联想问题本原，让解题思路更为自然——由一道模考题的讲评说开去

江苏 张朋举

这是2017年南京市高三第二次模拟考试填空题的第14题，本题考的就是常见的恒成立问题，但由于学生没能根据已知条件，将要求问题化归为已解决的本原问题，导致没能生成问题的解决策略，学生的得分率很不理想.笔者所教班级，全班42人，仅有12人做对了答案.而且，后期在对答对的12位学生进行访谈时，发现他们虽然做对了答案，但带有很多偶然的因素，根本没有把握问题的本原.

本原思想是相对学生而言的最朴素、最本质的想法.从问题的本原考虑就是以认清问题的本原为基础，探寻解决问题的基本方法与规律，达到善于解题的目标，进而提升学生的数学素养.为了更好地发挥本题的功效，笔者借助本题的评讲过程，试着让学生回归到本原问题考虑，自然生成解题思路，形成良好的解题思维习惯，实现高效解题.

一、评讲过程

环节1：基于目标，探寻本原

师：上述是什么问题？有没有做过这类或者相似的问题？

生1：恒成立问题，做过类似的题，比如：若不等式ax>lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围等.

师：分析到位，符合上述模考题的特点，下面我们从生1提供的问题出发，看能否有助于模拟题解法的探寻，解决生1的这个问题有哪些方法？

师：思路清晰！还有不同的想法吗？

师：漂亮！还有不同的想法吗？

师：非常棒，三位同学从不同角度，用了不同的方法解决了生1提供的问题，哪位同学能给大家对比、分析下这几种方法吗？

生4：生1，2均是从“数”的角度考虑问题，其中生1是利用分离变量法处理的，一般情况下，在处理恒成立问题时，优先采用分离变量法；生2从已知条件结构入手，使用构造新函数F(x)=f(x)-g(x)，转化为求F(x)的最值问题，思路较为顺畅；生3从“形”的角度解决问题，构造两个函数的图象，数形结合研究两函数图象的位置关系，值得学习.

设计意图：以熟悉的问题作为本原，驱动课堂教学的进行，将本原问题融入到揭示、探究数学本质的活动过程中，实现一题多解，多解归一，形成一类本原问题的基本方法.

环节2：把握目标，联想本原

师：同学们，根据归纳出的多种解决策略，能否将方法迁移过来解决前面的模考题？

师：太棒了，当思路不“通畅”时，自然需要调整，向已经解决的本原模型靠拢，正可谓“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”.

环节3：创新解法，源于本原

师：非常好！两位同学将“本原问题”提供的解法，运用于新题之中，体现了方法的迁移，实现了“解一题，通一类”，然而巧妙的解法常常源于常规方法，抓住代数特点或几何意义，运用巧妙方法，本题有创新的解法吗？

师：你们都太棒了!从本原问题出发，提炼方法，创新方法，然后用于新题之中，这才是真正的数学解题学习.回归到问题本原考虑，奠定融会贯通的基础，形成良好的思维习惯，实现了高效解题.

设计意图：模考题经过包装，将其本原隐藏起来，进而达到考查学生转化问题和解决问题的能力；从问题的结论深入，发现其中与本原问题的联系，在“形异神似”中实现方法的正向迁移.达到“解一题，通一类，带一串，提一片”的目的.

环节4：试题命制，固化本原

师：通过本节课的学习，同学们认识了“一类问题”，通过联想这类问题的方法，解决了原本不易解决得出的问题，这种将要求问题化归为已解决的本原问题的思想，是同学们今后解题的一种重要思想方法.请同学们课下自主编制类似题，并尝试这节课的解决思想方法.以下两道题是课后经学生整理、自主编制的试题(成果展示).

【答案】(0,2].

命制题2：已知函数f(x)=(x+a)ex+b在原点处的切线垂直于x+y-3=0，若f(x) -msinx≥0对任意的x∈[0，π]恒成立，求m的取值范围.

【答案】(-∞，1].

设计意图：及时通过学生编制试题，固化本节思想方法，让学生尝到“把握本质问题”带来的甜头，通过课后搜集并编制类似题目，进而能更好地把握这类问题的本质，增强学习的自信心.

二、几点思考

1.重视目标导向

目标导向解题，就是根据目标任务弄清要什么，理清有什么 ，然后缩小有什么和要什么之间的距离，进而尝试怎样缩小.解题过程也正是在问题的初始状态和目标状态之间进行比较、分析、消除差异，最终找到达到目的的最佳路径的过程.这个过程中既要对条件多角度转化，同时更离不开结论的目标导向.解题教学中，只有教师多关注、培养学生“让结论引导思考”意识，那么当学生遇到复杂问题，就会主动根据目标导向，寻求解决问题的突破口，案例中，笔者根据目标导向，积极引导学生从目标入手，寻求解决问题的突破口,使问题的解决更为顺畅，更有助培养学生思维的敏捷性和发散性.

2.联想问题本原

让学生养成将复杂问题退到最简单、最原始问题的思维习惯是解题教学首要任务，这正如项武义教授所言“必须对基础数学的本质和基本思想下一番深切的返璞归真的功夫”.“本原思想”是指将一个数学问题的要素和基本结构作为思考的始点，是相对学生而言的最朴素、最本质的想法.解题教学应该积极引导学生探寻问题的本原，让学生“跳一跳”就能够到，应该抓住问题的本原，弄清问题的源与流，有意地将问题回归为已解决的“本原问题”，自然生成解题思路.回归本原问题，驱动解题教学，能够充分发挥教师的主导作用.试题讲评中，教师让学生通过联想已经解决的一道简单问题，以简单类似题作为本原问题，驱动解题思维，使解题思路自然生成.