品尝数学的味道

江婷婷

智趣数学呼唤智趣课堂。智趣课堂应该有思想的味道、思维的味道和思考的味道。

思想的味道

抽象思想、推理思想是数学的基本思想。它们不是游离于数学知识之外，而是蕴涵于知识的形成、发展和应用过程之中。教师在分析处理教材与开发课程资源时，从教知识的层面上升到教思维与思想的层面，数学课才会充满思想的味道。笔者以四年级上册《平行与垂直》为例进行说明。

第一，“垂直与平行”概念的形成过程蕴含抽象思想。垂直与平行的概念包括垂直与平行的形状、大小、位置关系、变换过程等。与此相关的知识，学生在日常生活中已广泛接触过，但他们见到的形状、感知到的概念与规范的数学知识又有差异。这就要求教师借助日常事物和现象抽象出相关形状和概念，帮助学生把感性认识上升到理性认识层面来。

比如教学“平行”概念时，可以设计一组动态素材：把相交的两条直线放在格子图里，缓慢地移动其中一条直线，反复引导学生观察、思考“两条直线是否还相交，交点在哪儿”；即将平行时，有的学生认为不相交了，有的学生指出“还没有完全放平”；教师继续移动，让两条直线完全平行，学生观察后发现，此时的两条直线中间相隔3个完整的方格，进而想象出在这种情况下，两条直线无论怎样延长也找不到交点。至此，“平行”的概念在观察与想象中自然而然地产生了。

垂直是特殊的相交，也可以通过一组动态素材进行教学：出示一组相交直线，不断旋转其中一条直至垂直后，引导学生观察两条直线中间的四个角都是直角，并告诉学生，这样的情形叫“垂直”。这种抽象概括建立在学生充分观察、思考的基础之上，既有利于学生理解概念，又能让他们学会用数学眼光观察世界。

第二，垂线的画法蕴含推理思想。画垂线分两种情况：一种是过直线上一点作已知直线的垂线，另一种是过直线外一点作已知直线的垂线。教材具体给出了前一种情况的画法（用连续的三幅图表明画的步骤），但没配文字说明；后一种情况则只提出了问题，没有提供解决问题的方法，这无疑为知识点的掌握设置了障碍。解决这个问题的最好方法是动手操作：过直线上一点画已知直线的垂线，可以采用直观演示法。完成这一知识点后，利用知识迁移法，让学生自主探究，完成“过直线外一点作垂线”的任务。学生完成任务的过程就是体验推理思想的过程，因为“过直线上一点作垂线”和“过直线外一点作垂线”具有内在联系，教师先演示后放手的目的就是让学生通过推理发现这种联系，并把在演示中学到的方法运用到自主探究之中。

思维的味道

数学教学的核心是教思维，而推理是数学思维的基本方式。数学教学中最常用的推理有合情推理、演绎推理等。合情推理是从已有的基本事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比的方式推断出结果的思维过程，包括归纳推理、类比推理等。演绎推理是从已有的基本事实出发，按照逻辑推理的法则推断出结果的思维过程。合情推理和演绎推理功能不同、特点不同，在数学教学中分别起着不同的作用。如：涉及性质、公式、法则、定律等基本事实时，可以通过合情推理得出相应结论，而结论的具体应用又是从一般结论到特殊对象的演绎推理过程。

要让数学课堂具有思维的味道，教师必须善于从数学推理的角度分析教材、设计教学。如：教学四年级下册的《三角形内角和》时，教师可以统筹安排教材内容，通过合情推理和演绎推理两种思维方式，引导学生深入理解“任意三角形的内角和是180°”。

首先，按照编者设计意图，运用合情推理中的归纳推理得出三角形内角和。即：先引导学生画出不同类型的三角形，量一量，算一算，三角形3个内角的和是多少度。学生通过度量、计算，发现直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内角和都大约是180°。接着，引导学生分别把自己手中的三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看看拼成了一个什么角。学生拼后发现，不论是哪一种三角形，结果都能拼成一个平角（180°）。据此，运用归纳推理，就得出了“三角形的内角和是180°”的结论。

其次，在学完“四边形的内角和是多少度”后，我们又可以运用演绎推理，进一步验证“三角形的内角和是180°”的正确性。即：首先引导学生理解长方形内角和是360°；接着课件出示图1，让学生直观看到，任意一个长方形都可以分割成两个完全一样的直角三角形，同理，两个完全一样的直角三角形一定能够拼成一个长方形；然后，引导学生观察分割成的直角三角形的内角和与长方形的内角和之间的关系，也就是长方形的内角和等于每个直角三角形内角和的2倍，所以直角三角形的内角和是360°÷2=180°；最后引导学生发现锐角三角形、钝角三角形也能分割成两个直角三角形（图2、图3），从而得出“锐角三角形、钝角三角形的内角和也是180°”的结论。

三角形按角的特点可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，它们的内角和都是180°，那么，“任意三角形的内角和是180°”的结论就成立了。这样设计、组织教学，明显是运用了演绎推理。

思考的味道

以核心問题为统领、以问题串为线索引导学生由浅入深地进行思考，在问题的解决过程中掌握基础知识，获得基本技能，感悟数学基本思想，积累思维活动经验，这样的课堂必然弥漫着思考的味道。

教学四年级上册《角的度量》，教师开课时创设了一个到游乐场游玩的情境，并提出“这里有三种角度不同的滑梯，你喜欢玩哪一种？为什么？”的问题。接着，动画演示小朋友玩三种角度不同滑梯的过程，让学生谈谈自己的看法。教师适时追问：“三种滑梯坡度的不同是由什么决定的？要想知道它们的角度，我们该怎么办？”由此引出本节课的核心问题：“用什么去量角？量角器上有没有角？”然后，用问题串引导学生边思考边学习，如“如果有角，角在哪里？”“用量角器怎么量角？”等。学生尝试量角之后，教师问：“你还有其他问题吗？”“有没有”“在哪里”“怎么量”“还有吗”不仅把学习置于数学思考和问题解决之中，让学生在数学思考过程中体会到思维的乐趣，而且引发了他们新的思考。如：学生在学习过程中提出了“为什么要把量角器设计成半圆形？是否和发明地的文化有关？”等问题。

（作者单位：京山市孙桥镇小学）