寻源巧变式 下笔如有神
——多角度欣赏2018年全国卷Ⅰ第23题
2018-12-06福建汤小梅郑金木
福建 汤小梅 郑金木
近年高考对《选修4-5不等式选讲》的考查多集中在绝对值不等式的求解、含参的绝对值不等式恒成立、含参的绝对值不等式解集非空、基本不等式的应用，而这些高考题都能在教材或往年高考真题中找到其“原形”，通过背景包装、更换数字、变条件、变结论等多种方式对教材的例题、习题、往年高考真题进行重新加工，看似平常，实则有很多值得品味的东西．现以2018年全国卷Ⅰ第23题为例，从考题点评、解法探究与点评、寻根探源、同源变式等角度来欣赏它，让学生轻松突破绝对值不等式恒成立与有解问题的思维瓶颈．
【题目】(2018·全国卷Ⅰ理·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．
(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.
角度一、考题点评
这道高考题的题干简明，表述严谨，设问精巧，清新自然，主要考查解绝对值不等式、含参的绝对值不等式恒成立等基础知识、在近三年的全国卷中，含参的绝对值不等式恒成立问题在2018年全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的第23题，2017年全国卷Ⅰ的第23题，2016年全国卷Ⅲ的第23题都出现过；含参的绝对值不等式有解问题在2017年全国卷Ⅲ的第23题考查过，这些试题注重通性通法，淡化特殊技巧，形成入口宽、方法多的设问特点，重视问题解决的自然生成，平稳大器，达到了“不给考生出偏题，不给教师误导向，不给选拔设障碍”的考查目标， 这样设置高考题规避特殊技巧，凸现数学本质，能有效地考查考生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．
角度二、解法探究
(Ⅱ)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立，等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
综上，a的取值范围为(0,2].
【点评】求解此类题需过“三招”：第一招，转化招，即遇到函数的解析式中含有两个绝对值，常先考虑去掉绝对值符号，转化为分段函数；根据x的取值范围，把含有两个绝对值的不等式恒成立问题转化为只含有一个绝对值的不等式恒成立问题；第二招，分类讨论招，即对参数进行分类讨论；第三招，反客为主招，把参数当成已知量，求不等式的解，把求出的解与已知的不等式恒成立的范围对照，即可得到参数满足的不等式，解不等式，求出参数的取值范围．
【解法二】(Ⅰ)略(同解法一).
(Ⅱ)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立，等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立，
【点评】本解法与解法一不同之处是：利用“分离参数法”解决含参的绝对值不等式的恒成立问题．此时易混淆含参的绝对值不等式恒成立问题与含参的绝对值不等式有解问题，应当认真梳理，明晰不等式恒成立与不等式有解问题的本质区别，重视不等式转化的等价性，转化前后的不等式的逻辑关系要严密，表达要明确规范．
【解法三】(Ⅰ)当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，
因为f(x)>1，所以|x+1|-|x-1|>1，
(Ⅱ)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立，等价于当x∈(0,1)时，|ax-1|<1成立，
等价于当x∈(0,1)时，(ax-1)2<1成立，
等价于当x∈(0,1)时，a2x2-2ax<0成立.
设g(x)=a2x2-2ax，则当x∈(0,1)时，g(x)<0成立，
当a=0时，g(x)=0，不合题意，所以a≠0；
当a≠0时，a2>0，即函数g(x)的图象开口向上，且g(0)=0，
综上，a的取值范围为(0,2].
【点评】本解法与前两种解法不同之处是：一是用零点分区间法解不等式，此时，若不注意各类的端点值，则会导致求解的结果出错；二是利用平方法去掉绝对值不等式的绝对值符号，通过构造函数，并对参数分类讨论，以及借用二次函数的图象，即可轻松破解含参不等式恒成立问题.
角度三、寻根探源
本题来源于人教A版选修4-5课本第20页习题1.2中的第8(3)题和第9题：
第9题：如果关于x的不等式|x-3|+|x-4| 只需把教材习题中的“|x-1|+|x-2|<2”变为“|x+1|-|x-1|>1”，再把“含参不等式有解问题”变为“含参不等式恒成立问题”，即为高考题．高考题在外观上更和谐，但高考题的难度比教材习题难度明显提高． 变式与思考1：若把高考题的第(Ⅱ)小题条件中的“若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立”变为“若x∈[1,3]时不等式f(x)>2x-3成立”，其他都不变， 即可得到如下难度略有提升的试题： 【同源变式1】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|． (Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； (Ⅱ)若x∈[1,3]时不等式f(x)>2x-3成立，求a的取值范围. 【解法一】(Ⅰ)略. (Ⅱ)当x∈[1,3]时不等式|x+1|-|ax-1|>2x-3成立，等价于当x∈[1,3]时|ax-1|<4-x成立， 【解法二】(Ⅰ)略. (Ⅱ)当x∈[1,3]时不等式|x+1|-|ax-1|>2x-3成立，等价于当x∈[1,3]时|ax-1|<4-x成立， 等价于当x∈[1,3]时(ax-1)2<(4-x)2成立， 等价于当x∈[1,3]时(a2-1)x2+2(4-a)x-15<0成立. 设g(x)=(a2-1)x2+2(4-a)x-15，则当x∈[1,3]时g(x)<0成立， 因为g(1)=a2-1+2(4-a)-15=a2-2a-8，g(3)=9(a2-1)+6(4-a)-15=9a2-6a， ①当a2-1=0，即a=±1时， 当a=1时，g(3)=3>0，不符合题意，所以a≠1, 当a=-1时，g(3)=15>0，不符合题意，所以a≠-1； ②当a2-1>0，即a>1或a<-1时， 又因为a>1或a<-1，所以a无解； 【点评】本变式题的实质是把“当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立”变为“当x∈[1,3]时|ax-1|<4-x成立”，把不等式右边的常数变为含x的代数式，则提升了此题的难度，思维的能力自然提升．以上两种解法各有千秋，【解法一】利用分离参数法，解题过程比较简捷、流畅，是破解此类含参的绝对值不等式恒成立问题的首选方法；【解法二】相对比较繁琐，通过构造二次函数，对参数a分三类进行讨论，是一种通法，但在解题过程中易因分类不全而失分，因此，对参数的分类应当做到不重、不漏，才能避开此类陷阱． 变式与思考2：若把高考题的函数“f(x)=|x+1|-|ax-1|”变为“f(x)=|x+1|-|a-3x|”，并把第(Ⅱ)小题条件中的“若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立”变为“若x∈[1,5]时不等式f(x)<2x-3成立”，其他都不变， 即可得到如下思维能力提升的好题： 【同源变式2】已知f(x)=|x+1|-|a-3x|． (Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； (Ⅱ)若x∈[1,5]时不等式f(x)<2x-3成立，求a的取值范围. 【错解】(Ⅰ)略. (Ⅱ)当x∈[1,5]时不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等价于当x∈[1,5]时|a-3x|>4-x成立， 等价于a-3x>4-x或a-3x 【纠错】当x∈[1,5]时，4-x可能小于零，可能等于零，可能大于零，所以当x∈[1,5]时|a-3x|>4-x成立，不能理解为“a>4+2x或a<4x-4在x∈[1,5]时恒成立”，正确理解有如下两种方法：方法一，理解为“a>4+2x或a<4x-4对x∈[1,5]至少有一个成立”(见【正解一】)；方法二，理解为“当x∈(4,5]时|a-3x|>4-x恒成立，并且当x∈[1,4]时a>4+2x或a<4x-4恒成立”(见【正解二】或【正解三】)． 【正解一】(Ⅰ)略. 【正解二】(Ⅰ)略. (Ⅱ)当x∈[1,5]时不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等价于当x∈[1,5]时|a-3x|>4-x成立． ①当x∈(4,5]时，4-x<0，所以|a-3x|>4-x恒成立，所以a∈R； ②当x∈[1,4]时，4-x≥0，若|a-3x|>4-x恒成立， 则当a≥3x时，即a≥3时，a>4+2x在x∈[1,4]恒成立，等价于a>(4+2x)max，所以a>12； 当a<3x时，即a<12时，a<4x-4在x∈[1,4]恒成立，等价于a<(4x-4)min，所以a<0. 所以a>12或a<0． 综上所述，a的取值范围为(-∞,0)∪(12,+∞). 【正解三】(Ⅰ)略. (Ⅱ)当x∈[1,5]时不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等价于当x∈[1,5]时|a-3x|>4-x成立． ①当x∈(4,5]时，4-x<0，所以|a-3x|>4-x恒成立，所以a∈R； ②当x∈[1,4]时，4-x≥0，|a-3x|>4-x恒成立，等价于a-3x>4-x或a-3x 综上所述，a的取值范围为(-∞,0)∪(12,+∞). 【正解四】(Ⅰ)略. (Ⅱ)当x∈[1,5]时不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等价于当x∈[1,5]时|a-3x|>4-x成立. ①当x∈(4,5]时，4-x<0，所以|a-3x|>4-x恒成立，所以a∈R； ②当x∈[1,4]时，4-x≥0，|a-3x|>4-x恒成立， 等价于当x∈[1,4]时(a-3x)2>(4-x)2恒成立， 等价于当x∈[1,4]时8x2-2(3a-4)x+a2-16>0恒成立. 设g(x)=8x2-2(3a-4)x+a2-16，则当x∈[1,4]时g(x)>0恒成立， 因为g(1)=a2-6a，g(4)=a2-24a+144， 解得a<0或a>12， 综上所述，a的取值范围为(-∞,0)∪(12,+∞). 【点评】由以上四种解法可窥，破解|a-f(x)|>g(x)在给定的闭区间[a,b]上恒成立问题，首选“零点分段法”，常需优先判断g(x)的符号，若在给定的闭区间[a,b]上，g(x)≥0恒成立，则直接利用a>(f(x)+g(x))max或a<(f(x)-g(x))min，求出参数a的取值范围；若在给定的闭区间[a,b]上，g(x)有可能为负值，则此时需对g(x)为负值与非负值进行分类讨论，否则，易迈入命题者所设置的陷阱，导致所求的结果出错，如本变式题中的【错解】． 变式与思考3：若把高考题的第(Ⅱ)小题的“不等式恒成立问题”变为“不等式的存在性问题”，再变更函数的解析式，其他都不变，便可得到如下立意新颖、构思独特、考查真功的好题： 【同源变式3】已知函数f(x)=|x-2|+2|x+3|， (Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集； (Ⅱ)若存在x0∈[-4,2]，使f(x0)≤2m2-3m成立，求实数m的取值范围. 【解析】(Ⅰ)因为f(x)=|x-2|+2|x+3|，且f(x)≤6，所以|x-2|+2|x+3|≤6， (Ⅱ)存在x0∈[-4,2]，使f(x0)≤2m2-3m成立，等价于2m2-3m≥f(x)min(-4≤x≤2)． 【一通百通】求解含参不等式存在性问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数法，先转化为∃x∈D，f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))成立，再转化为f(a)≥g(x)min(或f(a)≤g(x)max)；第二关是求最值关，即求函数g(x)在闭区间D上的最小值(或最大值)．角度四、同源变式
