知其然，更要知其所以然——由Sn求an所想

安徽 陈晓明

在日常测试中，经常出现这类试题：已知数列前n项和Sn，求数列通项an．此类老生常谈的问题在高考中也经常出现，因此在平时教学中教师总是反复讲解，反复强调．令笔者感到吃惊的是，考过、讲过的试题在下次测试中再次出现时，不少学生依然犯错！老师和学生都很受打击．笔者认真反思，觉得可能是我们的教学出了问题．正像人民教育出版社章建跃先生指出的，当前教学中的问题是只关注“如何算”和“算得快”，而把“为什么这么算”和“如何才能算得快”这些与核心素养更相关的问题抛到脑后．从而造成学生对问题的认识是“只知其然，不知其所以然”，总是“重复昨天的故事”就不足为奇了．

现通过实例展示．

例1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+10n，求数列{an}的通项公式．

学生错解1an=Sn-Sn-1=3n2+10n-[3(n-1)2+10(n-1)]=6n+7．

学生错解2当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=3n2+10n-[3(n-1)2+10(n-1)]=6n+7．

然后就不再继续分析，认为数列{an}的通项公式就是an=6n+7．

【分析】错解1的同学认为an=Sn-Sn-1对n∈N*都成立．什么原因呢？笔者想这可能是思维定式所致．因为在平时的学习中经常出现这样的题目：已知Sn=An2+Bn(A,B为常数)，求an．这类题目都有a1符合an=Sn-Sn-1(n≥2)，从而误认为an=Sn-Sn-1对n∈N*都成立．

错解2的同学认为求出了an=Sn-Sn-1(n≥2)就是求出了{an}的通项公式．这里其实只是求出了n≥2时an的表达式，还有n=1的情况呢？有些同学产生错误的原因与错解1相同，还有部分同学可能是在学习等差数列时产生了负迁移：若数列{an}满足an-an-1=d(n≥2)(d为常数)，则数列{an}为等差数列，从而误认为这里求{an}的通项公式也是一样，没有考虑到情况不同了，真是“只知其然，不知其所以然”．

【正解】(1)当n=1时，

a1=S1=3+10=13．

(2)当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=3n2+10n-[3(n-1)2+10(n-1)]=6n+7．

又a1=13符合an=6n+7(n≥2)，所以数列{an}的通项公式为an=6n+7(n∈N*)．

小结：由Sn求an必须按n=1或n≥2，进行分类讨论，而直接把an=Sn-Sn-1(n≥2)当成数列{an}的通项公式是很容易出问题的．下面的例子则说明了这个问题．

推广如果一个数列{an}的前n项和Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，求这个数列的通项公式．

【解析】(1)当n=1时，

a1=S1=p+q+r．

(2)当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-[p(n-1)2+q(n-1)+r]=2pn-p+q．

若a1=p+q+r符合an=2pn-p+q(n≥2)，则p+q+r=2p-p+q，所以r=0．

否则(r≠0时)，a1=p+q+r不符合an=2pn-p+q(n≥2)．

因此，当r=0时，数列{an}的通项公式为an=2pn-p+q，可合写，易知数列{an}为等差数列．

【反思】前面的例1、例2正好分别是r=0和r≠0两种情况，错解1，2碰对答案纯属巧合．另外，若p=0，则情况相同，只不过r=0时，数列{an}的通项公式为an=q，该等差数列为常数列．

问题剖析(为什么这么算？)因为S1=a1,S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3，…，所以a1=S1,a2=S2-S1,a3=S3-S2，…，因此，an=Sn-Sn-1(n≥2)是从第二个等式开始的简写，n=1时不能这么表示，否则a1=S1-S0，没有意义．

在实际问题中，有时并没有给出数列{an}的前n项和Sn的具体表达式，而是给出一个等量关系式，这时问题变得复杂，那该如何求解？请看下面的例子．

例3.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．

【解析】因为an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)， ①

所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2(n≥3)， ②

①减去②得

an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，

所以an=nan-1(n≥3). ③

因此，当n≥3时，有an=nan-1=n(n-1)an-2=n(n-1)(n-2)an-3=…=n(n-1)(n-2)…4×3a2．(迭代法)

(2)这里，如果我们令bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn，那么由已知可得

an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)=b1+b2+b3+…+bn-1(n≥2)，即an=Sn-1(n≥2)，因此an-1=Sn-2(n≥3)，故当n≥3时有an-an-1=Sn-1-Sn-2=bn-1=(n-1)an-1．以下解略．故我们可以得出：给出数列{bn}的前n-1项的和Sn-1，只不过用an表示(正好有an=Sn-1)，然后由Sn-1求bn-1(道理同由Sn求an)，进一步得到一个关于an与an-1的递推式(要特别关注n的取值范围)，从而求出所求数列的通项公式．经过这样的分析，学生对问题才能真正做到“知其所以然”，掌握问题的本质特征，遇到这类复杂的问题才不至于经常出错．

教学思考

在人教版教材数学(必修)开头有主编寄语，刘绍学教授告诉我们“数学是自然的：如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味．”同时他还告诉我们“数学是清楚的：清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论，数学中的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊”．既然数学是自然的，数学是清楚的，那么作为一线教师，在教学中就一定要做到让学生对数学问题的认识不但要知其然，更要知其所以然．

那么如何才能做到让学生对数学问题的认识既知其然，也知其所以然呢？

教师要培养学生自己“找路”的能力，让学生做“司机”，而不是“乘客”，教师做一个“指路人”，在学生遇到岔路口或迷路时，给予指点．学生行走的过程中，路边的风景，正是学生找回路的标志，因此课堂上学生的活动看似耽误时间，但对学生来讲是需要的，那是找到回路的“标志”，走错路，记忆才能更深刻．让我们记住关于教育的一句世界性名言——告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；如果让我参与，我会真正理解．

教师在数学教学活动中，更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的问题，启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成并发展数学核心素养．