应用分组法求解数列中的“出”与“入”

2018-12-06江苏王安寓

教学考试(高考数学) 2018年6期

江苏王安寓

将数插入一个数列中，或将两个数列相互嵌入，是数列命题的常用手段；将一个数列中的部分项舍去，构造新的数列，是数列命题的另一手段.通过数列的“入”——吞噬与“出”——舍弃，改变数列的原有规律，缔造数列新秩序，增加思维度和计算量，同时也增加难度.

一、数列中的“入”

数列作为6大模块之一，其地位相当重要.在各种考试中，对数列的考查都是重中之重，特别是江苏、浙江、天津等省.对数列的命题，每年都会推陈出新.命题的手段主要集中在数列的基本量计算和新数列的构造.而构造新数列的手段很多，常见的有两个数列的相互嵌入与一个数列的部分项的删除.

1.1 两个数列的相互嵌入

题目1(2018·江苏卷·14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*}，B={x|x=2n,n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为________．

【分析】集合A的元素按照从小到大的顺序排列，构成等差数列An=2n-1，集合B的元素按照从小到大的顺序排列，构成等比数列Bn=2n，它们没有公共元素，则数列{an}是将数列Bn=2n插入到数列An=2n-1中，或者是将数列An=2n-1插入到数列Bn=2n中构造而成.考虑数列An=2n-1插入到数列Bn=2n中，则插入规律是：在Bk-1与Bk之间插入2k-1+1，2k-1+3，…，2k-1，计2k-2个数，如何求数列{an}的前n项和Sn呢？数列{an}的规律并不明显：既不是等差数列，也不是等比数列，通项公式不易写出.但运用分组：(1,2)，(3,4)，(5,7,8)，(9,11,13,15,16)，(17,19,…,32)，…，(2k-1+1,2k-1+3,…，2k)，就能看出前n项和的规律.抓住这个分组，就能把Sn的表达式写出，从而完成不等式Sn>12an+1的求解.

【解析】(分组法求和)：记{an}中第k组为(2k-1+1,2k-1+3,…，2k)，记An=2n-1，Bn=2n，则{an}中第k组含有An计2k-2个，Bn计1个，其和为3·4k-2+Bk，前k组含有An计1+1+2+…+2k-2=2k-1个，Bn计k个，其和为4k-1+2k+1-2，

∴当n=1时，S1=1,a2=2，Sn>12an+1不成立；

当n=2k-1+k,k∈N*时，Sn=4k-1+2k+1-2,an+1=2k+1，

∴k>5.

当n=2k-1+k+m,k∈N*,m≤2k-2,m∈N*时，Sn=(2k-1+m)2+2k+1-2,an+1=2(2k-1+m)+1，

取k=5，

∴m≥6，∴n=24+5+m≥27.

∴使Sn>12an+1成立的n的最小值为27.

【点评】合理分组是解决本题的关键.为什么分组呢？因为目标是求出Sn，而an的规律不易于找到，但{an}是由等差数列{An=2n-1}和等比数列{Bn=2n}组合而成，其和仍是基于等差数列{An}和等比数列{Bn}的和，而且{An}和{Bn}中无公共元素，也为解题减轻了负担.

对于这类插入或删除的题目的求和问题，合理分组求解是行之有效的，且是快捷的.

1.2 插入bn个常数

题目2已知an=3n，bn=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入bk个3，得到一个数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为________.

【分析】数列{cn}是在数列{an}中插入bn个常数3构造而成.因此，按照ak分组，先各组内求和，再前k组求和，即可完成Tm的计算，进而解题.

得5·3k-3k2-3k+1=0，

设f(k)=5·3k-3k2-3k+1,则f(k+1)-f(k)=10·3k-6(k+1)>0，∴f(k)是单调递增的，∴f(k)>f(1)>0.

∴此时Tm=3cm+1无解.

综上，满足Tm=3cm+1的正整数m的值为3.

【点评】分组将{cn}的规律显化，利于求和.

1.3 插入前k项

题目3已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1,a2,a5是数列{bn}的前3项，且S4=16.

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(Ⅲ)构造数列a1,b1，a2,b1,b2，a3,b1,b2,b3， …，ak,b1,b2,…bk， …，若该数列前n项和Tn=1 821，求n的值.

【分析】(Ⅰ)(Ⅱ)略.(Ⅲ)由(Ⅰ)得an=2n-1，bn=3n-1，将{bn}的前k项插入ak与ak+1之间，构造新数列，将新数列按(ak,b1,b2,…bk)分组，先各组求和，再对前k组进行求和.

【解析】(Ⅰ)an=2n-1，bn=3n-1；(Ⅱ)t=0或2；

∴当Tn=1 821时，n=35+1+5=41.

【点评】分组是为计数和求和服务的.各组中{an},{bn}元素的个数，以及它们的和，都是考查的重点.

1.4 相间排列

题目4设等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项.数列{bn}的前n项和为Sn=n2，n∈N*.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若不等式λbn≤Sn+6对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围；

【分析】(Ⅰ)(Ⅱ)略.(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得an=2n，bn=2n-1，则cn是由an，bn中的某些项相间排列而成.分析各项特点，抓住奇偶解决问题.

【解析】(Ⅰ)an=2n；(Ⅱ)bn=2n-1,λ≤3；

故，当等差数列项数最大(最大为5)时，满足条件的等差数列为：1，2，3，4，5或5，4，3，2，1.

【点评】cn：1，2，3，4，5，8，7，16，9，…，按照定义写出这个数列，就能发现题目所求的目标.本题中，实际上有两种构造数列的方式：①命题人给出的构造方式——cn的构造是选取自an，bn；②解题者构造方式——在cn中选取，要求组成等差数列.

1.5 自身的嵌入

分组是为了更好地寻找构造数列的规律.找到了构造数列的规律，题目就迎刃而解.

题目6(2017·全国卷Ⅰ理·12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A．440 B．330

C．220 D．110

【分析】寻找一个数N，使得N>100且该数列的前N项和为2的整数幂，本质上仍是求数列的前n项和.而数列的构造方式是用等比数列的前k项重复组合而成，自然的想法是分组.