多视角思考一道“坐标系与参数方程”考题

广东 郑荣坤

自广东省高考使用高考全国卷之后，考生可以从“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”中任选一道题作答.由于“坐标系与参数方程”的常见考题是简单的解析几何问题，又是选做题的第一道，所以在紧迫的考试中，学生往往会选做“坐标系与参数方程”试题.而在2017年广东省揭阳市第一次模拟考试中，大部分学生都无法完整地作答第22题.因此，对这一道“坐标系与参数方程”考题进行多视角的思考便十分必要.

一、呈现考题

(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线l:θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值.

【解析】(Ⅰ)曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=4.

【评注】该题第(Ⅰ)小题比较简单，笔者不对其进行深入研究.下面重点探究该题第(Ⅱ)小题的解法.

二、从错解的视角

学生在解答上述第(Ⅱ)小题时，一般都有解题思路，能动笔演算，但大部分学生会因基础不扎实、思维不严谨等问题而导致解答出现错误.因此，教师必须剖析学生的错误解法，帮助解答错误的学生探究失分原因，让这些学生避免在后续的考试中重复犯错，对其他同学起到一定的警示作用.

错解：设直线l的方程为y=kx.

三、从多解的视角

上述第(Ⅱ)小题是“坐标系与参数方程” 的常见题型，主要考查“直线与圆的位置关系”等相关知识.笔者从多个角度进行挖掘，探究出多种方法来解决该题.

1.转化为直角坐标方程求解

解法1：依题意可知，直线l过原点O.

①当k=0时，|OM|2=1，则|OM|=1；

解法2：依题意可知，曲线C是以点P(-1,1) 为圆心，2为半径的圆，连接PM，OP.点M为线段AB的中点.在Rt△OPM中，|OM|2=|OP|2-|PM|2.

【评注】由于大部分学生都能够想到上述这种“转化为直角坐标方程求解”的方法，所以这种解法具有普遍性.在利用这种方法解答考题时，为了避免出现烦琐的解题过程，教师应该建议学生适当地运用数形结合思想.

2.直接利用参数方程求解

解法3：依题意可知，直线l过原点O(0,0)，倾斜角为α(α∈[0,π)).

【评注】利用直线参数的几何意义求解“直线上的动点到定点的距离、直线上的两个动点之间的距离”，以及利用曲线参数的几何意义求解“曲线上的动点到曲线外的定点或定直线的距离”，解题过程往往简捷、省时.可是，教师必须明确地告诉学生，如果选择“直接利用参数方程求解”，那么必须熟练地掌握选做题中常考曲线(特别是椭圆和圆)和直线的参数方程等相关知识.

3.直接利用极坐标方程求解

设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，

【评注】大多数学生遇到“坐标系与参数方程”试题，首先想到是转化为熟悉的直角坐标方程去求解，但相比较而言，本例“直接利用极坐标方程求解”的解题过程更为简捷.因此，笔者建议教师在教学过程中，要强调应用极坐标知识的重要性.

四、从多变的视角

由于变式教学是高考复习的重要方法和措施，可以在节省训练时间的情况下，通过一道题的教学，让学生懂一类题、会多类题，所以笔者分析了全国各地高考试题，对这道揭阳市模拟考题进行了下列变式.教师要让学生亲身经历变式试题的解题练习，既可以帮助学生梳理“坐标系与参数方程”的高频考点，又能够让学生更好地掌握上述解题方法.

1.求弦长

2.求两圆公共弦所在直线的方程

3.与圆有关的最值(取值范围)问题

4.直线参数方程中t的几何意义的应用

若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N，求|PM|+|PN|的取值范围.