4x-1，解得x=x=，令

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说明：例1和例2恰是特征根不同的两种情形，在运用特征根理论讲解问题的同时，我们不难理解特征根的来源，即函数不动点的数列形态.函数不动点是一个极限状态，其数列形态就是特征根.学生理解了特征根的原理，回头再学习其本质的运用，才能更好地理解特征根.

三、分式递推数列特征根证明

四、再运用

例3 已知数列{an}满足，求数列{an}的通项an.

例4 已知数列{an}满足（n∈N*），求数列{an}的通项an.

说明：定理的运用让分式递推数列的求解变得极为容易，但最重要的是理解特征根方程和不动点原理，有了这样的高等数学知识背景，才能将知识运用得更加得心应手.

总之，特征根法是数列中的名称，其最终的原理来自函数不动点的理论.当下教学注重了教学的效率却往往不讲求知识形成的过程，这一点笔者始终不能认同.教学要讲求的恰恰是懂理，更要是明过程、知细节，仅仅会用这样的结论解决问题还是远远不够的.教学讲过程、知识重理解，才是符合新一轮课程标准核心素养提出的基本要求.