高考复习课贵在题精法多真参与

江苏 宋卫东

解题教学是高考数学复习课的重点和核心．美国著名数学教育家G·波利亚说过：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域．”一节课教师通过一个问题(例题)的引领，让学生积极参与教学，并根据自己的认知，从不同的角度思考问题，做到一题多解，借题发挥，从而产生思维的碰撞，进而理解数学的本质，掌握解决数学问题的规律和方法，达到“做一题，通一类，会一片”的目的，从而提升学生的数学核心素养．近日笔者在高三教学视导中听了一节复习课，上课教师一节课就处理一道习题，学生们主动参与课堂，积极思考，从不同的角度探寻出不同的解法，教师及时参与其中并适时点拨、总结，教与学的氛围浓厚，给笔者留下深刻的印象．

一、课堂简录

教师出示习题，学生独立思考、尝试10分钟，然后组内讨论5分钟左右．

教师：同学3，你是怎么想到设∠PBA为θ的呢？

学生3：设∠PBA=θ后，可以用θ的三角函数来表示其他的量，相比刚才的两种解法就减少了未知数的个数．

∴sin45°cosθ=sin(θ-45°)，∴sinθ=2cosθ．又sin2θ+cos2θ=1，

MRI，即磁共振成像，在临床上有着良好的应用，尤其是在对颅脑、脊髓、心脏大血管等进行成像检查，其效果最佳。因此，采用MRI对儿童进行垂体结构和病变的观察，其效果良好，而且该检查方式是检查异位垂体后叶的唯一影像学方式。而3.0T MRI，其组织对比度、化学位移分辨率、磁敏感性对比都明显较高，不仅可以对显示细微解剖结构进行优化，还可以有效提高影像的分辨率。不仅如此，在相同信噪比的基础上，3.0T MRI还可以提高采集的速度[4]。

教师：以上三位同学都是从设∠PBA=θ入手，刚才说了同学3利用基底法，同学4是用了间接法两边平方求数量积，同学5与同学1相同，是运用定义法求数量积，只是处理的方式不同．还有其他解法吗？

教师：同学6，你是怎么想到过点B作PB的垂线的呢？

学生6：我的想法是把45°放到直角三角形中，进而利用中位线定理和勾股定理求AP，PC的长度．

教师：很好，同学6是运用几何法求线段的长度，思路清晰，过程简捷，还有没有同学采用另外的几何法来做的？

教师：漂亮!你是怎么想到要建系的呢？

学生9：我是将直角放到平面直角坐标系中，发现能求出各个点的坐标，因此采用坐标法求平面向量的数量积的．

教师：还有没有不同的建系方法呢？

教师： 同学9与同学10都是从坐标入手，利用直角建立平面直角坐标系，通过确定各点的坐标求出平面向量的数量积．请同学们思考，什么时候能利用建系的方法求向量的数量积呢？

学生11：常见的三种情况：一是题目中有垂直(直角)；二是题目中有特殊角，比如30°，45°，60°，120°，135°等；三是利用对称性建系，比如椭圆等圆锥曲线的标准方程的建立就是利用对称性建系的．

教师：很好．还有其他想法吗？(学生均表示没有)

教师：定义法、基底法、坐标法、几何法是处理平面向量数量积问题的法宝，请同学们课后针对这个题目进行整理、总结和体会．本节课就上到这里．

二、几点思考

1.题不在“多”，有“思想”则灵

解题是学好数学的必要途径．本节课教师由一个习题出发，放手让学生独立思考、探索发现，然后将话语权交给学生，通过生生互动、师生互动，让学生自己探究解决．可以说这节课是深刻的、有思维深度的课．然而当前高考数学复习刷题成风，题海浪涌，学生苦，教师累．学习数学离不开解题，但沉溺题海并不意味着能考好数学，不如通过分析典型例题的解题过程来学会解题．题并不是刷得越多学生学习越好，如果缺乏解题反思，在没有理解掌握的基础上，学生做题越多，越会加深对错误做法的记忆，从而误导他们的学习．因此，教师要精选有“思想”的习题作为课堂上的例题，高考数学复习课的成败主要取决于例题的选择，例题不在于“多”，更不在于“难”，关键在于学生能通过探究寻找出解题的切入点，教师通过适当的精讲点拨，能与学生共同总结出解决问题的规律和方法，并探寻通性通法，提升学生解决问题的能力．教师在选取例题时一定要思考“为什么要选择这道题目，此题与其他题相比优势在哪里？通过解此题，对于解其他题有何帮助？”，从思维的锻炼、能力的形成角度看，让学生学会思考要比单纯的解题训练来得更深刻、有效．例题要少而精，要控制好难度，复习的目的不是为难学生，而是通过例题的解决来帮助学生巩固知识，探寻解决问题的方法，激发学生的学习兴趣，帮助学生更加有效地学习数学，促进他们数学核心素养的形成和发展．

2.“师独演”不如“生纷纭”

启迪学生的深度思维必须放手让学生去发现，要把数学探究的主动权交给学生．本节课教师积极营造学生参与的氛围，留出一定的时间让学生独立思考、尝试，教师没有将自己的解题经验简单地灌输给学生，没有用自己的想法代替学生的思维，而是让学生的思维先行，允许学生提出自己的见解，让学生去联想、类比、探索并及时反思．学生每提出一种解法后，教师及时追问“你是怎么想到的”、“还有没有其他的解法”，并与学生平等地交流和探讨，及时地点评和总结，多角度揭示问题本质，拓宽解题思路，力求对解题规律进行深化，达到“做一题，会一类”的目的．教师要准确地把握学生已有的认知，要根据学生的不同需求而教学，才能寻求学生思维的最近发展区，提高教学的有效性．复习课中，确立学生的主体地位并不影响教师主导作用的发挥，教师要从理解学生出发，在教学生如何学习和思考上下功夫，解题后要引导学生思考：解此题用到了哪些知识？它们是怎样联系起来的？解题的关键在哪里？思路是怎样打通的？还有其他的解法吗？这种解法能用于其他问题吗？哪种解法是通性通法？解法多时，教师还要注意解法的优化，一种解法更适合哪一类的问题情境，要给学生建模塑型．复习课教师一定要转变教学观念，转换教学方式，要在精讲点拨上下功夫，不要“一言堂”，要舍得花时间让学生发表自己的意见，暴露学生的真实想法，在尊重学生认知的基础上，让学生会自主学习、探究学习、合作学习，从而引发学生的深度思维，让课堂真正变成“学堂”．数学是自然的，不是强加于人的，只有沿着学生的思维方向探究、生成，这样的复习才能和谐高效，才能真正彰显“以人为本”的理念．

3.适当变式，让例题焕发“生命力”

一题多解能够训练学生的发散思维，一题多变则能训练学生思维的深度．本课由于时间关系，教师只做到解法上的训练，而没有进行问题的拓展变式，这不能不说是个遗憾．如果添加如下变式，教学效果则会更好．