2018年高考数学数列试题分析与改编——以全国卷Ⅰ文科为例

广东 潘敬贞

高考试题是命题专家的智慧结晶，除了具有测试功能外还具有良好的教学功能，研究高考试题对把握高考考向，提高备考效率有积极意义.改编高考试题可以促进全方位剖析考题，全面理解、把握高考脉搏，促进教师专业发展，也是高三备考的重要素材，对提高高三备考的针对性和有效性具有重要意义.本文对2018年高考全国卷Ⅰ文科第一道解答题——数列题进行分析研究，本题是以特殊数列(等比数列)为基础，通过运算推理、代数变形得到，并对高中数列的基本问题进行提问.笔者对该题研究分析后深受启发，欲根据本道试题的命题思路与过程尝试对其进行改编得到改编题1～10，可做备考教学例题或学生训练使用，笔者说明改编过程与同行分享交流，旨在提高备考的针对性与有效性.

一、试题与解答

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(Ⅲ)求{an}的通项公式.

将n=1代入得a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

将n=2代入得a3=3a2，所以a3=12.

从而b1=1，b2=2，b3=4.

(Ⅱ){bn}为等比数列.证明如下：

(Ⅲ)由(Ⅱ)知{bn}为等比数列，所以bn=1×2n-1=2n-1，所以an=nbn=n·2n-1.

二、试题分析

本道试题在特殊数列(等比数列)的基础上进行代数变形，以递推的形式呈现，在设问方面，首先求新数列{bn}的某几项再判断数列{bn}是否为等比数列，最后回到原数列{an}的通项公式这一数列的本质问题.设问由浅入深，层层递进，问题间的关系紧密，使解答问题的过程可以展现思维过程，加入了讨论判断问题，使问题具有一定的开放性与探究味道，更好地考查学生数学阅读能力和数学转化能力，体现了新课程标准研究型学习的理念.

这道试题具有一定的典型性，其内在的价值丰富，为知识方法的迁移与试题变形的迁移提供了强大的背景.欲考查特殊数列(等比数列)，但不直接提问，有一定的隐蔽性，欲求数列的本质问题(数列的通项公式)，但在中间铺设了桥梁，加入了求数列的某几项和讨论判断数列是否为特殊数列(等比数列)，使得问题内容丰富，有利于学生对问题的解答.

三、试题改编

选取一个特殊数列，将其转化为递推关系式，通过对其进行运算推理、变形，围绕数列通项公式，研究高中数列的基本问题是编制高中数列简答题的常用方法.2018年高考全国卷Ⅰ文科的第一道简答题为数列题，可将其大致命题思路与过程分解为如下：

第一步：选取一个首项为1、公比为2的等比数列；

第二步：将选取的数列转化为递推关系式，得{an}满足a1=1，an+1=2an；

第五步：设问.

根据以上的大致命题过程与思路，将其改编得以下试题：

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(Ⅲ)求{an}的通项公式；

(Ⅳ)求{an}的前n项和；

【最终答案】(Ⅰ)b1=1，b2=2，b3=4；(Ⅱ)数列{bn}是等比数列，理由略；(Ⅲ)an=n·2n-1；(Ⅳ)(n-1)·2n+1；(Ⅴ)略.

改编题1保持原题不变，提出新问题，增加裂项求和与错位求和(差分思想).

改编题2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，设bn=an+1.

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(Ⅲ)求{an}的通项公式；

(Ⅳ)求{an}的前n项和.

【最终答案】(Ⅰ)b1=2，b2=4，b3=8；(Ⅱ)数列{bn}是等比数列，理由略；(Ⅲ)an=2n-1；(Ⅳ)2n+1-n-2.

改编题2的过程如下：第一步与第二步不变；第三步在递推关系式an+1=2an等号左边加1，等号右边加2得{an}满足a1=1，an+1+1=2an+2，整理得{an}满足a1=1，an+1=2an+1；第四步设bn=an+1；第五步设问与改编题1基本一致.

改编题3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n．

(Ⅰ)求证{an+1}为等比数列；

(Ⅱ)求{Sn}的前n项和Tn．

改编题3的过程如下：本题是在改编题2的基础上进行重构，第一步与第二步不变；第三步是结合an与Sn的基本关系进行推理变形得{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，若利用an与Sn的基本关系去掉Sn即可得到与改编题2不同的问题；第四步设问如题所示.

改编题4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，设bn=an+n.

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(Ⅲ)求{an}的通项公式；

(Ⅳ)求{an}的前n项和.

改编题4的过程如下：第一步与第二步不变；第三步在递推关系式an+1=2an等号左边加n+1，等号右边加2n得{an}满足a1=1，an+1+(n+1)=2an+2n，整理得{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1；第四步设bn=an+n；第五步设问与改编题2相同.

改编题5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn+1=4an，设bn=an+1-2an．

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(Ⅲ)求{an}的通项公式．

【最终答案】(Ⅰ)b1=1，b2=2，b3=4；(Ⅱ)数列{bn}是等比数列，理由略；(Ⅲ)an=(n+1)2n-2.

改编题5的过程如下：第一步与第二步不变；第三步在递推关系式an+1=2an的右边加2n-1得an+1=2an+2n-1，结合an与Sn的基本关系再对an+1=2an+2n-1进行运算推理和变形得Sn+1=4an；第四步设bn=an+1-2an；第五步设问与高考原题相似.

(Ⅰ)求{cn}的通项公式；

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(Ⅲ)求{an}的通项公式；

(Ⅳ)求{an}的前n项和.

【最终答案】(Ⅰ)cn=n；(Ⅱ)数列{bn}是等比数列；(Ⅲ)an=n·2n；(Ⅳ)(n-1)·2n+1+2.

(Ⅰ)求a2,a3；

(Ⅱ)求{an}的前n项和Sn.

【最终答案】(Ⅰ)a2=2，a3=4；(Ⅱ)Sn=2n-1.

改编题8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn+1.

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

改编题8的过程如下：第一步与第二步不变；第三步结合an与Sn的基本关系对递推关系式an+1=2an进行推理变形得an+1=Sn+1；第四步设问如题所示.

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)求a2+a5+a8+…+a89的值.

【最终答案】(Ⅰ)an=2n；(Ⅱ)2 730.

改编题10.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足(an+1)2=4Sn.

(Ⅰ)求{an}的通项公式；